Echanges thermiques dans un réacteur chimique sphérique (C)

Un réacteur chimique est constitué d’un récipient en forme de coque sphérique de grande dimension (de diamètre 1,5 m). Les produits chimiques sont mélangés à l’intérieur de ce récipient. Une réaction chimique exothermique s’ensuit, fournissant une quantité de chaleur qui s’écoule vers l’extérieur du réacteur. On suppose pour ces échanges une symétrie de révolution sphérique avec une dépendance des champs de température T(r) selon la coordonnée radiale r uniquement.

1- Résoudre l’équation de la chaleur :

!

"T=0, avec

!

"T= 1 r²

d

dr r²dT dr

#

$ % &

' ( pour une coque sphérique de rayons interne et externe respectifs R₀ et R. Intégrer cette équation deux fois selon la coordonnée radiale r. Utiliser les conditions aux limites, notées ici

!

T(r=R₀)=T₀, et

!

T(r=R)=T_", avec R > R₀. Montrer que l’expression analytique obtenue est bien celle établie

en cours avec une autre méthode (en utilisant l’équation de Fourier au lieu de l’équation de la chaleur).

En fait, la paroi du réacteur chimique est constituée de trois enveloppes concentriques de diamètres successifs d₁, d₂, d₃ et d₄. Les trois matériaux sont respectivement une couche mince d’acier à l’intérieur de conductivité λ₁, une couche d’isolant thermique au centre de conductivité λ₂, et une dernière couche mince d’acier à l’extérieur. La température du mélange chimique à l’intérieur du réacteur est notée T₀. Celles des différentes couches

successives de matériaux à leurs interfaces respectifs sont notées T₁, T₂, T₃ et T₄. Enfin la température extérieure est notée

!

T_". Il existe à l’intérieur du réacteur des échanges thermiques

par convection (loi de Newton) avec un coefficient de conductance h₁, de même qu’à l’extérieur pour une conductance h₂.

2- Écrire la loi de Newton pour la convection à l’intérieur du réacteur chimique, puis la mettre sous la forme :

!

"=T₀#T₁ R_h1 ^, où

!

" représente le flux de chaleur radial, et

!

R_h1 la résistance thermique dont l’expression sera donnée. Écrire la loi de Fourier pour la conduction à l’intérieur de chaque couche concentrique « acier-isolant-acier ». Sachant que l’épaisseur de chaque couche est faible ou très faible par rapport aux diamètres respectifs, montrer alors que la loi de Fourier, par exemple pour la première couche d’acier peut se mettre sous la forme :

!

" =#2$₁%d₁d₂ T₂ #T₁ d₂ #d₁

&

' ( )

* + = T₁#T₂

R₁₂ ^. Exprimer alors la résistance thermique totale

!

R_tot pour l’ensemble du réacteur, comprenant la conduction thermique pour les trois couches « acier-isolant-acier », ainsi que pour les effets de convection à l’intérieur et à l’extérieur du réacteur.

3- Exprimer le flux thermique pour l’ensemble du réacteur sous la forme habituelle

!

" =T₀#T_$

R_tot ^. Calculer alors la valeur numérique du flux thermique

!

", à partir de l’expression

de

!

R_tot, qui sera calculée à l’aide des données numériques suivantes (voir feuille séparée).

Déduire des expressions établies à la question 2-, les valeurs numériques des températures T₁, T₂, T₃ et T₄. Quelle remarque vous inspire ces valeurs de température, notamment la comparaison de T₂ et de T₃ pour le rôle de l’isolant thermique, dont l’objet est d’affaiblir suffisamment la température vers l’extérieur (il faut que T₄ ne s’éloigne pas trop de la température extérieure

!

T_", pour des raisons de sécurité).

Données numériques pour Exercice 4.2.7

d₄ = 1500 mm ; d₄ – d₃ = 6 mm ; d₃ – d₂ = 20 mm ; d₂ – d₁ = 6 mm T₀ = 200°C ; T_∞ = 20°C ; λ₁ = 42 W/mK ; λ₂ = 0,128 W/mK

h₁ = 400 W/m²K ; h₂ = 40 W/m²K

Exercice 4.2.1 : Transferts de chaleur dans un barreau encastré entre deux murs (C) 1- L’équation de bilan thermique consiste juste à écrire que le flux de chaleur qui pénètre en x

= x est conservé à la sortie en x = x + dx en prenant en compte le flux de chaleur évacué par convection. Cette relation se met sous la forme :

, avec P : périmètre du tube.

. Soit en posant : , et en notant : ,

on obtient finalement : .

2- La solution générale de cette équation différentielle s’écrit simplement : .

Les deux constantes d’intégration et se calculent aisément à l’aide des conditions aux limites aux deux extrémités :

,

D’où : .

Le champ de température s’écrit donc finalement dans ce cas :

.

3- Cette expression vérifie bien les deux conditions aux limites de départ : , et :

.

L’évaluation de la température au milieu du barreau (en x = L/2), fournit :

, .

Il est bien clair que , du fait que .

!!SdT(x)

dx =!!SdT(x+dx)

dx +hPdx(T!T_")

!d²T dx² "hP

!S(T"T_#)=0 !(x)=T(x)!T_" m²= hP

!S d²!

dx² !m²!=0

!(x)=C₁exp(!mx)+C₂exp(+mx)

C₁ C₂

!(x=0)=!1=T₁!T_"=C₁+C₂; !(x=+L)=!2 =T₂!T_"=C₁exp(!mL)+C₂exp(+mL)

C₁=!₁exp(+mL)!!₂

2sinhmL ; C₂ =!!₁exp(!mL)!!₂ 2sinhmL

!(x)= 1

2sinhmL

{ (

!1exp(+mL)!!2

)

^exp(!mx)!

(

^{!1exp(!mL)!!2}

)

^exp(+mx)

}

!(x=0)= 1

2sinhmL

{

!1exp(+mL)!!2!!1exp(!mL)+!2

}

^=!1

!(x=+L)= 1

2sinhmL

{

!1!!2exp(!mL)!!1+!2exp(+mL)

}

^=!2

!(x=+L/2)= 1

2sinhmL

{

!1exp(+mL/ 2)!!2exp(!mL/ 2)!!1exp(!mL/ 2)+!2exp(+mL/ 2)

}

!(x=+L/2)=

(

!1+!2

)

^{sinhmL/ 2}

sinhmL

!_(x=+L/2)<

(

!₁+!₂

)

^{/ 2 sinhmL>2sinhmL/ 2}

4- Pour calculer la quantité de chaleur échangée par transfert convectif, il faut calculer la quantité : , avec l’expression pour le champ de température :

. , soit :

.

Sachant que : ,

il reste finalement : .

5- On effectue alors le développement limité à l’ordre 1 de la tangente hyperbolique autour de zéro, sous la forme : , si bien qu’il ne reste plus pour Q que la quantité suivante : , qui peut s’écrire sous la forme générique :

, avec , et en notant : .

Exercice 4.2.2 : Transfert de chaleur dans un barreau composite (B)

1- Pour un barreau composite constitué de deux parties de longueur L/2, et de conductivité thermique , et , pour les parties n°1 et n°2, respectivement situées entre x = 0 et L/2 d’une part, et entre x = L/2 et L d’autre part, les équations de base sont tout à fait similaires à celles de l’exercice précédent pour un simple barreau cylindrique de longueur totale L et de rayon R. Il faudra juste veiller à bien écrire les équations de bilan et de champ de température dans les deux domaines.

* Pour , on a : ,

avec : , et , soit : .

Pour résoudre cette équation différentielle, il faut tout d’abord effectuer le changement de variable habituel : , et en notant : , il reste finalement :

, équation de solution : .

Q= 2!Rh"(x)dx

0 L

!

^!(x)

!(x)= 1

2sinhmL

{ (

!1exp(+mL)!!2

)

^exp(!mx)!

(

^{!1exp(!mL)!!2}

)

^exp(+mx)

}

!Q= !Rh

msinhmL

(

"1expmL""2

)

exp("mx)dx"

(

!1exp("mL)"!2

)

^exp(+mx)dx

0 L 0

#

L

$

#

%& '

()

Q= !Rh

msinhmL

{

2!₁coshmL!2!₂!2!₁+2!₂coshmL

}

^{= 2!Rh}

msinhmL

(

!₁+!₂

) (

^coshmL!1

)

coshmL!1=2sinh²(mL/ 2) ; sinhmL=2sinh(mL/ 2)cosh(mL/ 2) Q= 2!Rh

m

(

"₁+"₂

)

^{tanh(mL/ 2)}

tanh(mL/ 2)!mL/ 2 Q!!RLh

(

!₁+!₂

)

Q!hS!_moy=hS T

(

_moy"T_#

) ^{S = 2! RL}

^!moy=

⁽

^!1+!2

⁾

^{/ 2}

!1 !2

x!

(

0,L/ 2

)

^!!1SdT₁

dx =!!₁S dT₁ dx +d²T₁

dx² dx

"

#$ %

&

'+hPdx(T₁!T₍)

P = 2 ! R

S=!R² d²T₁ dx² ! hP

!1S

(

T₁!T_"

)

⁼⁰

!1=T₁!T_" m₁² = hP

!1S d²!1

dx² !m₁²!1=0 !1(x)=C₁exp(!m₁x)+C₂exp(+m₁x)

* Pour , on obtient des résultats tout à fait similaires, en indexant par la valeur 2 au lieu de 1:

.

Soit avec le changement de variable : , et en notant : :

, équation de solution : .

2- Pour déterminer les 4 constantes inconnues , , et , il faut utiliser les 4 conditions aux limites suivantes :

* en x = 0 et en x = +L, ,

* à la jonction, .

L’équation (4) qui traduit l’égalité des flux de chaleur par conduction, à la jonction entre les deux demi-poutres n°1 et n°2, s’écrit ici en repartant de l’équation de Fourier, sous la forme :

Au final, les 4 équations aux limites s’écrivent :

3- L’équation (4) peut éventuellement être simplifiée un peu, en notant que d’après leurs définitions, . Soit finalement pour cette équation (4) :

Les équations (1), (2) permettent d’exprimer et , en fonction de et :

et .

La somme des équations (3) et (4) se réduit alors à l’expression suivante : , ce qui fournit une relation formelle entre et , en utilisant l’expression de .

x!

(

L/ 2,L

)

!!₂SdT₂

dx =!!₂S dT₂

dx +d²T₂ dx² dx

"

#$ %

&

'+hPdx(T₂!T₍) !d²T₂ dx² " hP

!2S

(

T₂"T_#

)

⁼⁰

!2 =T₂!T_" m₂² = hP

!₂S d²!₂

dx² !m₂²!2 =0 !₂(x)=D₁exp(!m₂x)+D₂exp(+m₂x) C₁ C₂ D₁ D₂

!1(x=0)=!1

0=T₁!T_"(1) ; !2(x= +L)=!2

0 =T₂!T_"(2)

!1(x= +L/ 2)=!2(x= +L/ 2) (3) ; "1(x= +L/ 2)="2(x= +L/ 2) (4)

!S!1

d"1

dx _(x=L/2)=!S!2

d"3

dx _(x=L/2)(4)

!₁=C₁+C₂ (1)

!₂=D₁exp(!m₂L)+D₂exp(+m₂L) (2)

C₁exp(!m₁L/ 2)+C₂exp(+m₁L/ 2)=D₁exp(!m₂L/ 2)+D₂exp(+m₂L/ 2) (3)

!m₁C₁"₁exp(!m₁L/ 2)+m₁C₂"₁exp(+m₁L/ 2)=!m₂D₁"₂exp(!m₂L/ 2)+m₂D₂"₂exp(+m₂L/ 2) (4)

m₂ m₁ = !₂

!₁

C₁exp(!m₁L/ 2)!C₂exp(+m₁L/ 2)= !₂

!₁

(

^{D1exp(!m2L/ 2)!D2exp(+m2L/ 2)}

)

⁽⁴⁾

C₂ D₂ C₁ D₁ C₂ =!1!C₁ D₂ =

(

!2!D₁exp(!m₂L)

)

^exp(!m2L)

2C₁exp(!m₁L/ 2)=D₁ 1+ !₂

!₁

"

#$$ %

&

''exp(!m₂L/ 2)+D₂ 1! !₂

!₁

"

#$$ %

&

''exp(+m₂L/ 2)

C₁ D₁ D₂

Lorsque les deux milieux sont identiques ( ), on obtient à partir de ces équations : et , ce qui est naturel puisqu’il n’existe donc plus qu’un seul champ. Il reste alors juste les équations (1) et (2) qui s’écrivent finalement :

.

Exercice 4.2.3 : Transfert de chaleur dans une ailette plane (B)

1- Pour une ailette plane, les calculs sont assez similaires à ceux d’un barreau, à ceci près que la géométrie est différente, et que les conditions aux limites ne sont pas les mêmes, tout du moins pour l’extrémité libre, en x = +L. Le bilan énergétique de base reste inchangé, à savoir qu’il s’écrit :

.

Soit avec le changement de variable : , et en notant : : .

2- L’équation différentielle obtenue admet la solution classique suivante :

. Comme toujours pour ces cas là, les constantes et sont fournies par les conditions aux limites. Discutons tout d’abord la configuration d’un radiateur très allongé, ce qui permet de supposer que pour x = +L, la température à l’extrémité libre est celle de l’air environnant, soit . Par ailleurs, à l’autre extrémité, en x = 0, on retrouve la température du thermostat , soit :

. Ces deux conditions aux limites s’écrivent à partir du champ de

température de départ : , et . En fait, il faut

faire attention ici. En effet, si l’on suppose que , alors le champ de température doit diminuer régulièrement le long de l’axe 0x, si bien qu’en fait il ne faut conserver dans ce cas que le premier terme de la solution, soit , et la solution finale s’écrit au bout du

compte sous la forme très simple : .

3- Pour le cas d’un radiateur court et peu épais, il faut admettre une condition aux limites en x = +L, où l’extrémité est isolée thermiquement (absence de flux de chaleur en x = +L), c’est-à-dire un gradient nul pour le champ de température (en relation avec le loi de Fourier de la conduction : . La condition s’écrit finalement : , soit :

. Sachant de plus que , on obtient finalement :

!1=!2 =!!m₁=m₂ =m D₁=C₁ D₂ =C₂

!₁=C₁+C₂; !₂ =C₁exp(!mL)+C₂exp(+mL)

!!SdT

dx =!!S dT dx +d²T

dx² dx

"

#$ %

&

'+hPdx(T!T₍) !d²T dx² "hP

!S

(

T"T_#

)

⁼⁰

!=T!T_" m² =hP

!S ! 2h

!!

d²!

dx² !m²!=0

!(x)=C₁exp(!mx)+C₂exp(+mx) C₁

C₂

T=T_!"!(x=+L)=0

T=T₀

!(x=0)=!0 =T!T₀

!₀=C₁+C₂ 0=C₁exp(!mL)+C₂exp(+mL) T₀ >T_!

C₂=0

!(x)=!₀exp(!mx)"T(x)=T_#+

(

T₀!T_#

)

^exp(!mx)

!=!"SdT dx

dT

dx _(x=+L)=0 C₂=C₁exp(!2mL) !₀=C₁+C₂

, soit en revenant au champ de température de

départ : .

Cette expression valide bien les deux conditions aux limites de départ.

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