Chapitre 11: Continuité, théorème des valeurs intermédiaires et théorème de la bijection.
16 juillet 2021
1 Continuité d’une fonction.
Dans toute la suite, I est un intervalle de R non vide et non réduit à un point. a est un élément deI.
1.1 Définitions.
Dans un chapitre précédent nous avons introduit la notion de continuité en un point que nous rappelons ici.
Définition 1
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est continue en a si f admet une limite finie en a qui est égale à f(a). Autrement dit si
x→alimf(x) =f(a).
Dans le cas contraire, on dit que f est discontinue en a.
Nous allons maintenant pouvoir étendre cette notion sur un intervalle.
Définition 2
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est continue sur I si f est continue en tout point de l’intervalle I.
Exemple 1
• La fonction f :
R → R
x 7→ x3 est continue sur R.
• La fonction f :
R → R
x 7→ ex est continue sur R.
L’ensemble des fonctions continues de I dans Rest noté C(I,R).
Notation
Remarque 1
De manière plus générale, si D est un ensemble, on dit que f est continue sur D si f est continue en tout point de D. Par exemple, la fonction partie entière est continue sur R privé de tous les entiers. On dit qu’elle est continue sur R\Z.
Nous avons les résultats suivants sur les fonctions de référence.
Proposition 1
Les fonctions polynomiales, les fonctions exponentielles, les fonctions logarithmes et les fonc- tions puissances sont continues sur leur ensemble de définition.
1.2 Opérations et continuité.
Les propositions suivantes nous permettent d’en déduire la continuité de fonctions plus complexes.
Proposition 2
Soient f etg deux fonctions continues en a etλ un réel alors on a :
• La fonction λf est continue en a.
• La fonction f +g est continue en a.
• La fonction f ×g est continue en a.
• Si g(a)6= 0 alors la fonction fg est continue en a.
On considère la fonction f définie sur R par f(x) =
ex+x si x>0
1 si x <0 et la fonction g définie sur R par g(x) =
ln(x) +x si x >1 1 si x= 1 x+ 1 six <1
.
Déterminer sur quels ensembles ces fonctions sont continues.
Exemple type : Continuité d’une fonction.
1. Pour la fonction f :
• La fonction f est continue sur ]− ∞,0[ car la fonction constante égale à 1 est continue sur R.
• La fonctionf est continue sur ]0,+∞[car la fonction x7→ex+x l’est comme somme de fonctions continues.
• Il faut étudier la continuité en 0. On af(0) = 1. Or
x→lim0+f(x) = 1 et lim
x→0−f(x) = 1.
Les limites à gauche et à droite de la fonction en0coïncident avecf(0) donc la fonction est bien continue en 0.
• On peut en déduire que f est continue sur R. 2. Pour la fonction g :
• La fonction g est continue sur ]− ∞,1[ car la fonction x7→x+ 1est continue sur cette ensemble comme somme de fonctions continues.
• La fonction g est continue sur ]1,+∞[car la fonctionx7→ln(x) +xl’est comme somme de fonctions continues sur cet ensemble.
• Il faut étudier la continuité en 1. On ag(1) = 1. Or lim
x→1+g(x) = 1 et lim
x→1−g(x) = 2.
La limite à gauche ne coïncide pas avecg(1). La fonctiong n’est donc pas continue en 1.
• On peut en déduire que g est continue sur R\ {1}.
Pour la composée de deux fonctions nous avons le résultat suivant.
Proposition 3
Soit f une fonction continue en a et g une fonction continue en f(a) alors g ◦f est continue en a.
On en déduit le corollaire suivant : Corollaire 1
Soient f une fonction continue sur I et g une fonction continue sur J tel que f(I)⊂ J alors la fonctiong◦f est continue sur I.
On considère la fonction f définie sur R par f(x) = (1 +x)2 et la fonction g définie sur R par g(x) = e2x+12x+1 Déterminer sur quels ensembles ces fonctions sont continues.
Exemple type : Continuité de la composée de deux fonctions.
• Pour la fonction f :
• La fonctionx7→1 +xest continue sur R et prend ses valeurs dans R.
• La fonctionx7→x2 est continue sur R.
• On en déduit par composition que la fonctionf est continue sur R .
• Pour la fonction g :
• La fonctionx7→2x+ 1 est continue sur R et prend ses valeurs dans R.
• La fonctionx7→ex est continue sur R.
• On en déduit par composition que la fonction x 7→ e2x+1 est continue sur R. De plus , elle ne s’annule pas.
• On en déduit que g est continue sur R comme quotient de fonctions continues sur R.
2 Théorème des valeurs intermédiaires.
Théorème 1 (Théorème des valeurs intermédiaires)
Soient aetb deux réels tels quea < b. On considère f : [a, b]→Rune fonction continue. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) il existe un réel c ∈ [a, b] tel que f(c) = k. Autrement dit l’équation f(x) = k admet au moins une solution dans l’intervalle [a, b].
Montrer que l’équation ex+x= 3 admet au moins une solution dans l’intervalle [0,1].
Exemple type :Existence d’une solution.
C’est équivalent de résoudre l’équationex+x−3 = 0. On définit la fonctionf sur l’intervalle[0,1]
parf(x) =ex+x−3. La fonctionfest continue sur[0,1]. De plus,f(0) =−2etf(1) =e−2donc0 est compris entref(0)etf(1). D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équationf(x) = 0 admet au moins une solution dans l’intervalle[0,1]. On en déduit que l’équationex+x= 3admet au moins une solution dans [0,1].
0 1 2 3
−1 0
−1
−2
−3 1 2 3 4
b
a b
f(a) f(b)
y=k
b b y=f(x)
L’image de [a, b] par f n’est pas un intervalle.
Il existe des réels k compris entref(a) etf(b) tel que l’équation f(x) =k n’admet pas de solution
dans [a, b].
0 1 2 3
−1
−2
−3
0
−1
−2
−3 1 2 3 4
y =f(x)
L’image de [a, b] par f est un intervalle.
Pour tout réel k compris entre f(a) etf(b) l’équation f(x) =k admet des solutions
dans [a, b].
a b
f(a) f(b)
y=k
b b
b b b
Corollaire 2
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x21+2. 1) Dresser le tableau de variations de la fonctionf.
2) En déduire l’image par f des intervalles suivant : ]− ∞,0],]−1,1],R.
Exemple type : Image d’un intervalle par une fonction continue.
1. La fonctionf est définie et dérivable sur R. Elle est de la forme u1 avec u(x) =x2+ 2.
Pour tout réel xon a u′(x) = 2x. On en déduit donc que pour tout réel x : f′(x) =− 2x
(x2+ 2)2.
Le dénominateur est toujours strictement positif et le numérateur s’annule en 0. Pour les limites en ±∞on a
lim x2+ 2 = +∞ donc par quotient de limites on obtient lim f(x) = 0.
De la même manière on obtient
x→−∞lim f(x) = 0.
On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :
x −∞ 0 +∞
f′(x) + 0 −
f(x) 0
1 2
0 2. On obtient :
• f(]− ∞,0]) =]0,12].
• f(]−1,1]) =[13,12].
• f(R) =]0,12].
Remarque 2
On remarque dans l’exemple type précédent que l’image d’un intervalle ouvert parf n’est pas nécessairement un intervalle ouvert. L’intervalle et l’intervalle image ne sont pas forcément de la même nature.
Définition 3
Un segment est un intervalle fermé borné. C’est donc un intervalle de la forme [a, b] avec (a, b)∈R2.
Proposition 4
Si f est continue sur un segment [a, b] alors f est bornée et atteint ses bornes. Autrement dit f([a, b]) = [m, M] avec
m = min
x∈[a,b]f(x) et max
x∈[a,b]f(x) =M.
En conséquence, l’image d’un segment par une fonction f continue est un segment.
3 Résolution de l’équation f (x) = k .
3.1 Détermination du nombre de solution.
On rappelle la définition d’application injective, surjective et bijective.
Définition 4 (Application bijective, surjective,injective)
Soit E etF deux ensembles et f :E →F une application. On dit que f est une application
• injective si pour tout y∈F,l’équation f(x) =y admet au plus une solution dansE.
• surjective si pour tout y∈F,l’équation f(x) =y admet au moins une solution dansE.
• bijective su pour tout y ∈F, l’équation f(x) =y admet une unique solution dans E.
Le théorème des valeurs intermédiaires permet de montrer que les équations du type f(x) = k admettent au moins une solution. Pour obtenir l’unicité nous avons besoin du théorème de la bijection. On rappelle la définition de bijection réciproque.
Définition 5 (Bijection réciproque)
Soit f une bijection d’un intervalle I dans J = f(I). On appelle bijection réciproque de f la fonction notée f−1 définie par :
f−1 :
J → I y 7→ f−1(y)
oùf−1(y) est l’unique antécédent dey par f. On a l’équivalence suivante : f(x) =y⇐⇒x=f−1(y).
Théorème 2 (Théorème de la bijection)
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I. Alors f réalise une bijection de I sur l’intervalle image J =f−1(I).
La bijection réciproque f−1 est elle aussi strictement monotone et de même monotonie que f. De plus f−1 est continue sur J.
Remarque 3
Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctionsf etf−1sont symétriques l’une de l’autre par rapport à la première bissectrice.
On considère la fonction f définie sur R par f(x) =ex+ 1.
1. Etudier les variations def.
2. Montrer que f réalise une bijection de Rsur un intervalle J à préciser.
3. On notef−1 la bijection réciproque de f. Etudier les variations de f−1 sur J. 4. Déterminer l’expression def−1
5. Tracer dans un même repère les courbes représentatives des fonctions f et f−1.
Exemple type :Montrer que f réalise une bijection.
1. La fonction f est dérivable sur R comme somme de fonctions dérivables. Pour tout réel x on a f′(x) =ex+ 1>0. La fonction f est donc strictement croissante sur R.
2. On doit déterminer les limites def en +± ∞. On a
x→lim+∞f(x) = +∞ et lim
x→−∞f(x) = 1.
f est continue et strictement croissante on a donc f(R) =]1,+∞[. D’après le théorème de la bijection elle réalise une bijection de R sur ]1,+∞[.
3. Le théorème de la bijection nous permet d’affirmer quef−1 :]1,+∞[→Rest continue et est strictement croissante sur ]1,+∞[.
4. Soit y∈]1,+∞[ on doit résoudre l’équation f(x) =y dans R. On a
f(x) = y⇐⇒ex+ 1 =y⇐⇒ex =y−1⇐⇒x= ln(y−1).
On a doncf−1 :
]1,+∞[ → R
y 7→ ln(y−1) .
5. On obtient
0 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
−4
−5
0
−2 2
4 y=x
y=f(x)
y=f−1(x)
On réalise les étapes suivantes :
1. On vérifie que f est continue sur I.
2. On calcule la dérivée def.
3. On étudie le signe de la dérivée puis on en déduit le tableau de variation de la fonction f.
4. On se place sur un intervalle où la fonctionf est strictement monotone.
5. On applique le théorème de la bijection pour conclure.
6. Si on nous demande en plus l’expression de la fonction réciproque on résout poury∈J l’équation f(x) =y.
Méthode : Montrer que f réalise une bijection .
Montrer que l’équation 2x3+ 12x2+ 18x+ 9 = 0 admet une unique solution dans R.
Exemple type : Existence d’une unique solution.
La fonctionfest continue surR. De plus,0∈/ f([−3,−1)])et0∈/ f([−1,+∞[), l’équationf(x) = 0 n’admet donc pas de solution sur l’intervalle [−3,+∞[.
La fonctionf est continue et est strictement croissante sur l’intervalle]− ∞,−3]. Elle réalise donc une bijection de l’intervalle ]− ∞,−3]sur f(]− ∞,−3]) =]− ∞,9]. Or 0appartient à l’intervalle image donc d’après le théorème de la bijection l’équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle ]− ∞,−3]. On en déduit que f admet une unique solution réelle.
On réalise les étapes suivantes :
1. On se ramène à montrer que l’équation f(x) = k admet une unique solution dans I.
2. On montre que f réalise une bijection de I dans un intervalleJ.
3. On vérifie que k ∈J.
4. On en déduit quek admet un unique antécédent dans I par f. On peut donc affirmer que l’équation f(x) =k admet une unique solution dans I.
5. Si on nous demande de prouver que la solution est compris entre deux réels on applique le théorème des valeurs intermédiaires.
6. Si on nous demande une valeur approchée de la solution on peut utiliser l’algorithme de dichotomie.
Méthode :Montrer qu’une équation admet une unique solution dans un intervalle I .
3.2 Valeur approchée de la solution : la méthode de dichotomie.
On considère a et b deux réels tels que a < b et f une fonction continue et strictement monotone sur [a, b]. On suppose que 0appartient à l’intervalle image f([a, b]) et le théorème de la bijection nous permet d’affirmer qu’il existe une unique solution α à l’équation f(x) = 0 dans l’ intervalle [a, b]. Notre but est d’obtenir une valeur approchée de α avec la précision que l’on souhaite en utilisant un algorithme. Pour cela nous allons étudier la méthode de dichotomie. Nous allons nous appuyer sur la proposition suivante :
Proposition 5
Soient a et b deux réels avec a < b et f : [a, b] → R une fonction continue sur [a, b] telle que f(a)f(b)60 alors l’équationf(x) = 0 admet au moins une solution dans l’intervalle [a, b]. Démonstration : • Sif(a) = 0ou f(b) = 0 alors aou best une solution.
• On suppose que f ne s’annule ni en a ni en b.f(a) et f(b) sont donc de signes opposés. 0 est donc compris entref(a)etf(b). On peut donc appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver l’existence d’une solution à l’équationf(x) = 0 dans l’intervalle[a, b].
Nous supposons que ni a ni b ne sont solution de notre équation. Autrement dit nous avons f(a)f(b) < 0. Notre stratégie est la suivante : notre solution est comprise entre a et b et nous voulons une précision àε. C’est -à-dire que l’on veut |a−b|< ε. Deux cas se présentent :
• Si |b−a|< ε alors l’encadrement a < α < b convient.
• Sinon cela signifie que les valeursaetbsont trop éloignées l’une de l’autre. On va considérer c le milieu de l’intervalle[a, b]et on s’intéresse au signe de f(a)f(c) :
• Sif(a)f(c)<0alorsf(a)etf(c)sont de signes opposés donc la fonction s’annule entre a et c donc notre solution est dans l’intervalle [a, c]. On va donc définir une nouvelle borne b comme étant la valeur c.
• Si f(a)f(c)>0alors f(a) et f(c) sont de même signes donc la fonction s’annule entre c et b donc notre solution est dans l’intervalle [c, b]. On va donc définir une nouvelle borne a comme étant la valeur c.
On itère notre stratégie jusqu’à obtenir le premier cas. Le code Python de cet algorithme est le suivant :
1 // Méthode de dichotomie.
2 import numpy
3 d e f d i c h o ( a , b , pr e ) :
4 while . . . : 5 c = . . . .
6 i f . . . :
7 . . . .
8 e l s e:
9 . . . .
10 return . . . .
On a supposé que la fonction f avait déjà été définie dans un autre programme Python.
