Ch...: Fonctions et formules algébriques I- La fonction f x=ax−² où a≠0 :
a) Sens de variations:
Exemple 1:
f(x) = 2(x – 3)² + 4
f est définie sur ... par l'enchaînement:
...
D'où:
x −∞ 3 ∞
x−3
Explications 2 réels négatifs et leurs carrées sont rangés dans l'ordre inverse.
2 réels positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre.
x−3²
Explications Multiplier par 2 (nombre positif) ne change pas l'ordre.
2x−3²
Explications Ajouter 4 ne change pas l'ordre.
2x−3²4
Conclusion: la fonction f est ... sur ... et ... sur ...
Remarque: son maximum est ... atteint en ...
Exemple 2: g(x) = - 5 – 3(x + 2)² Son enchaînement est:
...
x −∞ - 2 ∞
x2
x2²
−3x2²
−3x2²−5
Conclusion: la fonction g est ... sur ... et ... sur ...
Remarque: elle atteint son maximum en ...
Retenons:
Soit f x=ax−²a≠0
● Si a > 0; alors f est décroissante sur ] −∞; ] et croissante sur [ ;∞ [. Le minimum est atteint en .
● Si a < 0; alors f est croissante sur ] −∞; ] et décroissante sur[ ;∞ [. Le maximum est atteint en .
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Vocabulaire:
On appelle extremum le maximum ou le minimum le cas échéant.
b) Représentation graphique:
La courbe C de la fonction f x=ax−²a≠0 est une parabole de sommet S; . Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut.
Si a < 0, la parabole est tournée vers le bas.
Cas où a >0 Cas où a < 0
II- Fonctions polynômes du second degré:
Définition:
Dire qu'une fonction définie sur IR est un polynôme de degré 2 signifie qu'il existe des nombres réels a (non nul);
b et c tels que, pour tout x de IR, f x=ax²bxc . (forme développée) a, b et c sont les coefficients du polynôme.
Ex:
● f(x) = 2(x – 3)² + x²
Est-ce une fonction polynôme du second degré ? ...
● gx=−7
4 x²3
x−9 . Même question....
Remarque: g n'est pas définie sur IR car g(-1) n'existe pas.
Le polynôme f x=ax²bxc s'écrit sous la forme f x=ax−²a≠0 appelée forme canonique, ou encore sous forme factorisée f x=ax−x1x−x2 .
Ex: f x=−2x²4x6
Forme canonique: Forme factorisée:
f(x) = ... f(x) = ...
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a = ... ; =...,=.. x1=...; x2=...
La forme canonique sert à trouver le sens de variation et la nature de l'extremum.
Ici a < 0; sur ] −∞;1 ], f est ...
sur [ 1;∞ [ , f est ...
Représentation graphique de f:
III- Les fonctions homographiques:
Définition:
Une fonction homographique est une fonction f définie par:
f x=a xb
c xd où a, b, c et d sont des réels tels que c est non nul. Car si c est nul, on obtient une fonction affine, intéressante pour ce cours.
Ex: f x=5x−1
2x−4 : f est homographique.
La fonction f est définie si et seulement si ...
Donc son domaine de définition est ...
De façon générale, la fonction homographique f x=a xb
c xd est définie pour tout x tel que c xd≠0 donc x≠−d
c . L'ensemble de définition de la fonction f est ...
Représentation graphique d'une fonction homographique:
Ex 1: f x=4
x : f est homographique car ...
Identifier l'enchaînement de f: ...
x −∞ 0 ∞
1 x 4 x
Explications:
...
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La courbe de f est donc une hyperbole.
Ex 2: f x=2x1
x−3 avec x≠3 . L'ensemble de définition de f est:...
a) Démontrer que f x=2 7 x−3 .
Retrouver ce résultat dans le sens inverse.
Enchaînement de f:
...
Tableau de variations:
x x−3
Explications Fonction affine croissante car a > 0 et s'annulant en 3 1
x−3
Explications Ordre inversé car fonction inverse (que ce soit les positifs ou les négatifs) et valeur interdite en 3 7
x−3
Explications On multiplie par un nombre positif donc pas de changements d'ordre.
2 7 x−3
Explications On ajoute 2 à chaque images donc valeur interdite en 3 et valeur limite 2.
Bilan: f est décroissante sur ... et décroissante sur ... Elle admet 2 comme valeur limite quand x tend vers 3.
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