Examen BTS 2008 Electronique - IRIST ...

ENONCE

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

L’usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

Exercice 1 (11 points)

On considère un système analogique « entrée-sortie » dans lequel le signal d’entrée est représenté par une fonction e et celui de sortie par une fonction s.

Une fonction définie sur R est dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ]-∞ ; 0[.

Les fonctions e et s sont des fonctions causales et on suppose qu’elles admettent des transformées de Laplace notées respectivement E et S.

On rappelle que la fonction échelon unité U est définie sur R par : U(t) 0 si t 0 U(t) 1 si t 0

= <

 = ≥

 .

1. La fonction de transfert H du système est définie par S(p) = H(p)×E(p).

On suppose, dans le cadre de cette étude, que : H(p) = ¹

1 2p+ et e(t) = U(t).

a) Déterminer S(p).

b) Déterminer les nombres réels α et β tels que S(p) = p p 1

2 α+ β

+ . c) En déduire s(t).

2. On se propose d’approcher la fonction de transfert analogique H par la fonction de transfert numérique F telle F(z) =

1 1

1 z 10z 10

H 10 H

z 1 1 z

−

−

 − =  − 

 +   + 

  .

L’entrée et la sortie du système numérique sont modélisées respectivement par deux signaux causaux discrets x et y, admettant des transformées en Z notées respectivement X et Y.

On se place toujours dans le cas où le signal d’entrée du système analogique est U(t).

Le signal d’entrée du système analogique est échantillonné au pas de 0,2.

Ainsi, le signal d’entrée x du système numérique est défini par x(n) = U(0,2 n) pour tout nombre entier naturel n.

Les transformées en Z des signaux x et y vérifient Y(z) = F(z) × X(z).

a) Montrer que F(z) = z 1 21z 19

+

− . b) Déterminer X(z).

c) Vérifier que Y(z) = ^{z 20 z} z 1 21 z 19

21

 

 

−  

−  − 

 

.

En déduire l’expression de y(n), pour tout nombre entier naturel n.

3. Compléter le tableau en donnant des valeurs approchées à 10^-3 près des résultats demandés.

n y(n) t = 0,2n s(t)

0 0

1 0,2

5 1

10 2

15 3

20 4

25 5

50 10

La méthode utilisée dans l’exercice 1, pour discrétiser le système analogique, est souvent appelée transformation bilinéaire. Dans le cadre de l’exemple étudié, nous observons que cette transformation préserve la stabilité du système et que les signaux de sortie analogique et numérique convergent vers la même limite.

ENONCE

Exercice 2 (9 points)

Dans ce problème, on approche un signal à l’ aide d’une fonction affine par morceaux.

On désigne par E un nombre réel de l’intervalle ]0 ; 3[.

On considère la fonction f définie sur R, paire, périodique de période 5, telle que :

f(t) =

E t si 0 t 1

(3 E)t 2E 3 si 1 t 2

3 si 2 t 5

2

 × ≤ <

 − + − ≤ <



 ≤ ≤



Partie A :

Dans cette partie, et uniquement dans cette partie, on se place dans le cas où E = 2.

1. Préciser l’écriture de f(t) sur chacun des intervalles [0 ; 1[, [1 ; 2[ et 2 ;⁵ 2

 

 

 . 2. Représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle [-5 ; 10].

Partie B :

Dans cette partie, on se place dans le cas général, c’est-à-dire dans le cas où la valeur de E n’est pas spécifiée.

On appelle S la série de Fourier associée à la fonction f.

On note S(t) = a0 + _{n n}

n 1

2n 2n

a cos t b sin t

5 5

+∞

=

  π +  π 

    

 

∑

1. Montrer que la valeur moyenne de la fonction f sur une période est a0 = E 3 2 5

+ . 2. Déterminer bn pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à 1.

3. a) Montrer que pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à 1 :

1 0 2 2

2n 5 2n 25 2n

t cos t dt sin cos 1

5 2n 5 4n 5

π π  π 

  =  +   − 

  π   π  

       

∫

b) On a calculé les intégrales ²

1

f (t) cos 2n t dt 5

 π 

 

 

∫

f (t) cos 2n t dt 5

 π 

 

 

∫

On a ainsi obtenu pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à 1 :

5

2 2 2

0

2n 25 2n 4n

f (t) cos t dt (2E 3) cos (3 E) cos E

5 4n 5 5

π  π π 

  =  −  + −  − 

  π    

       

∫

En déduire que pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à 1 :

an = _{2 2}5 2n 4n

(2E 3) cos (3 E) cos E

5 5

n

 −  π+ −  π− 

     

π      .

4. Pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à 1, on appelle un l’harmonique de rang n.

On a alors un = a cos_n 2n t b sin_n 2n t

5 5

π π

 +  

   

    pour tout nombre réel t.

a) Montrer qu’au rang 5, u5(t) est nul pour tout nombre réel t.

b) On appelle E0 la valeur de E pour laquelle l’harmonique de rang 3 est nulle, c’est-à-dire la valeur de E telle que u3(t) est nul pour tout nombre réel t.

Déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10^-2 près, de E0.

Dans ce problème, à l’aide d’un transformateur à diode, on approche un signal sinusoïdal redressé par une fonction affine par morceaux.

Un tel signal avec u3(t) = u5(t) = 0 permettra :

9 s’il est associé à un moteur, de réduire les à-coups du couple, 9 s’il est associé à un transformateur, d’éviter des pertes,

9 s’il est associé à un filtre, d’éliminer plus facilement les harmoniques de rang impair d’ordre supérieur.

Eléments pour un corrigé.

Exercice 1 (11 points)

1. a) La fonction de transfert H du système est définie par S(p) = H(p)×E(p), et H(p) = 1

1 2p+ et e(t) = U(t).

Or (th.1) E(p) = 1

p d’où S(p) = 1 p(1 2p)+

Th.1 (formulaire) : £ : U(t) 1

→ p

b) Trouver les réels α et β tels que S(p) = p p 1

2

α β

+

+ , revient à trouver

α et β tels que, par exemple, pour tout p, 1 p(1 2p)+ =

p p 1 2

α β

+ + , soit encore, pour tout p, 1

p(1 2p)+ =

( )

(2 2 )p p 2p 1 α + β + α

+ , soit encore (th.2 et th.3) 2 2 0

1 α + β =

 α =

 , soit encore α = 1 et β = -1.

Th.2 : A C

si B 0 alors A C

B B

≠ = ⇔ =

Th.3 : un polynôme a une unique écriture développée, réduite et ordonnée suivant les puissances décroissantes de la variable.

De b), on en déduit que, pour tout p, S(p) = 1 1 p p 1

2

−

+ d’où (th.4, th.5, th.1 et th.6), s(t) = U(t) –

t

e⁻2U(t).

Th.4 : si £^-1 : X → x et £^-1 : Y → y, alors : si X(p) = Y(p) alors x(t) = y(t) Th.5 : £^-1 est linéaire

Th.6 (formulaire) :

£^-1 : 1 ^at e U(t) p a

→ −

+ 2. a) Par abus d’écriture, et par calculs « évidents », on a

F(z) = 10z 10 1 z 1

H z 1 1 210z 10 z 1 20z 20

z 1

− +

  = = =

 +  − + + −

  +

+

z 1 21z 19

+

− . b) On a, pour tout entier naturel , x(n) = U(0,2n) = 1 = e(n).

Par suite (th.7) X(z) = z z 1− .

Th.7 (formulaire) : Z : e(n) → z z 1− c) Par abus d’écritures, pour tout z,

z 20 z

z 1 21 z 19 21

 

 

−  

−  − 

=

2 2 2

z 20z 21z 19z (20z 20z) z z

z 1 21z 19 (z 1)(21z 19) (z 1)(21z 19)

− − − +

− = =

− − − − − − .

Or, en utilisant b), Y(z) = F(z) × X(z) = z 1 21z 19

+

− × ^z z 1− =

z2 z (z 1)(21z 19)

+

− −

D’où Y(z) = ^{z 20 z} z 1 21 z 19

21

 

 

−  

−  −  .

Par suite (linéarité de la transformation en Z, th.7 et th.8) y(n) = e(n) – 20 19 n

21 21

 

 

  e(n)

Th.8 (formulaire) : Z : aⁿe(n) → z

z a− 3. Compléter, sur l’annexe, à rendre avec la copie, le tableau en donnant des valeurs approchées à 10^-3 près des résultats demandés.

n y(n) t = 0,2n s(t)

0 0,047 0 0

1 0,138 0,2 0,095

5 0,422 1 0,393

10 0,649 2 0,632

15 0,787 3 0,776

20 0,871 4 0,864

25 0,921 5 0,917

50 0,993 10 0,993

Exercice 2 (9 points) Partie A :

1. En remplaçant E par 2, f(t) =

2t si 0 t 1 t 1 si 1 t 2

3 si 2 t 5 2

 ≤ <

 + ≤ <



 ≤ ≤



.

2. Représentation graphique de la fonction f sur l’intervalle [-5 ; 10] : d’abord sur 0 ;⁵ 2

 

 

  (en rouge), puis sur ⁵; 0 2

− 

 

 

(en bleu) par symétrie orthogonale par rapport à l’axe des ordonnées, puis (en vert) sur le reste de [-5 ; 10] par translations de vecteurs de coordonnées (-5 ; 0) et (5 ; 0).

Partie B :

1. Algébriquement, en utilisant les th.1 et th.2, et les données de l’énoncé, la valeur moyenne de la fonction f sur une période est a0 =

5 25

2

1 f (t) dt 5

∫

Par ailleurs f étant paire, alors (th.3)

5 5

2 2

5 0

2

f (t) dt 2 f (t) dt

− =

∫ ∫

De plus (th.4)

5 1 2 5

2 2

0 f (t) dt= 0f (t) dt+ 1f (t) dt+ 2 f (t) dt

∫ ∫ ∫ ∫

soit, compte tenu de l’expression de f suivant les intervalles :

( )

5 1 2 5

2 2

0 f (t) dt= 0Et dt+ 1 (3 E)t 2E 3 dt− + − + 2 3 dt

∫ ∫ ∫ ∫

soit (primitives évidentes)

1 2

[ ]

5 2 2 5

2 2

0 2

0 1

t t

f (t) dt E (3 E) (2E 3)t 3t

2 2

   

=  + − + −  +

   

∫

soit encore

5 2 0

E (3 E) 3

f (t) dt 2(3 E) 2(2E 3) (2E 3)

2 2 2

 − 

= + − + − − + − +

∫

d’où finalement a0 = 2(E 3) 2E 3

5 5

+ = + .

Th.1 : Si une fonction f est T-périodique et de pulsation ω, alors les coefficients de Fourier de f sont donnés (α étant une constante arbitraire) par a0 = ^{1 T}f (t) dt

T

α+

∫

(valeur moyenne de f sur un intervalle de longueur T),

et pour tout n entier naturel supérieur ou égal à 1,

an = ^{2 T}f (t) cos(n t) dt T

α+

α ω

∫

bn = ^{2 T}f (t) sin(n t) dt T

α+

α ω

∫

Th.2 : Dans les conditions ci-dessus, a0 est la valeur moyenne de f sur un intervalle de longueur T.

Th.3 : Si f est paire et intégrable sur [-a ;

a], alors ^{a a}

af (t) dt 2 f (t) dt0

− =

∫ ∫

Th.4 (relation de Chasles) : si f est intégrable sur [a ; b] et [b ; c], alors

c b c

af (t) dt= af (t) dt+ bf (t) dt

∫ ∫ ∫

2. Th.5 : Dans les conditions du th.1, les coefficients bn de Fourier d’une fonction paire sont nuls.

Ici, la fonction étant paire (donnée de l’énoncé), en appliquant le th.5, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, bn = 0.

pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à 1.

Eléments pour un corrigé.

3.a) En utilisant les th.6, th.7, th.8

1 1 1

0 0

0

2n 5 2n 5 2n

t cos t dt t sin t sin t dt

5 2n 5 2n 5

π  π  π

  = ×   −  

   π   π  

      

∫ ∫

1 1

1

0 0 0

2n 5 2n 5 5 2n

t cos t dt t sin t cos t

5 2n 5 2n 2n 5

π  π   π 

  = ×   − −  

   π   π π  

       

∫

1

2 2 0

2n 5 2n 25 2n

t cos t dt sin cos 1

5 2n 5 4n 5

π π  π 

  =  +  −

  π   π    

       

∫

Th.6 (intégration par parties, formulaire) :

[ ]

b b b

au '(t)v(t)dt= u(t)v(t)a− au(t)v '(t)dt

∫ ∫

Th.7 : linéarité de l’intégration.

Th.8 : (sin ax)’ = a cos ax (cos ax)’ = -a sin ax

b) Les données et l’application des th.1, th.3 permettent d’écrire : an =

5 2 0

2 2 f (t) cos(2n t) dt

5 5

×

∫

an =2 2 25_{2 2} (2E 3) cos 2n (3 E) cos 4n E

5 4n 5 5

   π  π 

×  π  −  + −  −  et an = ₂5₂ (2E 3) cos 2n (3 E) cos 4n E

5 5

n

 −  π+ −  π− 

     

π      

4.a) Pour tout nombre réel t, sachant bn est nul pour tout entier n supérieur ou égal à 1, u5(t) = a cos 2 t5

( )

Or (3)b)), a5 = 2

( ( ) ( ) )

5 (2E 3) cos 2 (3 E) cos 4 E

25 − π + − π −

π = 0 (car cos 2π = cos 4π = 1),

d’où, pour tout réel t, u5(t) = 0.

b) Par analogie avec a), pour tout réel t, u3(t) = a cos₃ 6 t 5

 π 

 

 , avec (3)b)), a3 = 5₂ (2E 3) cos 6 (3 E) cos 12 E

5 5

9

 −  π+ −  π− 

     

π      .

La fonction u3 est nulle si et seulement si a3 = 0,

soit encore, si et seulement si (2E 3) cos 6 (3 E) cos 12 E

5 5

π π

   

−  + −  − = 0, soit encore, si et seulement si 2cos 6 cos 12 1 E 3cos 6 3cos 12

5 5 5 5

  π−  π−  =  π−  π

         

  ,

soit

6 12

3cos 3cos

5 5

E 2 cos 6 cos 12 1

5 5

π π

 −  

   

   

=  π−  π− On a E ≈ 1,14.