On note mk la duré moyenne du jeu, à partir de l'état k

G157 – Le tournoi circulaire [***** à la main]

Solution de Q3 proposée par Pierre Renfer

On peut distinguer au cours du jeu les cinq états suivants :

- l'état initial

- les états k, (pour 1k4) , où un joueur a gagné k parties consécutives On cherche la duré moyenne m du tournoi à partir de l'état initial.

On note m_k la duré moyenne du jeu, à partir de l'état k.

Pour l'état absorbant 4 : m₄ 0 De l'état initial, on passe à l'état 1.

Donc : m1m₁

Pour 1k3, on passe de l'état k soit à l'état 1, avec probabilité ½, soit à l'état k+1, avec probabilité ½.

Donc : _{k 1} m_{k 1}

2 m 1 2 1 1

m    _ ou 2m_k 2m₁m_k1 On obtient le système :

























1 3

3 1 2

2 1

m 2 m 2

m m 2 m 2

m 2 m

On trouve : m₁14 , m₂ 12 , m₃ 8 Donc : m15