Chapitre I : Probabilités et dénombrement

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Chapitre I : Probabilités et dénombrement

I – Vocabulaire et définitions

1) Expérience aléatoire – Univers

On s’intéresse à l’observation de grandeurs « non déterministes » donc soumises au hasard, c’est-à- dire n’ayant pas systématiquement le même résultat. Une telle situation est appelée expérience aléatoire.

Chaque résultat possible de cette expérience aléatoire est appelé éventualité ou issue.

L’ensemble de toutes les issues est appelé ensemble de référence ou ensemble fondamental ou encore univers. Il est communément noté .

Cet ensemble peut être fini, infini dénombrable ou encore infini non dénombrable.

Exemple 1 :

Si l’expérience aléatoire consiste à lancer un dé cubique, alors Ω = 1,2,3,4,5,6. Si l’expérience aléatoire consiste à lancer une pièce de monnaie, alors Ω = pile, face.

2) Événements

On appelle événement lié à l’expérience aléatoire une partie de l’univers, c’est-à-dire un sous- ensemble de l’univers.

Cas particuliers :

Un événement contenant une seule issue est appelé événement élémentaire ;

Un événement ne contenant aucune issue est appelé événement impossible et noté ∅ (ensemble vide) ;

Un événement contenant toutes les issues est appelé événement certain : c’est l’univers Ω ! Exemple 2 :

L’expérience aléatoire consiste à lancer un dé cubique.

Soit A l’événement « obtenir un nombre pair », ainsi = 2,4,6. Soit B l’événement « obtenir un nombre à deux chiffres », ainsi = ∅.

Soit C l’événement « obtenir 3 », ainsi = 3, c’est un événement élémentaire.

Soit D l’événement « obtenir un nombre positif », ainsi = 1,2,3,4,5,6 = Ω. 3) Propriétés des événements

L’intersection notée A ∩ B des événements A et B est l’ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.

Exemple 3 : A « obtenir un nombre pair » et B « obtenir un nombre supérieur à 4 » A = 2; 4; 6 et B = 5; 6 donc A ∩ B = 6

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FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 22 06 – Chapitre 1 Page 2 La réunion notée A ∪ B des événements A et B

est l’ensemble des issues qui réalisent A ou B (ou les deux).

Exemple 4 : A « obtenir un nombre pair » et B « obtenir un nombre supérieur à 4 »

A 2; 4; 6 et B 5; 6 donc A ∪ B 2; 4; 5; 6

Deux événements sont dits incompatibles lorsqu’ils n’ont aucun élément en commun.

Exemple 5 : A « obtenir un nombre pair » et B « obtenir 3 »

A 2; 4; 6 et B 3 donc A ∩ B ∅

L’événement contraire de A noté A est constitué de toutes les issues de Ω qui ne sont pas dans A.

Exemple 6 : A « obtenir un nombre pair » : A 2; 4; 6 donc A 1; 3; 5

Les événements , , … , _! forment une partition de l’univers s’ils sont deux à deux incompatibles et si leur réunion

est égale à l’univers :

" _#

!

#$

= Ω

Exemple 7 :

A 2; 4; 6, 1; 3 et _% = 5 forment une partition de l’univers Ω 1,2,3,4,5,6.

Remarque :

Les schémas utilisés dans les définitions ci-dessus sont appelés diagrammes de Venn.

Exemple 8 : Soient A et B deux événements dont il a été observé que :

• A est réalisé seul dans 30% des cas

• B est réalisé seul dans 40% des cas

• A et B sont réalisés simultanément dans 20% des cas 1) Représenter un diagramme de Venn.

2) Donner 3 partitions possibles de l’univers.

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FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 22 06 – Chapitre 1 Page 3 Quelques propriétés calculatoires :

∪ & ∩ ' = & ∪ ' ∩ & ∪ ' ∩ & ∪ ' = & ∩ ' ∪ & ∩ ' ∪ = ∩

∩ = ∪

Exemple 9 :

On s’intéresse aux résultats obtenus par 3 étudiants de la même promotion de GEA.

On appelle (₎ l’événement : « le ième étudiant a une note supérieure ou égale a 10 »

Ainsi les trois événements (, ( et (_% représentent chacun le fait que l'étudiant ait obtenu la moyenne.

On veut exprimer, en fonction de (, ( et (_% , les situations (= événements) suivants : A : « au moins un des 3 étudiants a la moyenne »

B : « un et un seul des 3 étudiants a la moyenne » C : « au moins deux des 3 étudiants ont la moyenne » D : « exactement deux des 3 étudiants ont la moyenne » E : « aucun des 3 étudiants n’a la moyenne »

F : « exactement deux des 3 étudiants n’ont pas la moyenne » G : « les 3 étudiants ont la moyenne »

H : « au moins un des 3 étudiants n’a pas la moyenne »

4) Calculs de probabilités

Une probabilité est une application définie de Ω vers l’ensemble [0; 1].

Pour tout événement A, la probabilité P(A) est la somme des probabilités des événements élémentaires qui définissent A : 0 ≤ P&A' ≤ 1 ;

0&∅' = 0 ; 0&Ω' = 1 ;

Si les événements A et B sont incompatibles, P&A ∪ B' = P&A' + P&B' ; P2A3 = 1 − P&A' ;

P&A ∪ B' = P&A' + P&B' − P&A ∩ B' ;

Si les événements , , … , _! sont deux à deux incompatibles, alors :

0&∪ ∪ … ∪ _!' = 0&' + 0&' + ⋯ + 0&_!', ce qui s’écrit aussi sous la forme : 0 6" _#

!

#$

7 = 8 0&_#'

!

#$

.

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FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 22 06 – Chapitre 1 Page 4 Exemple 10 :

1) Dans le cas d’un dé cubique non truqué, on obtient le tableau des probabilités suivant :

Issue 1 2 3 4 5 6

Probabilité 1

6 1

6 Soient A « obtenir un nombre pair » et B « obtenir un nombre supérieur à 4 »

A = 2; 4; 6 et B = 5; 6

Ainsi : 0&' = 0&2' + 0&4' + 0&6' =_:+_:+_:=^%_: et 0&' = 0&5' + 0&6' =_:+_: =_: =_%

2) Dans le cas d’un dé cubique truqué avec le tableau des probabilités suivant :

Issue 1 2 3 4 5 6

Probabilité 0,1 0,3 0,1 0,1 0,2 0,2

Dans ce cas : 0&' = 0&2' + 0&4' + 0&6' = 0,3 + 0,1 + 0,2 = 0,6 et 0&' = 0&5' + 0&6' = 0,2 + 0,2 = 0,4

Équiprobabilité : Dans le cas où Ω est fini, on dit qu’il y a équiprobabilité si les événements élémentaires ont tous la même probabilité.

Règle de Laplace : Dans le cas d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A se calcule avec la formule :

P&A' =card&A'

card&Ω' =nombre de cas favorables à la réalisation de A nombre de cas possibles

card(A) et card(Ω) désignent respectivement le nombre d’issues réalisant A et Ω.

Remarque :

On peut donc calculer d’une autre façon la probabilité des événements A et B de l’exemple 10 pour le dé non truqué mais cette formule ne s’applique pas dans le cas où le dé est truqué.

Exemple 11 :

1) Reprendre les données de l’exemple 8 et calculer les probabilités des événements des partitions obtenues à la question 2.

2) Vérifier les propriétés des partitions.

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FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 22 06 – Chapitre 1 Page 5 II- Dénombrement

Dénombrer consiste à compter le nombre d’éléments d’un ensemble sans forcément les compter un par un.

1) Permutations

Dans un ensemble contenant F objets, une permutation est une liste ordonnée de ces F éléments.

On dénombre F × &F − 1' × &F − 2' × … × 2 × 1 permutations possibles.

Ce nombre se noté F! et se nomme « factorielle F ».

Par convention 0! = 1.

Exemple 12 :

Dans un ensemble de 4 éléments, il y a 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 permutations possibles.

Ce nombre correspond au nombre de façons différentes de ranger ces 4 objets : 1 2 3 4 ou 1 2 4 3 ou 1 3 2 4 ou 1 3 4 2 …

Il est possible que certains éléments de l’ensemble ne soient pas discernables.

Si on considère F éléments répartis dans I catégories d’effectifs F, F, … , F_J (les éléments n’étant discernables que par leur catégorie), alors le nombre de permutations est égal à :

F!

F! × F! × … × F_J!

Exemple 13 :

Dans un ensemble contenant 4 boules jaunes indiscernables entre elles et 2 boules bleues indiscernables entre elles, le nombre de permutations est :

6!

4! × 2! =6 × 5 × 4!

4! × 2! = 6 × 5 2 = 15 2) p-listes

Dans un ensemble contenant F éléments, une p-liste est une liste ordonnée à répétition possible de I éléments parmi ces F éléments.

On dénombre F^J p-listes possibles.

Exemple 14 :

Dans l’ensemble 1; 2; 3; 4; 5; 6, il y a 6^% = 216 possibilités de 3-listes (on parle aussi de triplets).

C’est le nombre de résultats possibles lors de 3 lancers successifs d’un dé cubique.

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FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 22 06 – Chapitre 1 Page 6 3) Arrangements

Dans un ensemble contenant F éléments, un arrangement est une liste ordonnée sans répétition de I éléments parmi ces F éléments.

On dénombre _!^J =_&!KJ'!^!! arrangements possibles de I éléments parmi F.

Exemple 15 :

Dans l’ensemble 1; 2; 3; 4; 5; 6, il y a _:^% = ^:!_%!= 6 × 5 × 4 = 120 arrangements possibles de 3 éléments parmi les 6.

4) Combinaisons

Dans un ensemble contenant F éléments, une combinaison est une liste sans ordre et sans répétition de I éléments parmi ces F éléments.

On dénombre _!^J = LF

IM =J!×&!KJ'!^!! combinaisons possibles de I éléments parmi F.

Exemple 16 :

Dans l’ensemble 1; 2; 3; 4; 5; 6, il y a _:^% =_%!×%!^:! =^:×N×O_%×× = 20combinaisons possibles de 3 éléments parmi les 6.

Remarque : les nombres LF

IM sont appelés coefficients binomiaux, ils vérifient la propriété : PF

IQ + P F

I + 1Q = PF + 1 I + 1Q

Cette propriété donne le triangle de PASCAL ci-dessous.

Triangle de P^ASCAL : À compléter avec les valeurs de L^!_JM

Ce triangle est incomplet.

Attention : 0 ≤ I ≤ F n p 0 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

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FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 22 06 – Chapitre 1 Page 7 Exemple 17 :

Un jeu est composé de 7 jetons numérotés. On les retourne, face visible neutre, et on prend au hasard 3 d'entre eux.

Combien a-t-on de résultats différents possibles :

1) si on met à part les 3 jetons, sans les reposer entre chaque pioche et sans se soucier de l'ordre d'obtention ?

2) si on met à part les 3 jetons, sans les reposer entre chaque pioche, dans l'ordre où on les a obtenus ? 3) si on repose chaque jeton après avoir noté son numéro, et on mélange à nouveau les 7 jetons avant de prendre le suivant ?

4) si on pioche simultanément les 3 jetons ?

Exemple 18 :

Soit E l’ensemble des chiffres pouvant composer un code de Carte Bleue.

1) Combien existe-t-il de codes de CB différents ?

2) Combien de codes ne comportant que des chiffres distincts peut-on former ? 3) Combien existe-t-il de codes de CB comportant exactement deux fois « 1 » ? 4) Combien de nombres à 4 chiffres peut-on écrire à partir des éléments de E ? 5) Combien existe-t-il de codes comportant 4 chiffres impairs ?

6) Combien existe-t-il de codes ne comportant aucun chiffre impair ? 7) Combien existe-t-il de codes comportant au plus un « 4 » ?

8) Combien existe-t-il de codes comportant au moins deux « 4 » ?

III- Probabilités conditionnelles

Dans tout ce paragraphe, on désigne par Ω l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire et 0 une probabilité associée à Ω.

1) Probabilité de sachant a) Définition

Soient et deux événements avec 0&' ≠ 0.

La probabilité conditionnelle de sachant est le nombre noté 0_S&' et défini par : 0_S&' =0& ∩ '

0&' .

C’est la probabilité que l’événement soit réalisé sachant que l’événement est déjà réalisé.

Remarques :

1) Cette probabilité se note aussi : 0&|'.

2) On vient de définir une nouvelle probabilité sur l’univers Ω, dite probabilité conditionnelle.

Elle vérifie, entre autres, les propriétés suivantes : Soient et deux événements avec 0&' ≠ 0. 1) 0 ≤ 0_S&' ≤ 1

2) 0_S&' + 0_S&U' = 1

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FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 22 06 – Chapitre 1 Page 8 b) Probabilité d’une intersection

Soient et deux événements avec 0&' ≠ 0 et 0&' ≠ 0. 0& ∩ ' peut se calculer de deux façons :

1) 0& ∩ ' = 0&' × 0_S&' 2) 0& ∩ ' = 0&' × 0_V&'

Remarque : c’est une conséquence directe de la définition.

Exemple 19 : En reprenant les données de l’exemple 8, calculer les probabilités suivantes : 1) Probabilité de réalisation de A, sachant que B est réalisé

2) Probabilité de réalisation de B, conditionnellement à celle de A 3) Probabilité de non-réalisation de A, sachant que B est réalisé 4) Probabilité de réalisation de A, sachant que B n’est pas réalisé

2) Probabilités totales a) Arbres pondérés

Pour plus de clarté, on peut représenter les probabilités conditionnelles à l’aide d’un arbre pondéré.

Le premier nœud correspond aux événements d’une partition (en général deux ou trois événements, rarement plus).

Le deuxième nœud est complété par les probabilités conditionnelles dont les conditions sont les événements de la partition.

On retrouve rapidement les probabilités des intersections en multipliant les probabilités du chemin reliant les deux événements concernés.

Exemple d’arbre simple constitué de deux événements à chaque nœud :

W

̅ 0&'

0&̅'

'

0S&'

YZ

YZ 0S&U'

' 0S̅&'

0S̅&U' '

0& ∩ ' = 0&' × 0S&'

0& ∩ U' = 0&' × 0S&U'

0&̅ ∩ ' = 0&̅' × 0_S̅&'

0&̅ ∩ U' = 0&̅' × 0S̅&U'

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FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 22 06 – Chapitre 1 Page 9 b) Formule des probabilités totales

Soient F événements , , … , _! constituant une partition de l’univers Ω. Pour tout événement , on a :

0&' = 0&∩ ' + 0&∩ ' + ⋯ + 0&_! ∩ ' = 8 0&_#∩ '

!

Ou encore : #$

0&' = 0&' × 0_S_[&' + 0&' × 0_S_\&' + ⋯ + 0&_!' × 0_S_]&' = 8 0&_#' × 0_S_^&'

!

#$

Cas particulier : Dans le cas où la partition choisie est constituée de deux événements contraires et

̅ , on obtient les formules : 0&' = 0& ∩ ' + 0&̅ ∩ ' Ou encore :

0&' = 0&' × 0_S&' + 0&̅' × 0_S̅&'

Exemple 20 :

On considère 3 chaînes de fabrications (désignées par A, B et C) qui produisent des ampoules électriques. On s’intéresse au pourcentage d’ampoules défectueuses fabriquées par chacune d’entre elles. On observe que :

• A fabrique 30 % de la production d’ampoules dont 2 % défectueuses

• B fabrique 25 % de la production d’ampoules dont 3 % défectueuses

• C fabrique 45 % de la production d’ampoules dont 1 % défectueuses Les ampoules sont ensuite regroupées (donc mélangées).

1) On prend une ampoule dans le stock. Quelle est la probabilité qu’elle soit défectueuse ?

2) A nouveau, on prend une ampoule et on constate maintenant qu’elle est défectueuse. Quelle est la probabilité qu’elle ait été fabriquée par la chaîne A ?

Formule de Bayes :

Soient F événements , , … , _! constituant une partition de l’univers Ω. Pour tout événement de probabilité non nulle, on a :

0_V&₎' = 0&₎' × 0_S_{_}&'

0&' × 0_S_[&' + 0&' × 0_S_\&' + ⋯ + 0&_!' × 0_S_]&'

Remarques :

1) Cette formule est une conséquence directe de la définition d’une probabilité conditionnelle.

2) On l’utilise pour « inverser le conditionnement » comme à la question 2) de l’exemple 20.

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FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 22 06 – Chapitre 1 Page 10 IV- Indépendance

Dans tout ce paragraphe, on désigne par Ω l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire et 0 une probabilité associée à Ω.

1) Définition

On dit que les événements et sont indépendants lorsque : 0& ∩ ' = 0&' × 0&'

Remarque : L’indépendance de deux événements traduit l’idée suivante :

« La réalisation (ou non) de l’un n’influence pas la réalisation (ou non) de l’autre ».

On ne sera donc pas surpris par la propriété du paragraphe suivant.

2) Propriétés

Soient et deux événements avec 0&' ≠ 0 et 0&' ≠ 0.

1) Les événements et sont indépendants si et seulement si 0_S&' = 0&' 2) Les événements et sont indépendants si et seulement si 0_V&' = 0&' 3) Si et sont deux événements indépendants alors ̅ et le sont aussi.

4) Il en est d’ailleurs de même pour et U ainsi que pour ̅ et U.

Exemple 21 :

Une usine fabrique une série d’appareils.

Deux défauts distincts peuvent apparaitre au cours de la fabrication : un défaut ` et un défaut `. La fabrication se fait en 2 étapes indépendantes :

• À l’issue de la 1^ère étape, le défaut ` apparait dans 2 % des cas

• À l'issue de la 2^ème étape, le défaut ` apparait dans 10 % des cas On notera ₎ l‘évènement : « l’appareil présente le défaut `₎ »

Un appareil est prélevé au hasard dans la série qui vient d’être fabriquée.

1) Écrire une/plusieurs partition(s) de l’ensemble Ω des appareils fabriqués.

2) Exprimer les évènements suivants en fonction de et : A : « l’appareil présente les 2 défauts »

B : « l’appareil ne présente aucun défaut » C : « l’appareil présente un seul défaut » E : « l'appareil présente au moins un défaut » 3) Calculer la probabilité de ces évènements.