Lyc´ee Pierre de Fermat 2020/2021
MPSI 1 colles
Programme de colle
Num´ero de semaine : 1.
Semaine du 14/9/2020 au 19/9/2020 Questions de cours :
1. Preuvesformelles(par opposition `a “avec des pointill´es” ) des formules
n
X
k=1
k=. . .et
n
X
k=0
qk=. . ..
2. Montrer que
n
X
k=1
xk
!2
= X
1≤k≤n 1≤j≤n
xkxj= 2 X
1≤k<j≤n
xkxj+
n
X
i=1
x2i.
3. Montrer que tout entiern≥2 admet au moins un diviseur premier.
4. Montrer par r´ecurrence qu’une fonction polynomiale `a coefficients r´eels est nulle si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
5. Montrer par analyse/synth`ese qu’une fonction r´eelle d’une variable r´eelle s’´ecrit de mani`ere unique comme somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
6. Montrer qu’une compos´ee d’applications inj/surj/bij est inj/surj/bij.
7. Montrer que, siuest une application deE dansF, sivest une application deF dansGtelle quev◦uest injective (resp. surjective), alorsuest injective (resp. v est surjective).
Interrogation sur le formulaire : trigonom´etrie circulaire paragraphe 3 (page 6) sauf les formules avec tangente et celles impliquant la tangente de l’angle moiti´e + paragraphes 6 et 7 + multiplication par l’expression conjugu´ee + toutes les ´egalit´es du paragraphe 9 en haut de la page 9 (sauf (a+b)n et (a−b)n).
Th` eme de la colle :
Manipulation des symboles sommatoires (y compris les sommes doubles).
Manipulation de
...
X
k=...
et
...
Y
k=...
, changements d’indices.
Notation factorielle.
Elements de logique. Ensembles. Applications entre ensembles.´
1. Logique et m´ethodes de raisonnement, d´efinition des quantificateurs, n´egation d’assertions.
2. Raisonnement par r´ecurrence.
3. Introduction `a la th´eorie des ensembles (r´eunion, intersection, compl´ementaire,...) 4. Applications entre ensembles, d´efinition, injectivit´e, surjectivit´e, bijectivit´e.
Consignes particuli`eres :
Je souhaiterais que tous les ´el`eves aient, apr`es la question de cours, un exercice de manipulation des symboles sommatoires faisant intervenirX
k,X k2,X
k3... qui doivent ˆetre connues.
De plus, je souhaiterais que chaque ´el`eve soit interrog´e sur trois formules au programme du formulaire (toute la trigonom´etrie circulaire sauf la fonction tangente + formules sur la somme de termes cons´ecutifs de suites arithm´etiques et g´eom´etriques + sommes des puissances 1, 2 et 3 des entiers de 1 `an), +1 en cas de r´eponses toutes justes, rien si une seule erreur et−1 sinon.
Dans ce programme de colle, il est essentiel que les ´el`eves sachent faire une r´ecurrence propre, convaincante et structur´ee.
Bonnes interrogations, soyez exigeants, insistez l`a o`u les ´el`eves ont du mal et n’h´esitez pas `a r´eexpliquer ce qui est/ a ´et´e mal compris.
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Vincent Bayle
Je suis joignable
• par t´el´ephone au 09-50-28-23-28 ou au 06-74-52-23-64,
• par courrier ´electronique `a l’adresse [email protected],
• par courrier postal, `a mon adresse personnelle : 2, Impasse des Bernaches, 31280-DREMIL LAFAGE.
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