Durée de l’épreuve : 4 heures L’usage de la calculatrice est autorisé

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Mathématiques

Série S

Durée de l’épreuve : 4 heures L’usage de la calculatrice est autorisé

Le sujet comporte quatre pages

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

L’exercice 2 est différencié pour les élèves ayant choisi la spécialité (qui le rendront sur une feuille séparée).

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Exercice 1

^{(5 points)}

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal(O;−→u ,−→v). On prendra pour unité graphique 1 cm.

1.Question de cours

On rappelle que : « Pour tout vecteur−→w non nul, d’affixezon a : |z|=−→wetarg (z) = (−→u ,−→w)».

SoientM, N etP trois points du plan, d’affixes respectives m, netptels que m=netm=p.

a) Démontrer que :arg

p−m

n−m

=−−→

M N ,−−→

MP

b) Interpréter géométriquement le nombre

p−m n−m . 2.On considère les pointsA, B, C etDd’affixes respectives :

z_A= 4 +i, z_B= 1 +i, z_C = 5ietz_D=−3−i.

Placer ces points sur une figure.

3.Soitf l’application du plan dans lui-même qui, à tout pointM d’affixezassocie le point M^′ d’affixez^′ tel que : z^′= (1 + 2i)z−2−4i.

a) Préciser les images des points AetB parf .

b) Montrer quef admet un unique point invariantΩdont on précisera l’affixeω.

4.

a) Montrer que pour tout nombre complexez, on a :z^′−z=−2i(2−i−z).

b) En déduire, pour tout point M différent du point Ω, la valeur de M M^′

ΩM et une mesure en radians de l’angle

−−→

MΩ,−−−→

M M^′

c) Quelle est la nature du triangle ΩMM^′? d)SoitE le point d’affixez_E=−1−i√

3. Écrire z_E sous forme exponentielle puis placer le point Esur la figure.

Réaliser ensuite la construction du pointE^′ associé au pointE.

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Exercice 2

^{(5 points)}

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher :

4 jetons blancs marqués 0 ; 3 jetons rouges marqués 7 ; 2 jetons blancs marqués 2 ; 1 jeton rouge marqué 5.

1. On tire simultanément 4 jetons du sac. Quel est le nombre de tirages possibles ?

2. On suppose que tous les tirages sont équiprobables, et on considère les événements suivants : A : ” les quatre numéros sont identiques ” .

B : ” Avec les jetons tirés, on peut former le nombre 2000 ”.

C : ” Tous les jetons sont blancs ”.

D : ” Tous les jetons sont de la même couleur ”.

E : ” Au moins un jeton porte un numéro différent des autres ”.

2.1. Montrer que la probabilité de l’événement de B est 4 105

2.2.Calculer la probabilité des événements A, C, D et E (on donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles) 2.3. On suppose que l’événement C est réalisé, calculer alors la probabilité de l’événement B.

3.On établit la règle suivante :

- Si un joueur peut former 5 000, il gagne 75 euros.

- Si un joueur peut former 0000, il perd 25 euros.

- Pour tous les autres tirages, il perd 5 euros.

G est la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

Etablir la loi de probabilité de G et calculer l’espérance mathématique de G.

Exercice 2

^{(5 points)}

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Cet exercice sera rendu sur une feuille séparée.

Dans tout l’exercice,xety désignent des entiers naturels non nuls vérifiantx < y.

S est l’ensemble des couples(x, y)tels queP GCD(x, y) =y−x.

1.a.Calculer P GCD(363,484).

1.b.Le couple(363,484) appartient-il àS?

2. Soitnun entier naturel non nul ; le couple (n, n+ 1)appartient-il àS?

3.a. Montrer que (x, y) appartient à S si et seulement si il existe un entier naturel k non nul tel que x = k(y−x) et y= (k+ 1) (y−x).

3.b.En déduire que pour tout couple(x, y)deS on a : P P CM(x, y) =k(k+ 1) (y−x). 4.a.Déterminer l’ensemble des entiers naturels diviseurs de228.

4.b.En déduire l’ensemble des couples(x, y)deS tels que P P CM(x, y) = 228.

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Exercice 3

^{(4 points)}

Cet exercice comporte quatre questions. Pour chaque question, deux des quatre propositions sonta), b), c), d)sont vraies.

Les réponses seront données sur la copie et non sur l’énoncé.

Recopier sur la copie le numéro de la question, la lettre de la proposition, et dire pour chaque proposition si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse exacte rapporte 0,25 point, chaque réponse erronnée enlève 0,25 point. Une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Si, par application de ce barème, le total des points de l’exercice est négatif, il est ramené à zéro.

On considère trois suites(un),(vn)et(wn)qui vérifient la propriété suivante :

« Pour tout entier naturelnstrictement positif :u_n≤v_n≤w_n ».

1.Si la suite(vn)tend vers−∞, alors : a) La suite(wn)tend vers−∞

b) la suite(un)est majorée c) la suite(u_n)tend vers−∞

d) la suite(wn)n’a pas de limite.

2.Siun≥1, wn = 2un et lim

n→+∞(un) =l, alors : a) lim

n→+∞(vn) =l

b) La suite(wn)tend vers+∞ c) lim

n→+∞(wn−u_n) =l

d) On ne sait pas dire si la suite(v_n)a une limite ou non.

3. Si lim

n→+∞(un) =−2et lim

n→+∞(wn) = 2, alors : a) La suite(vn)est majorée

b) lim

n→+∞(vn) = 0

c) la suite(vn)n’a pas de limite

d) On ne sait pas dire si la suite(vn)a une limite ou non.

4. Siu_n= 2n²−1

n² etw_n =2n²+ 3

n² , alors : a) lim

n→+∞(wn) = 0 b) lim

n→+∞(vn) = 2 c) lim

n→+∞(un) = 2

d) la suite (vn)n’a pas de limite.

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Exercice 4

^{(6 points)}

Partie A : étude d’une fonction auxiliaire Soitϕla fonction définie surRpar

ϕ(x) =

x²+x+ 1

e⁻^x−1 1/ 1. 1. Déterminer les limites deϕen−∞et+∞.

1. 2. Etudier le sens de variation deϕpuis dresser son tableau de variation surR.

2/ Démontrer que l’équationϕ(x) = 0admet deux solutions dans R, dont l’une dans l’intervalle [1 ; +∞[ qui sera notée α. Déterminer un encadrement d’amplitude10⁻² deα.

3/ En déduire le signe deϕ(x)surRet le présenter dans un tableau.

Partie B : Etude de la position relative de deux courbes.

Sur la figure ci-dessous sont tracées les courbes représentatives de deux fonctionsf etg. Ces fonctions sont définies par f(x) = (2x+ 1)e⁻^x g(x) = 2x+ 1

x²+x+ 1 Leurs courbes représentatives dans un repère orthogonal sont notéesCf etCg.

1/ Démontrer que les deux courbes passent par le point A de coordonnées (0 ; 1) et admettent en ce point la même tangente.

2/ 2. 1. Démontrer que pour tout réelx,f(x)−g(x) =(2x+ 1)ϕ(x)

x²+x+ 1 oùϕest la fonction étudiée dans la partie A.

2. 2. A l’aide d’un tableau étudier le signe def(x)−g(x)surR. 2. 3. En déduire la position relative des courbesCf etCg.

-1 1 2

-1 1

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