Série n° 3

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Série n° 3 d’exercice sur « le calcul d’intégral » 2éme Bac S.M

EXERCICE 1:

On pose pour tout entier naturel non nul n, ¹ ₂

01

n n

I t dt

 t



 ^. 1. a. Calculer I . ₁

b. Montrer que pour tout



^nIN



^; 2

1

n n 1

I I

 n

 

 . c. En déduireI ; ₃ I et₅ I ₇

2. a. Prouver que pour tout entier naturel non nul n et pour ^t

 

^{0;1 ;} 2 ¹

2 1 2

n n n

t t t

t

  

 . b. En déduire un encadrement de I . _n

c. Déterminer les limites des suites

 

In n IN_ et

 

nIn n IN_ On considère la suite

 

un n IN_ définie par :

 

¹

1

1 ^k

n n

k

u k









 ^. 3. a. Calculer les valeurs exactes de u ; ₁ u et₂ u . ₃

b. Démontrer par récurrence que :u_n 2

 

1 ⁿI2_n1ln 2 EXERCICE 2:

On s'intéresse dans cet exercice à une suite de nombres rationnels qui converge vers e² . On définit, pour tout entier natureln1 , l’intégrale : ₀^{2 1}



²



!

n x

In x e dx





n  ^. 1. Calculer I₁.

2. Montrer que pour tout entier naturel n1 ; ²



^{2 1}



0 !

n

In e

 n 



3. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel n1 ,

 

1 1

2 1 !

n

n n

I I

n



  

 4. Démontrer par récurrence que :

2

2 2 2 2

1 ....

1! 2! !

n

e In

     n  . 5. On pose, pour tout entier natureln1, 2

!

n

un

 n a. Calculer ^{n 1}

n

u u

 et prouver que pour tout entier natureln3 ; ₁ ¹

n 2 n

u _  u

b. En déduire que pour tout entier naturel n3 ;

3 3

0 1

2

n

un u

  

     6. En déduire la limite de la suite

 

un puis celle de la suite

 

In . 7. Justifier enfin que :

2

2 2 2 2

lim 1 ....

1! 2! !

n

e n

 n

 

      

 

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 EXERCICE 3:

Pour tout entier naturel n, on définit ²

0 ^nxsin

In e x dx

 





^et J_n 0²e ^nxcos x dx

 





1. Calculer I et ₀ J ₀

2. En intégrant par parties In puis I et _n J montrer que : _n

2

1

n n

n

n n

I nJ

nI J e

 

 

  





3. En déduire les expressions de I et _n J en fonction de n _n

4. Déterminer la limite de I et celle de _n J quand n tend vers_n . EXERCICE 4:

Soit a un réel positif ; on note 0

 

0 1

a dt I a

 t



 ^{et pourkIN}, on pose

   

 

¹

0 1

k a

k k

t a

I a dt

t ^

 



 ^.

1. Calculez I0

 

a en fonction de a.

2. A l’aide d'une intégration par partie, expriment I a1

 

en fonction de a.

3. A l’aide d'une intégration par partie, démontrez que : 1

   

^{1 1}

 

1 +

1

k k

k k

I a a I a

k

 



 

 pour tout kIN^ . 4. Soit P le polynôme défini sur IR par :

 

^{1 5 1 4 1 3 1 2}

5 4 3 2

P x  x  x  x  x x . Démontrez en calculantI2

 

a , I3

 

a et I4

 

a , que : I5

 

a ln 1



a



P a

 

. 5. Soit

   

⁵

0

J a 



a ta dt . Calculez ^{J a}

 

^.

6. a. Démontrez que pour tout ^t

 

^{0;a ;}

^{ }

 

6⁵

 

⁵

1 t a

t a t

 

  .

b. Démontrez que pour tout ^a



^0;



^;J a

 

I5

 

a 0. 7. En déduire que pour tout^a



^0;



^{; ln 1}

   

⁶

6 a P a a

  

8. Déterminez, en justifiant votre réponse, un intervalle sur lequel ^{P a}

 

est une valeur approches de

 

ln 1a à 10^3 près.

EXERCICE 5:

Encadrement et valeur moyenne

1) Comparer, sans les calculer les réels I et J.

a) ²

1

I 



xe dxx b) ^{2 2}

1

J 



x e dxx

2) Démontrer les encadrements suivants : a) ⁹

0

9 1

4 1 dt 9

 t 





b) ^{2 3}

2



1 1x dx3 c) ¹ ₃

0

1 1

2 1 dx 1

 x 



 d) ^{4 2} ₂

0

2 1 2

e x dx

e

 





www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 e) ^{2 ln 3}



₂^4ln



x²¹



dx2 ln 3 2 ln 5

3) La suite

 

In est définie sur IN par : In 



₀^{1ln 1}



tⁿ



dt a) Prouver que la suite

 

In est décroissante.

b) Est-elle convergente ?

4) Calculer la valeur moyenne µ sur l’intervalle



^1;1



de la fonction f : x 1x²

5) Dans chacun des cas suivants, µ désigne la valeur moyenne d’une fonction continue f sur un intervalle I.

Calculer l’intégrale indiquée : a) µ2 ;^{I }

 

^{1; 4 ; 4}

 

1 f x dx



^.

b) µln 2; ^{I }

 

^{1; 3 ; 1}

 

3 f x dx



c) µ ²

 ; ; I    4 4

 

 ; f paire ;



₀^{4 f x dx}

 

6) Pour tout entier naturel non nul n, on pose : _n ^{n 11}

I n dx

x







a) Démontrer que : ^{1 1} 1 Iⁿ

n   n



b) La suite

 

In est-elle convergente ? 7) f est la fonction définie sur IR^ par :

 

1 f x x

 x

 . La suite

 

un est définie sur IN par :

 

0 n

un 



f t dt a) Démontrer que la suite

 

un est croissante.

b) Prouver que pour tout entiern1 , ¹

n 2

u n . La suite

 

un converge-t-elle ?