NIVEAU COLLEGE
LES DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE SUJET
1) Les théorèmes sur les droites concourantes étant déjà en place, présenter deux séries d’exercices sur ce thème :
- l’une de construction - l’autre de démonstration
2) Choisir une des deux séries, donner l’utilisation que vous feriez de cette série avec vos élèves. Vous préciserez pour chaque exercice vos
objectifs et la gestion de la classe envisagée.
PRESENTATION
I. Situation par rapport au programme du collège acquis
objectifs de la classe de 4ème
Difficultés :
↔ hauteurs et médianes sont des droites ou des longueurs de segments.
↔ médiatrices : ne passe pas par un sommet.
Hauteurs définition, construction (5°) concourance (4°)
Médianes définition, construction, concourance (4°) position du centre de
gravité
Bissectrices définition, construction
(6°)
- concourance (4°) Médiatrices -définition, construction
(6°)
- propriété liée à l’équidistance (5°) - concourance (4°) Triangles particuliers
-isocèle - équilatéral
rectangle
DROITES REMAR QUABLES
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LES DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE II. Présentation des exercices
Conctruction
Activité 1 : utilisation des TICE
Fichier Géoplan avec 4 triangles faisant apparaître les 4 types de droites remarquables. Un sommet de chaque triangle est mobile.
Objectif : en faisant varier la position du sommet, repérer la position du point d’intersection des droites (à l’intérieur ou à l’extérieur du triangle).
Activité 2 :
Construire à la règle et au compas la médiane issue du sommet du triangle ABC.
Objectif : utiliser la propriété de la médiatrice pour repérer le milieu du segment et tracer la médiane.
Activité 3 :
Dans cet exercice, on fera une figure pour chaque question.
1) Placer un point A. Combien de cercles passent par A ?
2) Placer deux points A et B. Combien de cercles passent par A et B ? Où sont situés les centres de ces cercles ?
3) Placer trois points A, B et C non alignés. Combien de cercles passent par ces trois points ?
4) Placer quatre points et montrer qu’il n’y a pas toujours de solution.
Démonstration Exercice 1
Sur la figure ci-dessous
a- Citer, si possible, une hauteur, une médiane, une médiatrice du triangle ABT.
b- Citer, si possible, une hauteur, une médiane, une médiatrice du triangle ABR.
c- Que peut-on dire du triangle ABT ?
Exercice 2
a- Sur la figure ci-dessous, quels sont les orthocentres des triangles BTR, BTC et BNT ?
b- Démontrer que les droites (BC) et (TR) sont perpendiculaires.
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LES DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE
Exercice 3
Tracer un cercle C de centre O. Tracer un diamètre [BR] de ce cercle et placer un point A sur C autre que B et R. Placer le point T, symétrique de O par rapport à R. Tracer la droite (d) perpendiculaire à (BR) passant par T.
Les droites (BA) et (AR) coupent la droite (d) respectivement en S et en C.
Démontrer que les droites (SR et (BC) sont perpendiculaires.
(exercice assez difficile, travail en groupe possible, commentaires en classe).
REMARQUES
Ne pas oublier de préciser la gestion de chaque exercice dans la classe.
Activité de pliage pour trouver les droites : - médiane : plier en formant le Z de zorro.
- médiatrice : plier en angle droit deux fois.
- hauteur : plier perpendiculairement à un côté - bissectrice : plier en superposant 2 côtés.
Travail en groupe : imposer une étape de travail individuel (pour éviter d’influencer les autres).
Ne pas mélanger raisonnement et rédaction. Pas de travail sur la rédaction tant que le raisonnement n’est pas compris.
Question : Pourquoi le centre de gravité est aux de la médiane par rapport au sommet ? (voir fiche démonstration médiane/collège, isobarycentre/lycée).
Activités sur l’orthocentre :
Soit un triangle ABC, O le centre de son cercle circonscrit et A’, B’, C’
les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].
Que représente O pour le triangle A’B’C’ ?
(B’C’) // (BC) (droite des milieux) (A’C’) // (AC)
(A’B’) // (AB)
Or (AO)┴(BC) et (B’C’)//(BC) donc (AO)┴(B’C’)
donc (AO) est une hauteur.
Idem pour (BO) et (CO).
