J10209. Du blanc au noir et vice versa
Un plateau de jeu présentenalvéoles disposés aux sommets d’un polygone régulier, et numérotés de 1 àn. Dans chaque alvéole, un pion à deux faces (une blanche, une noire). A partir d’une disposition arbitraire des pions, on fait une transformation ennétapes : à l’étapek, on part de l’alvéolek, et on retourne un ou plusieurs pions, chacun dans son alvéole, dans l’ordre croissant des alvéoles, en s’arrêtant dès qu’on a transformé un pion blanc en pion noir.
Quelle disposition des pions obtient-on au bout des n étapes, en fonction de la disposition de départ ?
Solution
Je décris l’état du plateau par un entier denbits en système binaire, selon la règle : le bit de rang k à partir de la droite est 0 si l’alvéole k montre une face blanche, 1 sinon.
Le mécanisme défini par l’énoncé est identique au report des retenues dans l’addition en base 2 ; l’étapemajoute 2m−1 à l’entierzm−1 décrivant le résultat des étapes précédentes. Avec z0 pour la situation de départ, zm =z0+ 1 + 2 +. . .+ 2m−1=z0+ 2m−1.
La propagation des pions noirs devenant blancs peut dépasser l’alvéole n et porter sur l’alvéole 1, soustrayant 2n−1 au bilan de l’étape en cours.
Dès que cela s’est produit,zm=z0+ 2m−2n, et cela ne se répète pas : les derniers alvéoles étant devenus blancs ne passent au noir qu’un par un.
Pour la situation finale, zn = z0 + 2n −2n = z0, sauf si z0 + 2m −1 n’atteint jamais 2n. D’où la conclusion : la situation finale est identique à la situation initiale, sauf si celle-ci était uniformément blanche (z0 = 0) ; alors elle devient uniformément noire (zn= 2n−1), lesnpions passant au noir un par un.
