Exercices – La règle et le compas

Éléments de géométrie

Arnaud Bodin, avril 2012

Exercices – La règle et le compas

1 Constructions élémentaires 1

2 Les corps 2

3 Nombres constructibles et corps 2

4 Les problèmes grecs 3

5 Constructions assistées 3

1 Constructions élémentaires

Exercice 1(Constructions élémentaires)

1. À l’aide du théorème de Pythagore, construire successivement à la règle et au compas√ 2,√

3,√ 4,√

5,. . . (Répondre à cette question sans utiliser de résultat du cours.) 2. Construire les approximations suivantes deπ: ²²₇ =3, 1428 . . .,√

2+√

3=3, 1462 . . . 3. Construire

√

√2

3,5¹⁴,p 3−√

3,

Exercice 2(Approximation de Kochanski)

Une valeur approchée deπavec quatre décimales exactes est donnée par φ=

r40 3 −2

√

3=3, 141533 . . .

Soient les points suivantsO(0, 0),I(1, 0),Q(2, 0). On construit les pointsP₁, P₂, . . .ainsi : – P₁est l’intersection des cercles centrés enOetIde rayon1ayant une ordonnée positive.

– P₂est l’intersection des cercles centrés enOetP₁de rayon1(l’autre intersection estI).

– P₃est l’intersection de la droiteP₂Iavec l’axe des ordonnées.

– P₄est l’image deP₃par une translation de vecteur(0,−3).

Calculer les coordonnées de chacun desP_i. Montrer que la longueurP₄Qvautφ.

Exercice 3(Construction au compas seul) Construire au compas seulement :

1. Le symétrique dePpar rapport à une droite(AB). (Seuls les pointsP, A, Bsont tracés, pas la droite.)

2. Le symétrique d’un pointP par rapport à un pointO.

3. (*) Le milieu de deux pointsA,B. (La droite(AB)n’est pas tracée !) Exercice 4(Pentagone régulier)

Soit(A₀, A₁, A₂, A₃, A₄)un pentagone régulier. On noteOson centre et on choisit un repère orthonormé(O,−→u ,−→v)avec−→u =−−→

OA₀, qui nous permet d’identifier le plan avec l’ensemble des nombres complexesC.

1. Donner les affixesω₀, . . . , ω₄ des pointsA₀, . . . , A₄. Montrer que ω_k = ω₁^k pourk ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. Montrer que1+ω₁+ω²₁+ω³₁+ω⁴₁=0.

2. En déduire que cos(^2π₅)est l’une des solutions de l’équation4z²+2z−1=0. En déduire la valeur de cos(^2π₅).

3. On considère le point B d’affixe −1. Calculer la longueurBA₂ en fonction de cos^2π₅ puis de√

5.

4. On considère le pointI d’affixe ₂ⁱ, le cercleCde centreIde rayon ¹₂ et enfin le pointJ d’intersection deCavec le segment[BI]. Calculer la longueurBIpuis la longueurBJ.

5. Application :Dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Expliquer.

O

A₀ A₁

A2

A3

A₄

1 i

2 Les corps

Exercice 5(Nombres transcendants)

1. Montrer que l’ensemble des nombres réels algébriques est un ensemble dénombrable.

2. En déduire l’existence de nombres réels qui ne soient pas algébriques.

3 Nombres constructibles et corps

Exercice 6

Un corpsK⊂Rest stable par racine carrée s’il vérifie la propriété suivante :

∀x∈K, x≥0⇒√ x∈K.

Montrer que l’ensemble C_R des nombres constructibles est le plus petit sous-corps de R stable par racine carrée.

4 Les problèmes grecs

Exercice 7(Trissection des angles)

Le but est de montrer que tous les angles ne sont pastrissectables (divisibles en trois) à la règle et au compas. Nous allons le prouver pour l’angle ^π₃ : plus précisément le point de coordonnées(cos^π₃,sin^π₃)est constructible mais le point(cos^π₉,sin^π₉)ne l’est pas.

1. Exprimer cos3θen fonction de cosθ.

2. SoitP(X) =X³− ³₄X−¹₈. Montrer queP(cos^π₉) =0. Montrer queP(X)est irréductible dansQ[X].

3. Conclure.

Indications 2 1. À l’aide des nombres complexes, calculer(e^iθ)³ de deux façons.

2. Tout d’abord montrer que s’il était réductible alors il aurait racine dans Q. Si ^a_b est cette racine avec pgcd(a, b) = 1 alors à partir de P(^a_b) = 0 obtenir une équation d’entiers.

3. Utiliser le théorème de Wantzel.

5 Constructions assistées

Exercice 8(Spirale d’Archimède)

Soit(S)laspirale d’Archimèdeparamétrée par

M_t = (tcos(2πt), tsin(2πt)), t≥0.

1. TracerS.

2. Trissection des angles. Étant tracée la spirale d’Archimède, construire avec la règle et le compas la trissection d’un angle donné.Indications.Supposer l’angleθ < ^π₂. Écrire l’angle sous la formeθ= 2πt; placerM_tet tracer un cercle centré à l’origine du bon rayon.

3. Quadrature du cercle.

(a) Calculer une équation de la tangente à(S)en un pointM_t.

(b) La tangente en M₁ (pour t = 1) coupe l’axe des ordonnées en N. Calculer la longueurON.

(c) En déduire qu’avec le tracé de la spirale d’Archimède et le tracé de la tangente enM₁on peut résoudre la quadrature du cercle à la règle et au compas.

Exercice 9(La règle tournante)

On souhaite trissecter les angles à l’aide d’un compas et d’une règle graduée. SoitCle cercle de rayonr > 0centré enO. SoientA, B∈Cde telle sorte que l’angle enOd’un triangleOAB soit aigu. Notons θcet angle. Sur la règle marquer deux pointsO⁰ etCtel que O⁰C = r.

Faire pivoter et glisser la règle autour du point Bafin que le point Cappartienne à Cet le point O⁰ appartiennent à la droite (OA) (de sorte que O soit dans le segment [O⁰A]).

Montrer que l’angle enO⁰du triangleAO⁰Bvaut ^θ₃.

O A

B

C

O⁰ θ/3 θ

Exercice 10(Cissoïde de Dioclès)

Soient les pointsO(0, 0)etI(1, 0). SoitCle cercle de diamètre[OI]etLla droite d’équation (x=1). Pour un pointMdeC, soitM⁰l’intersection de(OM)avecL. Soit enfinM⁰⁰le point tel que−−−→

OM⁰⁰ =−−−→

MM⁰. L’ensemble des pointsM⁰⁰lorsque MparcourtCestla cissoïde de Dioclès, notéeD.

Le but de l’exercice est de montrer que la duplication du cube est possible à l’aide de la règle, du compas et du tracé de la cissoïde.

1. La droite (OM) ayant pour équation (y = tx), exprimer les coordonnées de M,M⁰ puisM⁰⁰en fonction det.

2. En déduire une équation paramétrique deD: x(t) = t²

1+t², y(t) = t³ 1+t². 3. Montrer qu’une équation cartésienne deDest :

x(x²+y²) −y²=0.

4. Étudier et tracerD.

5. SoitP(0, 2). La droite(PI)coupeDen un point notéQ. La droite(OQ)coupeLen un point notéR. Calculer une équation de(PI)ainsi que les coordonnées deQetR.

6. Conclure.

O

M⁰

M⁰⁰ M

L

I C

O(0, 0)

R Q

L P(0, 2)

I(1, 0)

Exercice 11(Lunules d’Hippocrate de Chios)

Montrer que l’aire des quatre lunules égale l’aire du carré.

Indications 3

C’est un calcul simple d’aires.