D´efinition de l’´eclairement E =<2s2>=ss∗ o`u s est l’amplitude

Interf´erences R´esum´e

Notion d’interf´erences

Def : on appelle diff´erence de marche, la diff´erence de chemin optique introduite par un dispositif interf´erentiel entre deux rayons lumineux se superposant au point M :

δ(M) = (SM)1−(SM)2

Conditions d’obtention: deux ondes interf`erent en un pointM d’un r´ecepteur sensible `a l’´eclairement (comme l’oeil ou photor´ecepteur classique) si

- elles sont coh´erentes : ¸c-`a-d mˆeme pulsation, mˆeme phase `a l’´emission : en pratique issues du mˆeme point source physique et du mˆeme train d’onde.

- la diff´erence de marche δ est inf´erieure `a la longueur de coh´erence du train d’onde lc , celle- ci ´etant reli´ee `a la largeur spectrale `a mi-hauteur de la source. En effet chaque train d’onde se situe `a [ν−1/2 ∆ν, ν+ 1/2 ∆ν] dont la largeur ∆ν d´efinit la dur´ee de vieτ telle que τ_c'1/∆ν .

On a alors lc=cτc. δ < lc est la condition decoh´erence temporelle de la source.

D´efinition de l’´eclairement E =<2s²>=ss^∗ o`u s est l’amplitude.

Formule de Fresnel

• l’´eclairement obtenu par superposition en M d’ondescoh´erentes s’obtient en ajoutantd’abord les amplitudes: E = (s₁+s₂)(s₁+s₂)^∗

- pour deux ondes d’amplitudes diff´erentes E(M) =E₁+E₂+ 2√ E₁√

E₂cos

2π

λvideδ(M) - pour deux ondes d’amplitudes identiques (E₀ est l’´eclairement obtenu avec une seule source) :

E(M) = 2E₀(1 + cos

2π

λvide δ(M)

)

• l’´eclairement obtenu par superposition en M de deux ondes incoh´erentes est la somme de leur

´

eclairement : E =E₁+E₂ =s₁s^∗₁+s₂s^∗₂

Figure d’interf´erence

Def : on d´efinit l’ordre d’interf´erencep=δ/λ_vide.

Pt´e : si p est entier l’´eclairement en M est maximal, on obtient une frange brillante ; la distance entre deux franges brillantes est appel´e interfrange.

sip est demi-entier l’´eclairement enM est minimal, on obtient une frange sombre.

Def: on d´efinit le contraste d’une figure d’interf´erence par : C = E_max− E_min

E_max+E_min

lorqueC = 0, l’´eclairement est uniforme, on parle de brouillagedes franges.

Calcul de diff´erences de marche

- il suffit d’´evaluer g´eom´etriquement les chemins optiquessans oublier l’indice des milieux travers´es - on peut utiliser la relationϕ= _λ^2πδ

vide(SM) =~k. ~SM

- on pense aussi au th´eor`eme de Malus : entre la source et un plan d’onde deux rayons lumineux restent en phase (ou ont le mˆeme trajet optique); idem entre un objet et son image conjugu´ee par un syst`eme optique.

Physique PC*

Michelson R´esum´e

Michelson en lame d’air

Pt´e: avec une source ponctuelle les franges sontd´elocalis´ees. Les franges brillantes sont alors des hyperbolo¨ıdes de r´evolution de foyer S₁ et S₂, sources virtuelles sym´etriques de S par rapport aux deux miroirs. Les franges observ´ees sont dans les plans sectionnant ces hyperbolo¨ıdes perpendiculairement `a leur axe de sym´etrie : l’intersection donne alors desanneaux concentriques.

Franges d’´egale inclinaison

Pt´e: avec une source´etendueles anneaux sontlocalis´es `a l’infini. On obtient alors des franges dites d’´egale inclinaison observ´ee `a l’œil sans accommoder ou dans le plan focal image d’une lentille. L’´eclairage poss`ede ainsi tous les angles d’incidence possibles .

La diff´erence de marche en un pointM situ´e `a l’infini dans la direction i, pour une ´epaisseur de lamee vaut , avec il’angle d’incidence (et de sortie de l’appareil) :

δ= 2e cos i Caract´eristiques des franges

- les franges sont des anneaux concentriques

- l’interfrange n’est pas constant et diminue aveci; (les anneaux se resserrent) - la frange centrale (i= 0) est a priori quelconque (ordre d’interf´erence quelconque) - l’ordre d’interf´erence est maximal au centre , il d´ecroˆıt avec i.

- les anneaux sont d’autant plus nombreux queeest grand - les anneaux ”rentrent” quand on diminue e

- e= 0 correspond `a la teinte plate, l’´eclairement `a l’´ecran est uniforme, on ne voit plus de franges

Michelson en coin d’air

Pt´e : avec une source ponctuelle les franges sontd´elocalis´ees. Les franges brillantes sont alors des hyperbolo¨ıdes de r´evolution de foyer S₁ et S₂, sources virtuelles sym´etriques de S par rapport aux deux miroirs. Les franges observ´ees en sortie sont desfranges rectilignes.

Franges d’´egale ´epaisseur

Pt´e : avec une source ´etendue ´eclairant les miroirs sous incidence quasi normale, les franges sont localis´ees sur les miroirs. On obtient alors des franges dites d’´egale ´epaisseur observ´ee `a l’œil en accom- modant, ou par projection sur un ´ecran `a l’aide d’une lentille (en respectant D >4f⁰).

La diff´erence de marche en un pointM situ´e `a l’abscisse x par rapport `a l’arˆete du coin d’air, pour un angle du coin d’air α vaut :

δ= 2α x

Caract´eristiques des franges

- les franges sont parall`eles `a l’arˆete des miroirs

- les franges sont rectilignes et ´equidistantes d’interfrange i=λ0/2α

- les franges sont d’autant plus nombreuses `a l’´ecran et serr´ees que α est grand Doublet du sodium

Chariotage du Michelson en lame d’air : ∆e=λ²₀/2∆λ

Physique PC*

Diffraction R´esum´e

Diffraction de Fraunhofer

Def: On parle de diffraction dans les conditions de Fraunhofer quand la source et le point d’observation sont `al’infini.

G´en´eralit´es

- La diffraction est visible si lalongueur d’onde est inf´erieure aux dimensions de l’objet diffrac- tant

- La figure de diffraction estcentr´ee sur l’image g´eom´etrique de la source

- Elle a les mˆemes sym´etries que l’´el´ement diffractant : un cercle donne un cercle, un trait donne un trait - plus les dimensions de l’obstacle diffractant sont r´eduites , plus l’image diffract´ee est grande

- les interf´erences entre motifs r´ep´et´es de l’´el´ement diffractant se traduisent par des franges qui modulent l’intensit´e diffract´ee; l’´ecart entre ces franges est inversement proportionnel `a la distance entre motifs

Ouverture rectangulaire infiniment fine

- image diffract´ee perpendiculaire `a la fente : une fente horizontale diffracte dans une direction verticale

- constitu´ee d’une tache centrale lumineuse et de taches lat´erales moins lumineuses et deux fois moins larges que la tache centrale;

- la tache centrale a lademi-largeur angulaire ´egale `a largeur totale de la f ente^λvide = ^λvide_l - insensible au d´eplacement de translation de la fente diffractante dans son propre plan

Ouverture circulaire : pour une ouverture circulaire la figure de diffraction est appel´ee tache d’Airy et l’ouverture angulaire centrale a la demi-largeur angulaire ´egale `a 1,22_diametre^λvide

Objet de phase : un objet de phase est caract´eris´e par sa transparence ou transmittance t(P) qu’il faut introduire comme facteur pour obtenir l’amplitude de l’onde de sortie : ssortie=t(P)sentree

La d´ecomposition en s´erie de Fourier conduit `a une somme de termes en cos(2πσ_nx). On remplace le cosinus par son expression complexe (cosx = 1/2(e^jx+e^−jx) ; on d´eduit les directions angulaires et les amplitudes associ´ees. Ainsi :

sinθ_n=±λ.σ_n

et les amplitudes A_n sont les coefficients devant chaque exponentielle e^j2πσnx (ne pas oublier le coefficient 1/2 dˆu `a la d´ecomposition du cosinus en exponentielle).

Cas du r´eseau plan de pas a : sinθ_n=±nλ/a (σ_n=n/a)

Cas du r´eseau sinuso¨ıdal : sinθ=±λ/a et sinθ= 0 (σ= 1/aetσ = 0)

Filtrage: on peut filtrer un objet de transparence par un passe-bas ou un passe-haut. Pour cela : - on forme l’image de l’objet `a filtrer dans le plan conjugu´e d’une lentille.

- on place dans le plan de Fourier (plan focal) le filtre (une fente ou un trou ou son compl´ementaire) - une fente ou un trou plac´e au centre du plan de Fourier cache toutes les fr´equences spatiales

hautes : c’est un filtre passe-bas. Il permet de garder les ´eclairements uniformes dans l’image filtr´ee ou de donner du flou en supprimant les fins d´etails.

- le compl´ement de fente ou de trou (¸c-`a-d un cheveu ou un cercle opaque) cache les fr´equences spatiales z´ero ou basses : c’est un filtre passe-haut. Il permet de faire sortir les d´etails dans l’image filtr´ee.

Physique PC*