1 Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation des questions traitées.
Les applications numériques, les commentaires apportés sur les résultats obtenus, constituent une partie non négligeable dans le barème d'évaluation. Les applications numériques seront exprimées en tenant compte du nombre de chiffres significatifs, et en indiquant l’unité.
Les copies rendues seront numérotées.
Pour 3 feuilles rendues, par exemple, on numérotera : 1/3 ; 2/3 ; 3/3.
On prêtera attention à l’orthographe, à la mise en évidence des résultats (encadrer les expressions littérales, souligner les résultats numériques), à l’homogénéité dimensionnelle...
Durée : 3 heures
Exercice : Réponse d’un circuit RC à une impulsion.
On applique à l’entrée d’un circuit RC série un échelon de tension e(t) décrit par :
- pour t < 0 ; e(t) = -E - pour 0 ≤ t ≤ to ; e(t) = +E - pour t > to ; e(t) = -E
Données : R = 10 kΩ ; C = 10 µF.
1. Etablir l’équation différentielle reliant la tension u(t) aux bornes du condensateur à la tension e(t) appliquée sur le circuit.
2. On suppose qu’à l’instant t = 0, la tension e(t) était depuis longtemps à la valeur -E, et qu’elle passe quasi-instantanément à la valeur +E. Donner, en justifiant vos réponses, la valeur de l’intensité i(t) et de la tension u(t) à l’instant t = 0 - juste précédant t = 0.
3. Déterminer u(t) pour 0 ≤ t ≤ to.
4. On suppose que la durée to de l’impulsion est telle que u(t) atteigne la valeur E/2 à l’instant to. Exprimer to en fonction de R et C et calculer sa valeur numérique.
5. Etablir l’expression de u(t) pour t > to en exploitant notamment la condition de continuité sur u(t) à l’instant t = to.
6. Tracer une allure du graphe u(t). Justifier la valeur vers laquelle tend u(t) pour une durée grande.
R u(t)
i(t)
C e(t)
e(t)
t to
0 +E
-E
2 Electrolyse d’une solution au moyen d’une source potentiométrique.
1. Générateur de tension.
On souhaite déterminer les caractéristiques d’un générateur de tension réel, selon le modèle de Thévenin. Pour cela, on fait débiter le générateur à travers une résistance réglable Ro et l’on relève les couples de valeurs (I, U) pour différentes valeurs de cette résistance.
I(A) 0,00 0,300 0,500 0,800 1,000
U(V) 10,00 9.88 9.81 9.73 9.62
1.1 Déduire la f.é.m. équivalente Eth et la résistance équivalente rth associée à ce générateur par régression linéaire, en indiquant également la valeur du coefficient de détermination (noté « r² » sur les calculatrices).
1.2 Quelle sera la tension aux bornes de ce générateur s’il débite un courant d’intensité I = 0,200 A ? 2. Source potentiométrique.
On associe deux générateurs identiques, assimilable à des générateurs de Thévenin de fém E = 10 V et de résistance interne r = 0,40 Ω.
L’ensemble est inséré dans le montage ci- dessous.
Le dispositif connecté au reste du circuit par les points A, B et C est un potentiomètre. Le paramètre x, de valeur comprise entre 0 et 1, est réglable manuellement par la rotation d’un bouton disposé sur le composant. La valeur totale R = 20 Ω est ainsi répartie sur les deux parties complémentaires.
Le point M est connecté à la masse, de potentiel 0 V. On s’intéresse à la tension U entre les points C et M.
2.1 Déterminer la tension U en fonction de R,
E, r et x. Indication : dans les conditions envisagées sur cette question, un même courant traverse tous les dipôles du circuit. Quelle est son expression si on considère que r est négligeable devant les autres valeurs de résistances ?
E
r
E
r
(1 – x).R
x.R
A
C
B
M U
Ro
U I
3 2.2 Déterminer la résistance Réq vue entre
les bornes C et M sur le schéma ci- contre, en fonction de r, R et x.
Quelle est son expression si on considère que r est négligeable devant les valeurs x.R et (1 – x).R ?
3. Alimentation de l’électrolyseur.
Le théorème de Thévenin (hors programme) permet d’affirmer qu’un dipôle linéaire peut être modélisé par un générateur de tension dont la f.é.m. équivalente correspond à la tension aux bornes du dipôle quand il ne débite aucun courant et dont la résistance équivalente est égale à celle du dipôle si les sources idéales de tension (ou de courant) qu’il contient sont désactivées.
Pour la suite du sujet, on admet donc que le dispositif précédent est assimilable à une source de tension dont les caractéristiques sont Eéq = E.(2x – 1) et Réq = x.(1 - x).R.
Un électrolyseur est branché entre les bornes C et M. Sa caractéristique est fournie ci-dessous.
3.1 Pour quelles valeurs du paramètre x aura-t-on un courant I nul à travers l’électrolyseur ? Données : E = 10 V ; R = 20 Ω ; force contre-électromotrice de l’électrolyseur e = 0,65 V.
U
I e
-e
U
I C
M Réq
Eéq
Pente Rélec
Pente Rélec
r
r
(1 – x).R
x.R
A
C
B
M U
4 3.2 On règle x à la valeur x = 0,80. Déterminer alors les conditions de fonctionnement de l’électrolyseur : tension U et intensité I.
Données : résistance interne de l’électrolyseur Rélec = 2,0 Ω.
3.3 Le dispositif est employé avec une solution de Nickel (II) à 1,0 mol.L-1. Un phénomène chimique de réduction des ions nickel en nickel à l’état métallique au niveau de la cathode selon la demi-réaction : Ni2+ + 2 e- → Ni.
La cathode est constituée d’une pièce d’acier présentant une surface S = 200 cm2 en contact avec la solution électrolytique, que l’on souhaite recouvrir d’une couche de Nickel d’une épaisseur d = 10 µm. Quelle doit être la quantité de charge totale Q nécessaire à cette électrolyse ? Pour une intensité I = 1,0 A, quelle sera la durée d’électrolyse nécessaire ? Données :
Masse molaire du nickel : M = 58,7.10-3 kg.mol-1 ; masse volumique du nickel : ρ = 8,9.103 kg.m-3
Nombre d’Avogadro : NA = 6,02.1023 mol-1 ; charge d’un électron : q = -e = -1,6.10-19 C.
Détecteur de métaux
Les détecteurs de métaux sont des instruments électroniques capables d’indiquer la présence de masses métalliques de nature et de taille différentes. Les détecteurs fixes sont utilisés dans les aéroports, dans l’industrie agro-alimentaire ou pharmaceutique, sur les réseaux routiers, etc. Les détecteurs mobiles peuvent servir à localiser et suivre le cheminement de canalisations enterrées ou de fils électriques, à aider aux fouilles archéologiques, à repérer des engins dangereux, etc.
Figure 1 – Diverses utilisations de détecteurs de métaux
Les détecteurs de métaux fonctionnent selon des principes variés dépendant de l’utilisation souhaitée.
Nous allons nous intéresser ici aux détecteurs de métaux basés sur le battement de fréquence dont le principe est expliqué dans le document 1.
5 Document 1 - Principe du détecteur à battement de fréquence
Le principe de fonctionnement d’un détecteur de métaux repose sur l’induction électromagnétique.
Une bobine parcourue par un courant électrique variable génère un champ magnétique variable auquel sont soumis les objets situés dans la zone de détection. En réponse, les objets conducteurs, et en particulier les métaux, sont le siège de courants induits par ce champ magnétique variable, appelés courants de Foucault. Ces courants induits dans la matière engendrent à leur tour un champ magnétique qui est perçu par un circuit de détection.
Plus précisément, un détecteur à battement de fréquence utilise deux oscillateurs dont les fréquences d’oscillations sont identiques en l’absence d’objets à détecter. Chacun d’eux contient notamment une bobine dont le rôle sera différent selon le circuit.
L’un des deux oscillateurs fonctionne comme émetteur. Sa fréquence d’oscillations sert de référence et ne doit pas varier au cours de l’expérience. La bobine qu’il contient doit être tenue loin des objets à détecter.
L’autre oscillateur fonctionne comme récepteur. La bobine qu’il contient réagit au champ magnétique induit par les courants de Foucault, ce qui provoque une variation de sa fréquence d’oscillations par rapport au circuit de référence.
La comparaison des fréquences des deux oscillateurs renseigne sur la détection d’un objet métallique.
Une variation de la fréquence de travail et une analyse fine des réponses obtenues permet de cibler la détection de métaux particuliers.
Oscillations libres d’un circuit RLC série
L’élément déterminant du détecteur de métal est la bobine, indispensable à la détection, qui est utilisée dans un montage oscillateur. L’étude du fonctionnement de l’oscillateur va nous permettre de déterminer les caractéristiques de la bobine.
On réalise un circuit RLC série dont le schéma de principe est donné sur la figure 2. Il est constitué : - d’un générateur basse fréquence (GBF), de résistance interne Rg et de force électromotrice e (t) ; - d’une résistance variable R, de valeur comprise entre 0 Ω et 10,0 kΩ ;
- d’un condensateur de capacité variable C, de valeur comprise entre 0,01μF et 1,00 μF ; - d’une bobine réelle d’inductance L et de résistance r inconnues.
Figure 2 – Circuit RLC série
6 On pose :
- R'= R + Rg + r la résistance totale du circuit ; -
𝜔 = 1
√𝐿𝐶 sa pulsation propre ; -
𝑄 =𝐿𝜔 𝑅′ = 1
𝑅′
𝐿
𝐶 le facteur de qualité correspondant.
Un extrait des caractéristiques techniques du GBF est donné dans le document 1.
Document 1 - Extrait des caractéristiques techniques du GBF Sortie du signal MAIN OUT
- Amplitude réglable en circuit ouvert : de 0 à 20 V (amplitude crête à crête) Précision : de 0,1 à 20 V < 5 % de 1 mHz à 10 MHz
± 1,5 dB pour f > 10MHz (± 0,5 dB typique) - Impédance : 50 Ω ± 3%
- Tension continue de décalage : réglable de – 10 V à + 10 V en circuit ouvert (OFFSET) Précision : ± 5 % de l’amplitude (offset résiduel < ± 5mV)
Source 2018 : notice Metrix GX 320 Q1. Montrer que l’équation différentielle satisfaite par la tension vc(t) aux bornes du condensateur se met sous la forme :
𝑑 𝑣 𝑑𝑡 +𝜔
𝑄 𝑑𝑣
𝑑𝑡 + 𝜔 𝑣 = 𝜔 𝑒(𝑡) .
On suppose que Q > 1/2.
Q2. En régime libre e(t) = 0, montrer que la pseudo-période T des oscillations peut s’écrire :
𝑇 = 𝑇
1 − 1 4𝑄 et déterminer l’expression littérale de T0.
Q3. En déduire que l’on peut écrire :
𝑇 = 𝑎𝐶 1 − 𝑏𝐶 et exprimer a et b en fonction des caractéristiques du circuit.
Q4. La pseudo-période a été mesurée pour différentes valeurs de la capacité C ; la fonction T2 a été tracée en fonction de C. Une modélisation affine a été superposée à ces données.
7 Modélisation affine :
- coefficient de corrélation : 0,999 ; - ordonnée à l’origine : −3,0⋅10−9 SI ; - pente : 3,3 SI.
Figure 2 – Carré de la pseudo-période en fonction de la capacité
En déduire la valeur de l’inductance de la bobine en expliquant la démarche et en justifiant d’éventuelles approximations.
On appelle résistance critique totale, R’c = Rc + Rg + r, la valeur de la résistance totale du circuit permettant d’atteindre le régime critique, la résistance Rc étant simplement appelée résistance critique.
Aucune hypothèse n’est faite sur la valeur de Q.
Q5. Montrer que la résistance critique totale vaut :
𝑅′ = 2 𝐿 𝐶 .
Q6. Tous les autres paramètres étant fixés, la réponse du circuit à un échelon de tension donne lieu à différents régimes selon la valeur de la résistance variable R.
Identifier et nommer les trois régimes associés aux courbes 1, 2 et 3 de la figure 3 (en voie 1 de l’oscilloscope, l’échelon de tension ; en voie 2, la superposition des réponses du circuit).
Figure 3 – Superposition des réponses du circuit soumis à un échelon de tension, pour trois valeurs différentes de R
8 Q7. La résistance critique R’c = Rc + Rg + r a été mesurée pour différentes valeurs de C. Déduire du tracé de R’c en fonction de
√ (figure 4) et du document 1 une estimation de la valeur de r.
Pourquoi cette mesure est-elle peu précise ?
Modélisation affine :
- coefficient de corrélation : 0,999 ; - ordonnée à l’origine : −81 SI ; - pente : 0,58 SI.
Figure 4 – Résistance critique en fonction de l’inverse de la racine carré de la capacité Q8. Déterminer la valeur de l’inductance L du circuit au moyen de la figure 4 et des informations fournies en Q7. Commenter.
Q9. Un dispositif électronique, non étudié ici, permet de réaliser des oscillations électriques non amorties sur le circuit à une fréquence égale à sa fréquence propre. On peut montrer que la présence d’une masse métallique à proximité de la bobine amène un effet électromagnétique revenant à modifier l’inductance propre du bobinage pour une valeur L’.
L’appareil comporte deux circuits identiques, l’un restant éloigné de la masse métallique à détecter, et l’autre pouvant être placé à proximité.
Déterminer la fréquence propre fo des circuits pour L = 85 mH et C = 5,3 nF
Relier la fréquence fB des battements obtenus lorsque l’on additionne les signaux produits par chacun des bobinages aux valeurs L, L’ et C.
Application numérique pour L = 85 mH, L’ = 92 mH et C = 5,3 nF.
