J10231. Echiquier multicolore
La coloration en noir et blanc des cases d’un échiquier oblige le cavalier du jeu d’échecs à changer de couleur à chacun de ses mouvements. Combien de couleurs faut-il utiliser si on veut qu’aucun mouvement de la dame (suivant les colonnes, suivant les rangées ou parallèlement aux diagonales) ne relie des cases de même couleur ?
Solution
On ne peut avoir moins de 8 couleurs, considérant les 8 cases d’une même colonne ou rangée, mais 8 couleurs ne suffisent pas pour tout l’échiquier.
Christian Romon donne une solution en 9 couleurs (sans loi simple de for- mation) :
1 2 3 4 5 6 7 8 6 7 8 9 1 2 3 4 8 3 4 5 6 7 9 1 2 6 7 8 9 1 5 3 7 9 5 2 3 4 8 6 3 4 6 7 8 9 1 5 9 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 6 7 3 4 2
Plus généralement, il fautccouleurs pour l’échiquiern×n(la formule donne la couleur de la case en ligneiet colonnej,ietj allant de 1 àn) :
n c formule
3,4,5 5 (i+ 3j) (mod 5) 6,7 7 (i+ 3j) (mod 7)
9 10 b1,2(i−1) + 3jc (mod 10) 10,11 11 (i+ 3j) (mod 11)
