! ! ! ()• CT v # % T d S & ()• Nu = ! ! # % T d S & !

Exercice 3.2.1 : Quelques questions à propos du nombre de Prandtl (A) 1- Rappeler la définition du nombre de Prandtl. En partant de l'unité de chaque paramètre, utiliser l'équation aux dimensions pour montrer que le nombre de Prandtl est bien sans unité. Donner une interprétation physique du nombre de Prandtl, notamment à partir de sa définition ( ).

2- Pour un fluide en écoulement laminaire dans un tuyau cylindrique, on peut montrer que le nombre de Nusselt est fourni par la relation suivante : , où Re représente le nombre de Reynolds. Trouver une expression approchée du nombre de Nusselt pour l'air à la température ambiante, en écoulement forcé, sachant que Pr = 0,71.

Quelle est la précision de cette expression où ne figure plus le nombre de Prandtl ?

3- En repartant des expressions du cours pour les couches limites visqueuse et thermique δ et δ', montrer que le nombre de Prandtl relie ces deux paramètres. Indiquer quelle est cette relation. Quelle conclusion pouvez-vous en déduire pour l'air ?

4- Le nombre de Prandtl varie très peu pour l'air entre 100K et 2500K, cf. Table jointe. Par exemple à 300K, Pr = 0,708 et à 2300K, Pr = 0,710. Pourtant, la viscosité dynamique µ, la chaleur massique à pression constante C _p et la conductivité thermique λ (notée k dans la Table) varient fortement. Comment pourriez-vous expliquer ce résultat ? En quoi la colonne du nombre de Prandtl est redondante dans cette Table ? Justifier votre réponse en effectuant le calcul numérique pour T = 300K et pour T = 2300K.

Exercice 3.2.2 : Quelques questions sur le nombre de Nusselt (A) En utilisant l’équation aux dimensions, montrer pourquoi le nombre de Reynolds et le nombre de Prandtl sont bien des quantités sans dimension. Justifier alors à partir de deux arguments différents pourquoi le nombre de Nusselt est lui aussi sans dimension. Le nombre de Nusselt est toujours supérieur à l’unité. Sauriez-vous expliquer pourquoi, sachant que sa définition « savante », que l’on cherchera à interpréter, est la suivante :

!

Nu = "CT ! v # $ !

% T

( ) ^{• d S !}

&

#$ !

% T

( ) ^{• d S !}

& ^.

Exercice 3.2.3 : Nombres caractéristiques en convection forcée (A) Pour les transferts thermiques par convection, on définit le nombre de Nusselt, Nu comme étant le rapport , où h représente la conductance (pour la loi de Newton de la convection), λ la conductivité thermique (pour la loi de Fourier de la conduction), et  une longueur caractéristique. Le nombre de Nusselt peut s'exprimer de façon générale à partir du nombre de Reynolds, Re et du nombre de Prandtl, Pr , par exemple sous la forme :

Pr = C

_P

µ

!

Nu = 0,332 Re

^{1 / 2}

Pr

^{1 / 3}

N

u

= h !

!

, où a et b sont a priori des puissances arbitraires (fractionnaires ou quelconques).

1- Expliquer, en vous appuyant sur les dimensions de chaque quantité, ce qui justifie que les puissances a et b soient a priori quelconques.

2- Pour une plaque plane, en régime laminaire, , alors que pour un tube cylindrique en régime turbulent . Montrer que l'évaluation du rapport de ces deux quantités autour de la transition turbulente (R _e = 2200) est de l'ordre de l'unité (on prendra la valeur du nombre de Prandtl pour l'eau à 20 °C, P _r = 6,87).

3- Calculer alors ce rapport entre les deux régimes (laminaire d'une part, et turbulent d'autre part), lorsque le nombre de Reynolds turbulent est égal à 10 fois, puis 100 fois le nombre de Reynolds laminaire. Quelle conclusion pouvez-vous tirer sur la meilleure efficacité du transfert thermique par convection forcée en régime turbulent par rapport au cas du régime laminaire, et quelle est la loi de dépendance avec le nombre de Reynolds de cette efficacité ? Quel commentaire pouvez-vous faire de ce résultat ?

Exercice 3.2.4 : Convection libre et forcée pour une lampe ordinaire (B) On considère une lampe à basse consommation de puissance nominale 40 W, sous la forme approchée d'une sphère de diamètre d = 50 mm. On suppose que le champ de température est uniforme à la surface de la lampe de valeur T _s = 127 °C, alors que la température de l'air extérieur est T _f = 27 °C.

1- Dans un premier cas, on cherche à évaluer la puissance évacuée en convection forcée par un écoulement de l'air autour de la lampe s'effectuant à 0,3 m/s.

Evaluer à l'aide des données numériques fournies dans la Table jointe les propriétés de l'air à la température de référence de 27°C [Nota Bene: Pour les anglo-saxons, la lettre k représente la conductivité thermique (notée λ dans le cours)]. Calculer aussi le nombre de Reynolds Re.

Pour ce problème, le nombre de Nusselt Nu fournissant le coefficient de convection h sera pris sous la forme : Nu = (h d / λ) = 0,37 Re ^0,6 . Calculer h (en W / m2.K), puis q (en W) à partir de la relation fondamentale de la convection φ = h S (T _s - T _f ). En déduire le pourcentage de la puissance dissipée par convection forcée.

2- Dans un deuxième cas, on suppose que l'écoulement d'air est supprimé, et que les échanges se déroulent par convection libre. Refaire les calculs en notant le nombre de Nusselt Nu sous la forme Nu = (h d / λ) = 0,60 (Gr Pr) ^0,25 , où Pr et Gr représentent respectivement les nombres de Prandtl et de Grashof, Gr = [ρ ² gβ (T _s - T _f ) l ³ ] / µ ² , où g = 9,81 m/s ² , β = 1/T où T est la température absolue de référence (prendre ici 300 K), et où µ est la viscosité dynamique (en kg/m.s). On prenant l = 10 mm, montrer que le nombre de Grashof est de l’ordre de 13300. Revenir au calcul de φ, puis déduire le pourcentage de la puissance dissipée par convection libre. Conclure enfin sur l'importance relative de ces deux mécanismes de convection en terme d'efficacité dans le refroidissement de l'ampoule.

N

_u

= Cte R

_e^a

P

_r^b

N

_u

= 0,332 R

_e¹¹³³

P

_r¹¹²²

N

_u

= 0,023 R

_e^{4 54 5}

P

_r^{2 52 5}

127

Exercice 3.2.5 : Convection forcée d’une conduite chauffée en surface (B)

On considère une conduite de diamètre D et de longueur L dans laquelle s’écoule de l’eau à la vitesse U. La température de l’eau à l’entrée de la conduite est

!

T

_i

, alors que celle à la sortie est

!

T

_o

. La surface de la conduite est maintenue à la température constante

!

T

_S

>

!

T

_i

. La conductance mise en jeu au cours des échanges convectifs entre l’eau et la paroi solide est notée h, alors que la masse volumique de l’eau est ρ , et sa capacité calorifique à pression constante est C _P .

1- Écrire le bilan énergétique des échanges thermiques pour une tranche de fluide d’épaisseur dx, située le long de l’axe x d’écoulement du fluide entre x = x et x = x + dx. La température moyenne de la tranche d’épaisseur dx sera notée :

!

T

_e

= 1

2 ( T(x) + T(x + dx) ) ^{" T(x)} . Montrer que l’équation de bilan peut finalement se mettre sous la forme :

!

h"D T (

_S

# T(x) ) ^{dx = C}

P

$U "

4 D

²

dT(x) dx dx . 2- En effectuant le changement de variable

!

" ( x) = T

_S

# T(x) , montrer alors que cette équation peut s’écrire sous la forme

!

"( x) + A d" (x)

dx = 0 , avec

!

A = C

_P

"UD

4h . En considérant une solution de cette équation différentielle sous la forme

!

" (x) = K exp # x

A

$

% & '

( ) , montrer en utilisant les conditions aux limites

!

"

_(x=0)

= T

_S

# T

_i

et

!

"

_{(x= +L)}

= T

_S

# T

_o

que la température de l’eau

!

T

_o

à la sortie de la conduite s’écrit finalement :

!

T

_o

= T

_S

+ ( T

_i

" T

_S

) ^{exp " 4 hL}

C

_P

#UD

$

% &

'

( ) . En supposant que

!

C

_P

"UD >> 4hL , c’est-à-dire pour une vitesse d’écoulement U du fluide suffisamment

rapide, montrer que

!

T

_o

peut finalement s’écrire

!

T

_o

= T

_i

+ ( T

_S

" T

_i

) _C ^4hL

P

# UD ^.

3- Le problème est maintenant résolu par différence finie sur la longueur totale du tube, en considérant que la température de l’eau

!

T

_e

est la moyenne de

!

T

_o

et de

!

T

_i

, c’est à dire sous la forme

!

T

_e

= 1

2 ( T

_o

+ T

_i

) ^. Montrer alors que la nouvelle équation du bilan thermique dans le tuyau peut se mettre sous la forme :

!

4hL T (

_S

" T

_e

) ^{= C}

P

# UD T (

_o

" T

_i

) . Calculer

!

T

_o

à partir de cette approximation. Sachant que l’inégalité de la question 2- ( ε = L/2A << 1) est toujours vérifiée pour une vitesse d’écoulement U suffisamment grande, montrer alors que l’expression de la question 2-,

!

T

₀

= T

_i

(1" 2 # ) + 2T

_S

# , est bien retrouvée.

4- Calculer alors numériquement

!

T

_o

à partir de l’expression complète établie à la question précédente, à savoir

!

T

_o

= T

_i

1 " # 1+ #

$

% & '

( ) + T

_S

2 # 1+ #

$

% & '

( ) ^, ou bien à partir de l’expression approchée

!

T

₀

= T

_i

(1" 2#) + 2T

_S

# . On prendra les données suivantes : U = 10 cm/s ; L = 5 m ; D = 0,1 m ;

!

T

_i

= 40 °C ;

!

T

_S

= 90 °C. Les propriétés de l’eau seront calculées pour la température moyenne T

_e

= 1

2 ( T

_o

+ T

_i

) = 65 °C, à savoir : ρ = 981,9 kg/m ³ ; C _P = 4,187 kJ/kg.K ; µ = 0,432 10- ³

kg/m.s ; λ = 0, 6629 W/m.K ; Pr = 2,72. Le nombre de Nusselt sera estimé à l’aide de la relation de Sieder et Tate :

!

Nu = 1,86 D L Re Pr

"

# $ %

&

'

1/ 3

µ µ

S

"

# $ %

&

'

0,14

, où

!

µ

S

= 0,285 10- ³ kg/m.s Justifier que les deux expressions de

!

T

_o

fournissent des valeurs numériques très proches du fait que ε << 1.

Exercice 3.2.6 : Champ de température d'une sphère immergée dans un fluide (B)

Une sphère de rayon R et de coefficient de conductivité thermique λ ₁ est immergée dans un liquide immobile de conductivité thermique λ ₂ . Une source de chaleur est disposée très loin de la sphère (à la limite à l'infini) produisant un gradient de température supposé constant dans le fluide de la forme dT/dr = A, où r représente la coordonnée radiale prise autour de la sphère (r = 0 correspond simplement à son centre), et où A est une constante positive. Le champ de température est donc implicitement supposé être une fonction de la coordonnée radiale r uniquement.

1- En dehors des sources thermiques, qui sont donc repoussées à l'infini, il est supposé que l'équation de la chaleur se réduit à l'équation de Laplace ΔT = 0, où Δ représente le Laplacien scalaire. La solution générale de cette équation est prise sous la forme de deux termes distincts. Le premier est noté T(r) = Ar. Montrer qu'une telle solution vérifie bien l'équation de Laplace en tout point r. Le deuxième terme est pris sous la forme T(r) = A/r ² . Montrer qu'il valide bien la condition limite pour r infini, mais que par contre, il existe une singularité au centre de la sphère (pour r = 0).

2- Justifier finalement que le champ de température admissible s'écrit pour la sphère T ₁ (r) = C ₁ Ar , et pour le fluide l'entourant T ₂ (r) = A r + C 2 A / r ² , où C ₁ et C ₂ sont deux constantes arbitraires. Ecrire alors les conditions aux limites à la surface de la sphère (en r = R) à la fois sur le champ de température, ainsi que sur le flux de chaleur échangée. Aboutir ainsi au calcul des deux constantes C ₁ et C ₂ . Montrer que le champ de température à l'intérieur de la sphère et dans le fluide environnant s'écrit finalement sous la forme :

Pour r < R, T ₁ (r) = [(3 λ ₂ / (λ ₁ + 2 λ ₂ )] A r ;

Pour r > R, T ₂ (r) = [1 + (λ ₂ – λ ₁ ) / (λ ₁ + 2 λ ₂ ) (R/r) ³ ] A r.

3- Montrer alors que les deux conditions aux limites de la question 2- sont bien vérifiées à la surface de la sphère (en R = r) à la fois pour le champ de température, ainsi que pour le flux de chaleur échangée. Que se passe-t-il lorsque λ ₁ = λ ₂ , c'est à dire pour le cas où la sphère et le liquide l'entourant possèdent la même conductivité thermique ? Est-ce que le résultat obtenu vous semble normal ?

4- On suppose dorénavant que le fluide caloporteur entourant la sphère se déplace avec la vitesse U le long d'un axe noté y. Ecrire alors l'équation de Fourier généralisée à deux dimensions (ici notées x et y). Est-ce que le champ de température vérifie encore dans ce cas une équation de Laplace du type ΔT = 0 ? Par quelle équation générique faut-il la remplacer.

En repartant du champ de température dans le fluide de la question 2-, admissible ici que pour

de faibles vitesses d'écoulement U, montrer alors que ΔT = UA/χ , où χ représente la diffusivité thermique χ = λ / ρC _P . Discuter ce résultat, ainsi que les hypothèses et le cas limite où U = 0 (absence d'écoulement).

Exercice 3.2.7 : Evolution de la température d’une bille immergée dans un fluide (B)

Une bille d'acier de 5 cm de diamètre initialement à la température uniforme Ti = 450° C est soudainement placée dans un environnement d'air maintenu à 100°C. Caractéristiques de l'acier : Coefficient de conduction : λ = 35 W/mK, chaleur massique : c = 0.46 kJ/kgK, masse volumique : _ρ = 7800 kg/m

³

. Coefficient de convection de l'air à la température considérée : h

= 10 W/m

²

K

1- Donner la définition du nombre de Biot et le calculer. Conclusion ?

2- Faire un bilan énergétique de la bille et en déduire l'équation différentielle régissant l'évolution de sa température.

3- En déduire le temps nécessaire pour que la bille atteigne la température T = 150°C

4- En intégrant le flux de chaleur perdu entre t = 0 et t, retrouver la quantité de chaleur fournie à l'air ambiant jusqu'à ce que la bille atteigne la température T(t).

Problème 3.2.8 : Distribution des champs de vitesse et de température en convection forcée (C)

Les équations couplées de la convection s'écrivent sous la forme suivante, à partir de l'équation de Navier-Stokes 2D (1), et de l'équation de la chaleur généralisée (2), qui seront admises ici sans démonstration aucune :

,

équations pour lesquelles le sens d'écoulement principal du fluide (par exemple, l'axe du tuyau) est pris le long de l'axe Oy (avec Ox la direction perpendiculaire), et où et , avec ν = viscosité cinématique, µ = viscosité dynamique, ρ = masse volumique, λ

= conductivité thermique, C _P = chaleur massique à pression constante.

V

_x

!V

_y

!x + V

_y

!V

_y

! y = " !

²

V

_y

! x

²

(1) V

_x

!T

! x + V

_y

!T

! y = # !

²

T

!x

²

(2)

! = µ

"

! = "

# C

_P

1- Montrer que le nombre de Prandtl est sans dimension, en considérant un petit calcul simple et direct basé sur l'équation aux dimensions appliquée aux deux équations couplées (1) et (2).

2- De l'expression du nombre de Prandtl de la question 1-, on peut déduire que , où le symbole [ ] désigne la dimension de la quantité entre crochets. A l'aide de petits raisonnements élémentaires et très simples, montrer alors que les dimensions de [µ CP ] d'une part et de [λ ] d'autre part sont bien égales à la fois pour M (masse), H (chaleur), T (température), L (longueur) et t (temps).

3- Pour un problème de convection forcée avec écoulement le long de l'axe Oy dans un tuyau de rayon R, on suppose un champ de vitesse du type de Poiseuille, c'est-à-dire, pris sous la forme : , où Vm représente la vitesse maximale (en x = 0), x étant la direction radiale, orthogonale à l'axe Oy de l'écoulement, et où f(y) représente une fonction décroissante le long de Oy telle que f _(y=0) = 1. Utiliser l'équation de continuité

, pour calculer la composante radiale du champ de déplacement V _x .

4- Injecter alors les expressions correspondantes de V _x et de V _y dans l'équation de Navier- Stokes (1), pour aboutir à une équation différentielle qui sera simplifiée, puis résolue. Montrer notamment que l'on obtient . En notant que x < R, on suppose que

<< 1. En déduire que , après avoir utilisé la condition limite f _(y=0 ) =

1. Montrer finalement que : .

5- Montrer que les expressions simplifiées (en supposant que << 1) de V _x et de V _y permettent de valider l'équation de continuité.

6- L'équation de Fourier "généralisée" (2) est utilisée pour le même cas. On suppose que la paroi du tube est maintenue à une température T ₁ , alors que le fluide pénètre à une température T ₀ , telle que T ₁ > T ₀ . Pour cette configuration, on admettra que le champ de température du fluide en écoulement dans la conduite peut s'écrire sous la forme :

,

où est une constante arbitraire à déterminer. Utiliser les champs de vitesse calculés dans les questions précédentes, ainsi que ce champ de température dans l'équation de Fourier

"généralisée" (2). L'équation obtenue après simplification doit être valide pour toutes les valeurs de x et de y. Montrer en particulier que pour la position de référence x = 0 et y = 0, on obtient simplement .

Pr = !

"

µ C

_P

= !

V

_y

= V

_m

1 – x

²

R

²

f ( y)

!V

_x

! x + !V

_y

! y = 0

f

(y ) = C

₀

– 2 ! V

_m

y R

²

+ 13 x

⁴

R

²

1 3 x

⁴

R

⁴

^{f (y ) ! 1 – 2}

"

V

_m

y R

²

V

_x

= – 2 ! x

R

²

x

²

3 R

²

– 1

1 3 x

⁴

R

⁴

T (x , y) = T

1

+ T

0

– T

1

1 – x

²

R

²

exp – ! y

!

! = 2 "

V

m

R

²

7- Lorsque y << 1, c'est-à-dire autour du plan de référence y = 0, le champ de température

s'écrit alors : , avec g(y) = 1 - y . Comparer la partie

complémentaire des fonctions f(y) et g(y), écrites comme f(y) = 1 - y ε ₁ et g(y) = 1 - y ε 2.

Ecrire notamment le rapport de ces deux paramètres ε ₁ / ε ₂ , et montrer qu'il est égal au nombre de Prandtl. Que vous inspire ce résultat ?

Problème 3.2.9 : Convection forcée dans une conduite - Distribution spatiale du champ de température pour le fluide en écoulement (C)

On considère le problème de la convection forcée dans une conduite cylindrique, de rayon R et d'axe orienté le long de Oz. Le fluide de conductivité thermique λ , de masse volumique ρ, de chaleur massique à pression constante Cp s'écoule le long de z en régime permanent laminaire. On supposera dans tout le problème que les paramètres physiques du fluide sont constants sur la gamme de variation de la température observée.

1- L'écoulement est supposé être du type de Poiseuille, et on écrira en conséquence (sans démonstration ici) l'expression du champ de vitesse pour les particules du fluide sous la forme : , où r représente la coordonnée radiale (0 < r < R). Calculer la valeur moyenne de vz(r), vmoy fournie par l'expression , et trouver la relation entre vmoy et vm . Quel commentaire vous inspire ce résultat ?

2- On suppose que la paroi de la conduite est chauffée de telle manière que sa température augmente de façon linéaire le long de z, sous la forme T(z,R) = A z. La distribution de la température dans le fluide est notée T(z,r) = A z + f(r), avec f(R) = 0, et telle que la fonction f(r) soit exempte de singularité en r = 0. Ecrire l'équation de Fourier généralisée à une dimension à partir de la relation générale , avec , et où le laplacien scalaire de T, noté ΔT s'écrit , en utilisant l'expression de vz(r) de la question 1-. Montrer que l'on obtient finalement pour f(r) l'équation différentielle

suivante : .

3- Une solution de cette équation est prise sous la forme : . En utilisant les conditions aux limites en r = 0 et en r = R, cf. question 2-, calculer F0, B et C et montrer

finalement que : , avec .

4- Vérifier la relation f(R) = 0, et discuter ce résultat en relation avec les hypothèses retenues.

En calculant f(R/2), ainsi que d'autres valeurs de f(r) pour 0 < r < R, montrer que f(r) < 0.

Quelle interprétation physique ce résultat vous inspire ?

!

T ( x , y) = T

₁

+ T

₀

– T

₁

1 – x

²

R

²

g(y) 2 !

V

m

R

²

v

_z

(r) = 2v

_m

1 – r

²

R

²

v

_moy

= 1 R v

_z

(r) dr

0 R

v.grad T = ! "T ! = " / # C

_P

!T(r) = 1 r d dr r dT

dr

d

²

f dr

²

+ 1 r df

dr + 2 Av

_m

! r

²

R

²

– 1 = 0

f

(r) = F

₀

+ B r

²

+ C r

⁴

f

(r) = F

₀

1 – 4 3 r R

2

+ 1 3 r R

4

F

₀

= – 3 8

A v

_m

R

²

!

5- Calculer la densité de flux de chaleur , avec T(z,r) = A z + f(r). Montrer que . Ce résultat indique que q est indépendant de la conductivité thermique λ . Quelle interprétation ou commentaire pouvez-vous apporter vis à vis de ce résultat ?

6- Pour un écoulement à faible nombre de Reynolds, on suppose que la prise en compte de la viscosité du fluide µ dans l'équation de Fourier généralisée puisse se mettre sous la forme de l'équation suivante : , avec la vitesse v(r) fournie à la question 1-, ainsi que le laplacien de la température Δ T à la question 2-. Terminer les calculs pour aboutir à la

relation suivante : , où représente le nombre de

Prandtl.

7- Résoudre cette équation suite à deux intégrations successives autour de la variable r, et aboutir à la solution suivante : . En utilisant les conditions aux limites suivantes T(r=0) = T ₀ , et T(r=R) = T _R , montrer que C ₁ = 0, puis calculer C ₂ .

Montrer finalement que : .

q = ! dT dr

r=R

q = 1 2 ! C

_P

A v

_m

R

! " T = – µ

# C

_P

dv

dr

2

1 r d

dr r dT

dr = – 16 Pr v

_m²

C

_P

r

²

R

⁴

Pr = µ C

_P

!

T (r) = – Pr v

_m²

C

_P

r

⁴

R

⁴

+ C

₁

ln r + C

₂

T (r) – T

_R

= – µ v

_m²

! 1 – r R

4

Exercice 3.2.1 : Quelques questions à propos du nombre de Prandtl (A)

1- Le nombre de Prandtl est simplement défini comme étant le rapport de la viscosité cinématique divisé par la diffusivité thermique . Au final, on retrouve bien le résultat annoncé, , où représente la viscosité dynamique, la chaleur massique à pression constante, et la conductivité thermique. L’équation aux dimensions permet de montrer que le nombre de Prandtl est bien sans dimension. De fait, les dimensions des diverses grandeurs sont les suivantes :

[ ] ! ^{= H} t LT

!

"#

$

%& ; [ ] µ ^{= M}

L t

!

"#

$

%& ; [ ] C

_P

^{= H}

MT

!

"#

$

%& ' [ ] Pr ⁼ [ ] ^C

^P

[ ] ^µ [ ] ! ⁼

H MT

!

"#

$

%&

M L t

!

"#

$

%&

H t LT

!

"#

$

%&

,

d’où : [ ] Pr ^{= H} MT

!

"#

$

%&

M L t

!

"#

$

%&

t LT H

!

"

# $

% & = [ cste ] ^.

Le nombre de Prandtl est bien sans dimension, comme il se doit. Ce paramètre assure le lien entre effets thermiques (terme de la conductivité thermique ), et effets visqueux (terme de la viscosité ).

2- En écoulement laminaire de l’air dans un tuyau, on peut écrire : N

_u

= 0, 332. R

^1/2_e

P

_r^1/3

. Sachant que : P

_r^air

= 0, 71 ! N

_u

= 0, 296 R

_e

. On observe donc une variation du nombre de Nusselt sur la racine carrée du nombre de Reynolds. Cette expression est précise, du fait que le nombre de Prandtl de l’air varie très peu sur une large gamme de température.

3- Les expressions des épaisseurs de couche limite visqueuse et thermique sont fournies par les expressions classiques : ! = 2 µ

"

₀

# ^; ! ' = 2 µ

"

₀

# P

_r

! !

! ' = P

_r

" 0,843 _.

4- Les Tables de valeurs des paramètres indiquent effectivement que le nombre de Prandtl varie très peu sur une large gamme de température, entre 0,708 et 0,710 par exemple entre 300 K et 2300 K. Pourtant les paramètres entant dans la définition du nombre de Prandtl de l’air, à savoir : µ , C

_P

, ! , possèdent eux des variations importantes sur la même gamme de température entre 300 K et 2300 K, soit sur des écarts de 2000 K tout de même. On note par exemple :

µ

^300K

= 1,8462.10

^!5

kg / m.s ; C

_P^300K

= 1, 0057 kJ / kg.K ; !

^300K

= 0, 02624 W / m.K ; µ

^2300K

= 7,14.10

^!5

kg / m.s ; C

_P^2300K

= 1, 482 kJ / kg.K ; !

^2300K

= 0,149 W / m.K .

On constate que la viscosité de l’air augmente avec la température, alors que la conductivité thermique augmente elle aussi. La chaleur massique (à pression constante) dans le même temps varie un peu de l’ordre de 40%, alors que les écarts la viscosité et sur la conductivité sont eux beaucoup plus grands (de l’ordre de 5). En fait, ces variations plus ou moins fortes

! = µ / " ! = " / # C

_P

P

_r

= µ C

_P

/ ! µ C

_P

!

!

µ

sur la gamme de température considérée (entre 300 K et 2300 K), se compensent complétement pour l’air, ce qui aboutit à la stabilité du nombre de Prandtl (de l’ordre de 2 sur 710, soit environ 0,3 %).

Exercice 3.2.2 : Quelques questions sur le nombre de Nusselt (A)

Les nombres de Reynolds et de Prandtl sont bien sans dimension. Pour s’en convaincre, il faut revenir à leurs définitions, en écrivant : P

_r

= C

_P

µ / ! ; R

_e

= !U " / µ . Le calcul détaillé pour le nombre de Prandtl a été effectué à l’exercice précédent. Ici pour le nombre de Reynolds, l’équation aux dimensions fournit :

[ ] ! ⁼ [ ] ^{L ;} [ ] ^{U = !} _"# ^L _t ^$ _%& ^; [ ] ^{! = M} _L

3

!

"#

$

%& [ ] µ ^{= !} _{"# L t} ^{M $} _%& ^' [ ] ^{Re =} [ ] ^! [ ] ^U [ ] ^! [ ] µ ⁼

L

²

!" $%

[ ] t ^. M L

³

!

"#

$

%& . L t M

!

"

# $

% & = [ cste ]

Le nombre de Nusselt dans le cas général peut s’écrire sous la forme générique : N

_u

= cste. R

^!_e

P

_r^"

, avec α et β des exposants arbitraires. Du fait que les nombres de Reynolds et de Prandtl sont sans dimension, cela implique que le nombre de Nusselt ne possède pas de dimention lui non plus. Cela vient aussi de sa définition : N

_u

= h! / ! . Par ailleurs, la définition « savante » du nombre de Nusselt, proposée dans l’énoncé (et tirée d’un ouvrage de mécanique des fluides), indique que ce paramètre est forcément supérieur à l’unité, car il existe deux termes positifs au numérateur, pour un seul terme (positif aussi) au dénominateur.

Le terme du dénominateur : # ( ! ! "T ^! ) ^{• d S !} , est relatif au transfert de chaleur par conduction, via une écriture intégrale « modifiée » de la loi de Fourier. Le numérateur

! CT !

v ! ! "T ^!

( )

# ^{• d S !} , fait donc intervenir un terme supplémentaire qui est lié à la vitesse d’écoulement. On y retrouve le produit ! C , entre la masse volumique et la capacité calorifique. Ce terme est donc une signature d’un bilan « calorimétrique » ou bien du terme dépendant du temps de l’équation de la chaleur ( ! !T = " C "T

"t # # !T = "T

"t ^).

Exercice 3.2.3 : Nombres caractéristiques en convection forcée (A)

1- Les relations fonctionnelles de définition du nombre de Nusselt, sont a priori en convection forcée du type suivant : . Dans cette relation générique, a et b sont a priori des constantes arbitraires. Sachant qu’il s’agit d’exposants, cela implique forcément que les trois nombres (Nusselt, Reynolds et Prandtl) doivent bien tous être sans dimension, car sinon l’équation aux dimensions ne pourrait certainement pas être validée, notamment en modifiant ces deux exposants.

N

_u

= Cte R

_e^a

P

_r^b

2- Les deux expressions fournissant le nombre de Nusselt, à la transition entre régime laminaire et régime turbulent fournissent des valeurs similaires. Le calcul numérique est le suivant :

• Régime laminaire :

.

• Régime turbulent :

.

C’est effectivement normal de retrouver des nombres de Nusselt voisins, car les expressions numériques ont justement été retrouvées pour qu’il n’y ait pas de discontinuité majeures à la transition entre régime laminaire et régime turbulent.

3- Par contre bien évidemment, lorsque la vitesse de l’écoulement du fluide continue à augmenter, alors dans ce cas, le nombre de Nusselt augmente aussi, même si la relation de dépendance n’est pas linéaire, le paramètre croit comme la puissance 0,8 du nombre de Reynolds.

• Régime turbulent (10 fois le nombre de Reynolds critique) :

.

• Régime turbulent (100 fois le nombre de Reynolds critique) :

.

Exercice 3.2.4 : Convection libre et forcée pour une lampe ordinaire (B)

1- Cas de la convection forcée

Les propriétés de l’air à 27 °C (300 K) sont tirées de la Table de valeurs : .

Par ailleurs, ,

avec : .

Or .

Il est alors possible de calculer le flux d’énergie thermique évacuée par convection :

, soit 23,4 % de l’energie nominale de l’ampoule dissipée par convection forcée.

N

_u

= 0, 332 R

^1/2_e

P

_r^1/3

= 0, 332 . (2200)

^1/2

(6,87)

^1/3

= 0, 332 . 46, 90 . 1, 90 = 29, 58

N

_u

= 0, 023R

_e^4/5

P

_r^2/5

= 0, 023 . (2200)

^4/5

(6,87)

^2/5

= 0, 023 . 471, 99 . 2,16 = 23, 45

N

_u

= 0, 023R

_e^4/5

P

_r^2/5

= 0, 023 . (22000)

^4/5

(6,87)

^2/5

= 0, 023 . 2978,1 . 2,16 = 147, 95

N

_u

= 0, 023R

_e^4/5

P

_r^2/5

= 0, 023 . (220000)

^4/5

(6,87)

^2/5

= 0, 023 . 18790 . 2,16 = 933, 48

! = 1,1774 kg / m

³

; µ = 1,8462.10

^!5

kg / m.s ; " = 0, 02624 W / m.K N

_u

= hd / ! = 0, 37. R

_e^0,6

R

_e

= !U!

µ = 0, 3 . 1,1774 . 50.10

^!3

1,8462.10

^!5

= 956, 6 " N

_u

= 22, 73 W / m

²

.K h = ! N

_u

d = 0, 02624 . 22, 73

50.10

^!3

= 11, 93 W / m

²

.K

! = hS(T

_S

! T

_f

) = 11, 93. " . 50 ( )

²

^.10

^!6

^{.100 = 9, 36 W}

2- Cas de la convection libre

On repart de la relation fonctionnelle pertinente : , avec P _r = 0,708 et : .

On considère le nombre de Grashof égal à 13300 pour la suite des calculs.

, d’où : , soit ici φ = 2,43 W, c’est-à-dire à peine 6,1 % de l’énergie nominale de l’ampoule dissipée par la convection libre. En fait, les deux mécanismes peuvent coexister et dans ce cas ils s’ajoutent tout simplement, pour une contribution totale de 11,79 W , soit 29,5 % de l’énergie dissipée par la convection libre et forcée. La convection forcée est plus efficace ici que la convection libre, d’un facteur proche de 4 (9,36 / 2,43 = 3,85).

Exercice 3.2.5 : Convection forcée d’une conduite chauffée en surface (B)

1- Le bilan thermique proposé correspond à indiquer que la quantité de chaleur échangée par convection doit être égale à la chaleur nécessaire pour faire varier la température du fluide considéré (loi fondamentale de la calorimétrie) :

, soit en notant : ,

, avec ,

.

2- Après simplifications d’usage, il reste finalement :

, soit après changement de variable : _, il reste l’équation différentielle ordinaire du premier ordre : _,

du type : , avec : .

Si la solution générale est prise sous la forme : .

Il faut alors utiliser les conditions aux limites :

,

d’où : .

N

_u

= 0, 6 ( G

_r

P

_r

)

^0,25

G

_r

= ! g "

²

( T

_S

! T

_f

) ^d

³

µ

²

= 0, 333.10 ! 2. 9,81 . (1,1774)

²

.100 . 10

³

.10

^!9

(1,8462)

²

.10

^!10

= 13298 N

_u

= 0, 6 ( G

_r

P

_r

)

^0,25

^{= 5, 91 h = 3,10 W / m}

²

^.K

d ! = h(T

_S

! T

_e

)dS = h " D(T

_S

! T

_e

)dx T

_e

! T (x) d! = mC !

_P

(T (x + dx) ! T (x )) = mC !

_P

dT( x)

dx dx m ! = !U "

4 D

²

! h! D(T

_S

" T ( x))dx = C

_P

"U !

4 D

²

dT (x) dx dx

4h(T

_S

! T (x)) = C

_P

!UD dT(x )

dx ! (x) = T

_S

! T (x)

4h! = !"C

_P

UD d!

dx

!(x ) + A d! (x)

dx = 0 A = !C

_P

UD 4h

! (x) = K exp ! x A

"

# $ %

&

'

!

_(x=0)

= T

_S

! T

_i

= K ; !

_(x=+L)

= T

_S

! T

₀

= K exp(!L / A) " T

_S

! T

₀

= ( T

_S

! T

_i

) ^{exp(!L / A)}

T

₀

= T

_S

+ ( T

_S

! T

_i

) ^{exp(!L / A)}

Lorsque la vitesse d’écoulement U est suffisamment forte, alors : . Il est alors possible de développer la fonction exponentielle à l’ordre 1, sous la forme :

. L’équation fournissant se met alors sous la forme suivante : .

3- Le problème est dorénavant résolu en utilisant une équation de différence finie sur la longueur L du tuyau, soit pour l’équation du bilan thermique l’expression suivante :

, avec ,

soit : .

Cette équation est alors réécrite en notant : , ce qui permet d’établir :

, soit : .

Pour , , d’où : .

4- Application numérique : On note les valeurs des paramètres :

On trouve , ce qui permet de calculer par l’une ou l’autre des deux approximations proposées:

, ou bien : .

On retrouve effectivement dans les deux cas le même ordre de grandeur dans la limite de l’approximation effectuée ici.

Exercice 3.2.6 : Champ de température d'une sphère immergée dans un fluide (B)

1-La source thermique située à l’infini impose une condition aux limites du type : , pour . Sachant que , pour r quelconque, les solutions proposées sont

du type : , ou bien .

* Si , alors , d’où un champ valide jusqu’en , soit , pour tout r.

1 / A ! 0

exp(!L / A) " 1! L / A _T

₀

T

₀

! T

_i

+ ( T

_S

" T

_i

) ^{L / A}

4hL(T

_S

! T

_e

) = C

_P

! UD(T

₀

! T

_i

) T

_e

= 1

2 (T

₀

+ T

_i

) T

_S

! 1

2 (T

₀

+ T

_i

) = !C

_P

UD

4hL (T

₀

! T

_i

) = A

L (T

₀

! T

_i

)

! = L 2 A << 1 2T

_S

! (T

₀

+ T

_i

) = 1

! (T

₀

!T

_i

) T

₀

= 2T

_S

! + T

_i

(1! !) (1+ !)

! << 1 1

1 + ! ^{! 1 "} ! T

₀

! 2T

_S

! (1" ! ) + T

_i

(1 " ! )

²

! 2T

_S

! + T

_i

(1" 2 ! )

U = 10cm / s ; L = 5m ; D = 0,1m ; T

_i

= 40 °C ; T

_S

= 90 °C

! = 981, 9 kg / m

³

; C

_P

= 4,187 kJ / kg.K ; µ = 0, 432.10

^!3

kg / m.s

! = 0, 6629 W / m.K ; P

_r

= 2, 72 ! R

_e

= 22729 ; N

_u

= 20,82

! = 0, 0335 T

₀

T

₀

! 2T

_S

! + T

_i

(1" 2 ! ) = 43, 35 °C T

₀

= 2T

_S

!

1+ !

!

"

# $

% & + T

_i

1' ! 1+ !

!

"

# $

% & = 43, 23 °C

!T = A

r ! " !T = !

" • !

"T = 0 T = !

A • r ! = Ar T = ! A • !

! 1

r

"

# $ %

&

' = A / r

²

T = Ar !T = A r ! 0 !T = 0

* Si , alors , et , soit , pour r suffisamment grand. Par contre, il existe une singularité pour .

D’où finalement : dans la sphère solide, et dans le fluide autour de la sphère.

2- Il faut prendre en compte les conditions aux limites sur la surface de la sphère (en r=R), à savoir :

* continuité de la température : .

* continuité du flux de chaleur :

,

soit : .

Il reste alors : ,

et : .

3- Finalement, les champs de température dans la sphère et dans le fluide s’écrivent : .

A la surface de la sphère (en r = R), on retrouve bien la même valeur pour les deux champs, à

savoir : .

4- En présence d’un écoulement, on repart de l’équation de la chaleur « généralisée », écrite sous la forme :

, avec le terme qui est négligeable.

,  car   , en notant .  Si ,

alors, .

Pour y suffisamment grand, alors . Pour , on retrouve bien .

T = A / r

²

!T = " 2 A

r

³

!T = 6 A

r

⁴

!T = 0 r ! 0

T

₁

= C

₁

Ar T

₂

= C

₂

A / r

²

+ Ar

T

_1r=R

= T

_2r=R

! C

₁

AR = C

₂

R

³

+1

"

# $ %

&

' AR ! C

₁

= 1+ C

₂

R

³

!

_1r=R

= !

_2r=R

! "

₁

"T

₁

"r

_r=R

= "

₂

"T

₂

"r

_r=R

! "

₁

C

₁

A = "

₂

C

₂

R

³

+1

#

$ % &

' ( A ) "

₂

3C

₂

R

⁴

AR

!

₁

C

₁

= !

₂

1 ! C

₂

R

³

"

# $ %

&

' ( C

₁

= !

2

!

1

1! C

₂

R

³

"

# $ %

&

'

C

₂

R

³

1+ 2 !

2

!

₁

!

"

# $

% & = !

2

!

₁

^{'1 ( C}

²

⁼

!

2

' !

1

!

₁

+ 2 !

₂

!

"

# $

% & R

³

C

₁

= 1 + !

2

! !

1

!

1

+ 2 !

2

" C

₁

= 3 !

2

!

1

+ 2 !

2

T

₁

(r) = 3 !

₂

!

₁

+ 2 !

₂

!

"

# $

% & Ar ; T

₂

(r) = 1 + !

₂

' !

₁

!

₁

+ 2 !

₂

!

"

# $

% & R r

!

"

# $

% &

(

3

)

* *

+ , - - Ar

T

₁

(R) = 3 !

₂

!

₁

+ 2 !

₂

!

"

# $

% & AR ; T

₂

(r) = 1 + !

₂

' !

₁

!

₁

+ 2 !

₂

!

"

# $

% &

(

) * +

, - AR = 3 !

₂

!

₁

+ 2 !

₂

!

"

# $

% & AR

V

_x

!T

!x + V

_y

!T

!y = ! !

²

T

!x

²

^V

^x

!T

!x << 1

!T " 0 !!T " U #T

#y U ! V

_y

T (y) = Ay + C

₂

A / y

²

! !T " UA ( 1 # 2C

₂

/ y

²

)

!T " UA / ! ^U ! 0 !T = 0

Exercice 3.2.7 : Evolution de la température d’une bille immergée dans un fluide (B)

1- On commence par calculer le nombre de Biot, rapport de la résistance thermique interne (pour la conduction) à la résistance externe (pour la convection) :

.

Sachant que l’on a affaire à une bille sphérique de rayon R, la longueur caractéristique L

s’écrit : .

Au final, .

Sachant que le nombre de Biot est très petit devant 1, on en déduit que la résistance interne est très faible, ce qui indique l’uniformité de la température à l’intérieur du corps solide, en relation avec la loi de Fourier s’écrivant . Du fait que , et pour traduire le fait qu’a priori le flux reste fini, alors il faut que les écarts de température à l’intérieur du corps restent eux mêmes finis, d’où l’uniformité de la température attendue.

2- Le bilan thermique indique que le flux de chaleur perdu par convection correspond à un refroidissement global du corps solide. On place un signe moins devant la deuxième quantité pour bien indiquer un refroidissement (dans le cas inverse d’un réchauffement du corps solide, on placerait alors un signe plus dans l’équation de bilan). Soit ici, au final :

, avec : .

3- Il s’agit d’une équation différentielle ordinaire du premier ordre qui est aisément résolue, en écrivant :

, c’est-à-dire après intégration : .

Les valeurs numériques fournissent :

;

.

4- La quantité de chaleur fournie à l’air ambiant se calcule aisément à partir de sa définition :

, avec : , et en notant : ,

B

_i

= ( L / ! S ) ^{/ 1 /} ( ^hS ) ^{= hL / !}

L = V / S = (4 / 3) ! R

³

/ 4 ! R

²

= R / 3

B

_i

= hR / 3 ! = (10 . 2, 5.10

^!2

) / (3 . 35) = 2, 4.10

^!3

<< 1

! = !T / R

_in

R

_in

<< 1

!

!T

! dt = dQ = hS(T ! T

_"

)dt = !" C

_P

VdT # dT

dt = T ! T

_"

# ! = " C

_P

V hS

dT

T ! T

_"

= dt

! t = ! ln T

_i

! T

_"

T ! T

_"

#

$ % &

' (

! = " ^C

P

V

hS = 7,8.10

³

.0, 46.10

³

.2, 5.10

^!3

10 . 3 = 2990 s

t = ! ln T

_i

! T

_"

T ! T

_"

#

$ % &

' ( = 2990 ln 450 !100 150 !100

#

$ % &

' ( = 5818 s ) 1h40'

Q =

0 t

! ^{!dt ! = hS(T ! T}

^"

^{) T ! T}

^"

^{= ( T}

ⁱ

^{! T}

^"

^{) exp #} _$ ^{% !} _! ^{t &} _' ⁽

ce qui s’écrit ici : ,

c’est-à-dire : .

On retrouve bien le résultat de départ attendu.

Problème 3.2.8 : Distribution des champs de vitesse et de température en convection forcée (C)

1- Il faut partir des deux équations couplées de la convection forcée pour un écoulement le long de l’axe Oy dans un tube de rayon R pris le long de l’axe radial Ox qui peuvent se mettre sous la forme suivante :

:, soit pour les équations aux

dimensions associées : .

Le rapport de ces deux équations (1) et (2), terme à terme, fournit : , ce qui indique que par définition le nombre de Prandtl, , est bien sans dimension.

2- L’équation de définition du nombre de Prandtl, , peut aussi être réécrite au niveau des dimensions : . Pour retrouver les dimensions de chaque quantité, il suffit de se souvenir que , et proviennent respectivement de l’équation du mouvement, de celle de la calorimétrie, et enfin de l’équation de la chaleur, avec pour unités :

, ce qui valide bien l’égalité de l’ensemble des dimensions.

3- On considère un champ de vitesse de type Poiseuille pour la composante , le long de l’écoulement, soit : , avec une fonction décroissante de y.

L’écriture de la relation de continuité , impose la relation suivante : .

D’où : .

Q = hS(T

_i

! T

_"

) exp ! t

!

#

$ % &

' (

0 t

) ^{dt = " C}

^P

^{V (T}

ⁱ

^{! T}

^"

^{) 1! *} ₊ ^{, exp #} _$ ^{% !} _! ^{t &} _' ^{( -} _. ^/

Q = ! C

_P

V (T

_i

! T

_"

! (T ! T

_"

)) = ! C

_P

V (T

_i

! T ) = mC

_P

#T

V

_x

!V

_y

!x + V

_y

!V

_y

!y = ! ^!

2

V

_y

!x

²

(1) ; V

_x

!T

!x + V

_y

!T

!y = ! ^!

2

T

!x

²

(2)

[ ] [ ] ^V [ ^!V ]

[ ] !L ⁼ [ ] ^! [ ^!V ]

!L

²

"# $% (1) ; [ ] V [ ^!T ]

[ ] !L ⁼ [ ] ^! [ ^!T ]

!L

²

"# $% (2)

[ !V ] [ ] !T ⁼

[ ] !

[ ] !

[ !V ] [ ] !T P

_r

= ! / "

P

_r

= ! / "

[ ] µ [ ] ^C

^P

⁼ [ ] ^!

µ C

_P

!

[ ] µ [ ] ^C

^P

⁼ [ ] ^{! ! "} _{#$ L t} ^{M %} _&' ^{. "} _{#$ M T} ^{H %} _&' ^{= "} _{#$ t L T} ^{H %} _&'

V

_y

V

_y

= V

_m

1 ! x

²

R

²

"

# $ %

&

' . f (y) f (y)

div ! V = 0

!V

_y

!y = V

_m

1" x

²

R

²

#

$ % &

' ( . f '( y) = " !V

_x

!x ) V

_x

= V

_m

. f '(y) * ^x

2

R

²

"1

#

$ % &

' ( dx = V

_m

. f '( y) x x

²

3R

²

"1

#

$ % &

' (

!V

_y

!x = " 2 x

R

²

V

_m

. f (y) ; !

²

V

_y

!x

²

= " 2V

_m

R

²

. f ( y)