Intégrales Mr

Exercice 1 : 

Calculer les intégrales suivantes : 

1 0 5 1

1 3

1

1 3

0 1 2 4 1

1 3

0 2 0

4 0

1 0

6 3

1) ( ² 2)² 2) 3

2 1

3) ( 2 5)

4) 2 ( ² 1) 5) 3

(2 5)²

6) 1 4

2

7) (3 ² 5)( 5 2)² 8) sin cos ²

9) tan ²

10) ² 1

x dx

x x

dx x

x x dx

x x dx

x dx

dx x

x x x dx

x xdx

xdx

x x dx

π π

−

−

+ + +

− + −

+

− +

⎛ ⎞

⎜ + ⎟

⎝ ⎠

+ + −

+

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Exercice 2 : 

f une fonction définie sur IR et F une primitive de f ; on donne dans la figure ci­

dessous Cf et CF  

1) par une lecture graphique ; déterminer parmi les courbes  C1 et C2 celle de f. 

2) soit A l’aire de la partie du plan limitée par  Cf , l’axe des abscisses et les  droite d’équations x=1 et x=­1. 

a) hachurer A. 

b) calculer A. 

Exercice 3 : 

f la fonction définie sur IR par f x( )=x x² 1+  ; on donne ci­dessous courbe  représentative de f dans un repère orthonormé. 

1) en utilisant le graphique, montrer que f réalise une bijection de IR sur un  intervalle J que l’on précisera. 

2) soit g la fonction réciproque de f ; tracer Cg. 

3) A l’aire de la partie du plan délimitée par Cg ; les droites y=1 ; x=0 et x=2. 

a) hachurée A. 

b) montrer que A=2­∫₀²g x dx( ) . 

c) montrer que A=∫₀¹f x dx( ) et calculer A. 

d) en déduire l’aire A’ de la partie du plan délimitée par Cg , l’axe des  abscisses et les droites x=0 et x=2. 

Exercice 4 :  

soit (In) la suite définie sur IN par  ₀¹

1 ²

n n

I x dx

= x

∫ + . 

1) soit f la fonction définie sur [0,1] par f(x)= ¹

1+x².  a) étudier les variations de f sur [0,1]. 

b) en déduire que  ¹ ₀ 1 2 ≤I ≤ . 

2) a) montrer que  la suite (In) est minorée par 0. 

b) montrer que la suite (In) est décroissante. 

c) en déduire  que la suite (In) est convergente. 

3) a) montrer que , pour tout n de IN ;  ^{1 1}

2( 1) Iⁿ 1

n ≤ ≤n

+ + . 

b) en déduire  lim _n

n I

→+∞ .  Exercice 5  

Soit f la fonction définie sur [^1,+∞[ par  ₃

1

( ) 1

x t

f x dt

t

=

∫

1) a) Montrer que f et dérivable sur [^1,+∞[ et calculer sa fonction dérivée.  

b) En déduire que f est croissante sur [^1,+∞[^. 

2)    On considère la suite numérique ( )Jn  définie, pour tout entier naturel n 

non nul, par  ₃

1

1

n n

J t dt

t

=

∫

Démontrer que la suite ( )Jn  est croissante. 

3) On définit la suite ( )In , pour tout entier naturel n non nul, par  ₃

1

1

n n

I t dt

t

=

∫

a) Justifier que, pour tout t ≥1, on a  t+ ≤ +1 t 1.  b)  En déduire que Jn ≤In. 

c) Calculer In en fonction de n. En déduire que la suite ( )Jn  est majorée par un  nombre réel (indépendant de n). 

d) En déduire que  la suite ( )Jn  est convergente et donner un encadrement de  sa limite L. 

Exercice 6: 

En annexe Cf est la courbe représentative d'une fonction f définie sur IR+   la droite (AB) est la tangente à Cf en A; Cf admet une branche parabolique de  direction l'axe des ordonnées au voisinage de +∞ . 

1) Par une lecture graphique : 

a)  Déterminer f(1) et f’(1) . 

b) Déterminer   lim ( ) lim ^{( )}

x x

f x et f x

→+∞ →+∞ x  . 

c) Justifier que f réalise une bijection de IR+ sur un intervalle J que l’on  précisera. 

2) f est définie par f x( )=x x² 3+ −x  . 

a) On désigne par (C’) la courbe représentative de f ^­1 ; tracer (C’). 

b) Soit D la partie du plan délimitée par Cf et (C’) ; hachurer D. 

c) Calculer l’aire de D.  

Exercice  7: 

1) soit f la fonction définie sur [­2,2[ par  ( ) ² 2 f x x

x

= +

−  ; et (Cf)sa courbe 

représentative dans un repère orthonormé  

(

)

b) montrer que ; pour tout  ] 2, 2[; '( ) ^{2 2} (2 )² 2

x f x x

x x

∈ − = −

− +  . 

c) étudier les variations de f . 

d) montrer que f réalise une bijection de [­2,2[ sur un intervalle J que l’on  précisera. 

e) expliciter f ^­1(x) . 

2) soit g la fonction définie sur [­2,2[ par g(x)=f(x)­x 4−x²  , et (Cg) sa courbe  représentative dans 

(

)

a) déterminer la position relative de (Cf) et (Cg). 

b) dans l’annexe on tracer (Cg) ; tracer (Cf) dans le même repère. 

3) soit α  un réel appartenant à l’intervalle ]0,2[ ; on désigne par Aα  l’aire de  la partie du pan limitée par (Cf) ; (Cg) et les droites d’équation x=0 et x=α  .  a) calculer Aα  . 

b) calculer  lim A_α

α→+∞  . 

 Exercice  8: 

1) dans le graphique ci  contre C et C’ sont les  courbes représentatives  dans un repère 

orthonormé des deux  fonctions u et v définies  sur IR+ par u(x)=­x²+x et 

( ) 4

3 ² 1

v x x

x

=− −

+  .  par une lecture  graphique. 

a) reconnaître la  courbe de chacune  des deux fonctions u et v. 

b) donner le signe de u(x)­v(x). 

2) soit f la fonction définie sur IR+ par f(x)=  ^{3 ² 4} ² 1

3 2 3

x x

x x

− + + + +  .  a) vérifier que  f’(x)=u(x)­v(x). 

b) calculer l’aire de la partie du plan limitée par les courbes C et C’ et les  droites d’équations respectives x=0 et x=2. 

3) on désigne par Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé  

(

)

a) étudier les variations de f. 

b) montrer que la courbe Cf coupe l’axe des abscisses en un seul point .   on notera α  l’abscisse de ce point ; vérifier que  3< α  < 4. 

c) tracer Cf .