Les rouges et les jaunes
Problème E589 de Diophante
On trace dans le plan 2019 points rouges et 2019 points jaunes tous distincts de sorte que trois quelconques d'entre eux ne sont jamais alignés.
Démontrer qu'il est possible de tracer 2019 segments qui n'ont pas de point d'intersection et qui ont pour extrémités un point rouge et un point jaune, chacun des 4038 points étant l'extrémité d'un segment et d'un seul.
Solution
Démontrons le théorème : Pour tout entier naturel N, soient N points rouges et N points jaunes d’un demi-plan tous distincts de sorte que trois quelconques d'entre eux ne sont jamais alignés, il est possible de tracer N segments qui n'ont pas de point d'intersection et qui ont pour extrémités un point rouge et un point jaune, chacun des 2*N points étant l'extrémité d'un segment et d'un seul.
Cette assertion vaut pou N = 1. Par récurrence, supposons quelle vaut pour tout entier strictement inférieur à N.
Si l’enveloppe convexe des 2*N points comprend des points rouges et des points jaunes alors il existe deux points R (rouge) et J (jaune) consécutifs sur le bord de cette enveloppe convexe. Traçons le segment RJ ; il reste N-1 points rouges et N-1 points qui peuvent être appariés convenablement, selon l’hypothèse de récurrence.
Si l’enveloppe convexe des 2*N points ne comprend que des points de la même couleur (rouge) alors, on peut trouver (*) un demi-plan, qui contient U points rouges et U points jaunes pour 1 ≤ U < N, le demi-plan complémentaire contenant N-U points rouges et N-U points jaunes. Il suffit d’apparier convenablement les points dans chacun des demi-plans, pour obtenir un appariement convenable de l’ensemble des 2*N points.
(*) Pour s’en convaincre, choisissons une direction ∆ différente de toutes celles de tous les segments joignant deux des 2*N points, de même couleur ou pas. La bande la plus étroite de direction ∆, qui contient les 2*N points est limitée par deux droites D’
et D" qui contiennent chacune un point rouge
