Jean-Marie De Conto MECANIQUE

MECANIQUE

Jean-Marie De Conto

2

Les grands thèmes abordés

• La cinématique

– Outil mathématique de description du mouvement.

– Pas de la physique, mais indispensable.

• Le principe fondamental de la dynamique

• Les grandeurs fondamentales

– Énergies cinétique et potentielle – Quantité de mouvement

– Moment cinétique

• Les forces de frottement

• La mécanique du solide indéformable

– Conditions d’équilibre

– En rotation: moment d’inertie, moment cinétique

• Exprimer la position, la vitesse et l’accélération en coordonnées cartésiennes, polaires et cylindrique.

• Faire un bilan des forces dans un référentiel inertiel

• Appliquer le principe fondamental de la dynamique et résoudre les équations associées

• Traiter un problème de statique à l’aide des moments de force

• Traiter un problème statique ou dynamique incluant des forces de frottement solides ou visqueuses.

• Connaître et appliquer le théorème de l’énergie cinétique, que le système soit conservatif ou non, en translation et/ou en rotation (masse et/ou moments d’inertie)

• Savoir résoudre des cas simples de systèmes en rotation incluant des moments d’inertie (ex : équation d’un pendule non ponctuel)

Dit autrement…

4

Grands principes

• Notre espace est absolu, euclidien, homogène et isotrope

• Le temps est également une grandeur absolue

• Nous étudions une trajectoire – vecteur position :

– vecteur vitesse, tangent à la trajectoire

– Vecteur accélération



OM



v



• Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position

• Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse, et est associé aux forces appliquées (Principe Fondamental de la Dynamique)

) , , ,

(O i j k

 





v



M

M est supposé de masse m non nulle

Les coordonnées cartésiennes (très facile)

• Vecteur position

• Vecteur vitesse

• Vecteur

accélération

k z j y i x

OM   





 























z y x dt

OM v d





 

























z y x dt

v d dt

OM d











 



2

 2

v v

T 

 1 



) , , ,

(O i j k

 





v



M

















 

z y x OM

est le vecteur normé tangent à la trajectoire et dans le sens du

6

Coordonnées polaires

• Vecteur position

• Vitesse angulaire

• Vecteur unitaire

perpendiculaire à dans le sens trigonométrique Pas forcément tangent à la

trajectoire

 OM

r

r u

r

OM

 

 

dt d





M

x y

θ r

O

u

u 

 j

i 

u 

ur

Vecteurs unitaires et dérivation

• Dans le repère cartésien

M

x y

θ r

O

u

u 

 j

i 



 



 







 



 

 



 sin cos r u r

r OM _r

 



 d

u

u d ^r

 

 



 



 

cos sin

ur

d u

d 



 



 







 





^ sin cos

) , , (O i j

r r

r

d u u d u

d

dt u d d

u d dt

u d

 





 



















 



 









On obtient la dérivée d’un vecteur unitaire en le faisant tourner de 90 degrés dans le sens trigonométrique et multipliant le vecteur obtenu par la vitesse

8

Application: cinématique (vitesse et accélération) en coordonnées polaires

• Repère mobile

• Vecteur position

• Vecteur vitesse

• Vecteur accélération

) , ,

( O u 

u 

r u r

OM^   _r  

 u

r u dt r

u dr dt

OM

v d ^r _r  



 















   







       



 ru r u ru r u r u r u r u r r u r r u

dt d dt

v d

r r

r r

 



 

 



 

 



 

 



 



 

 

 































2 )

( ^{2 2}

M

x y

θ r

O

u

ur

 j

i 

En résumé: coordonnées polaires

r r

dt u u d

dt u u d

 



 





















10

ATTENTION (cf cours)

11

Coordonnées cylindriques: facile!!!

• Vecteur position

• Vecteur unitaire

• Vecteur vitesse

• Vecteur accélération



x

z

r

z

k z r k z u r k z j y i x

OM    _r   













 

u

k

u 

   

k z u

r u

r

v



 

 

 





 



 



  









u 

u 

 

   

k d

u k k

u dt u

u d

u k dt u

u d

r

r r





 

 

 

 





 

 

 























 











 ^Nota

12

Grandeurs cinématiques pour une particule ponctuelle

• Quantité de mouvement

• Energie cinétique

• Moment cinétique

• Vecteur rotation en

coordonnées cylindriques (rotation d’axe k)

v m p  



2

2 1 mv E 



 



 





OM^ p m OM^ v

L  

2

2

2 1

1

1 mc

c v E



























k 

  

 

v u

R u

k R

OM  _r   

  ^ 







 





 v OM

dt OM

d ^  ^

Principe fondamental de la dynamique

• Référentiel Galiléen : par définition, un référentiel Galiléen est un référentiel en mouvement de translation uniforme par rapport à un référentiel au repos absolu.

• Question : Comment définir un référentiel au repos absolu ? On considère par exemple un référentiel associé à 3 étoiles fixes ou apparaissant comme telles.

• Réponse : Il n’existe pas de vrai référentiel au repos absolu, ni de référentiel absolu « tout court » (expérience de Michelson et Morley, Relativité Restreinte et Générale), mais seulement des référentiel approchés.

• Le repère de Copernic a pour origine le centre de masse du

système solaire et pour axes des directions vers 3 étoiles fixes (ou observées comme telles).

14

Le PFD

• Principe Fondamental de la Dynamique : Dans un référentiel Galiléen, le centre de masse  d’un système vérifie :

• Corollaire 1: Dans un référentiel galiléen, le

mouvement du centre de masse d’un système est rectiligne et uniforme si et seulement si la

résultante des forces extérieures est nulle.

• Corollaire 2 : Le principe fondamental de la

dynamique s’écrit, également (et nous utiliserons plutôt cette expression) :



 F

dt

p

d  

•Ceci est à connaître parfaitement (hypothèses incluses).





 F

m   

Centre de Masse ou de Gravité ?

Action et réaction. Conservation de la quantité de mouvement

• La force appliquée par A sur B est l’opposée de celle appliquée par B sur A

• On suppose qu’il n’existe pas de force extérieure.

• Le PFD implique la

conservation de la quantité de mouvement

A

A B B

A F

F _/  _/





F 

F 





/

0

/





 

























B A A

B B

A B A

F dt F

p d dt

p d dt

p d

p p

p

16

Démonstration complète du PFD

• On admet le PFD pour une particule ponctuelle

• Centre de masse

• Dérivation

• Les forces s’exerçant sur chaque point sont de deux nature :

– Les forces externes

– Les forces internes avec le principe action/réaction







 

i

i i

T

O m OM

m

1







  ^N

i

i i

T dt

OM m d

dt O m d

1

2 2 2

2

 

 

2 2 2

2 2 / 2

2 / 2

j i

j j

i i

j i j j

j

i j i

i i

F dt F

OM m d

dt OM m d

F dt F

OM m d

F dt F

OM m d



























 











i

i

T

F

m

1

 



Conservation de la quantité de mouvement

• Théorème: La quantité de mouvement d’un système isolé se conserve

• Preuve (deux particules A et B): le centre de masse d’un système isolé est en mouvement rectiligne uniforme (pas de force extérieure) donc

const p

p

p   

 



Application: choc élastique

conservation de la quantité de mouvement ET de l’énergie cinétique

• Un objet heurte un objet immobile et repart avec une vitesse donnée. Quelle est la vitesse du second objet?

18

൞

𝑚₁ ∙ Ԧ𝑣₁ = 𝑚₁ ∙ Ԧ𝑣′₁ + 𝑚₂ ∙ Ԧ𝑣′₂ 1

2 ∙ 𝑚₁ ∙ 𝑣₁² = 1

2 ∙ 𝑚₁ ∙ 𝑣^′₁² + 1

2 ∙ 𝑚₂ ∙ 𝑣^′₂²

𝑣′₂ = 𝑚₁

𝑚₂ ∙ 𝑣₁² − 𝑣′₁²

𝑡𝑎𝑛𝛽 = − 𝑣′₁ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑣₁ − 𝑣′₁ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼

Personne ne confond un vecteur avec sa norme

𝑣_𝑖 = Ԧ𝑣_𝑖 ≥ 0

Comment traiter un problème avec le PFD

20

Un exemple: tension d’un fil

• Référentiel: labo

• Origine : le point de fixation O

• Coordonnées polaires.

• Bilan des forces et projection sur les axes

• PFD

• Résolution

















r r

u T T

u mg

u mg

P  



 





cos

      

    r   r 

u 

 2 r    r   u 

 ^



 T m

P  

















) 2

( sin

) (

cos ²















 

 

 r r

m mg

r r m T

mg

 

























 mR mg

mR T

mg

sin

cos

Maths Physique Bilan

cinématique

Un peu de mathématiques ou comment tenir ses promesses

un truc + les conditions initiales

 

























 mR mg

mR T

mg

sin

cos















 2 cos

2 cos 1

sin mR C mg mR

R

K g

mg       

      



 

cos 2

2 0 cos 2

0  K  g  K   R 

 g







 2 cos 3 cos

cos T mR

mg T mg

mg         

on suppose la vitesse nulle quand le pendule est horizontal (=90 degrés).

22

Les forces

• Forces fondamentales

– L’interaction gravitationnelle (la force de gravité) – L’interaction électromagnétique

– L’interaction forte, qui est responsable de la cohésion du noyau atomique (qui devrait, en toute logique, exploser par répulsion coulombienne).

– L’interaction faible, qui est responsable de la radioactivité béta.

• Forces macroscopiques: forces de frottement

– Frottement solide (statique et dynamique)

– Frottement visqueux (dépend de la vitesse relative objet/fluide)

• Autres: Tension, Archimède etc

Forces de frottement statique

• Référentiel: le centre de masse de l’objet avec deux vecteurs unitaires dirigés selon la pente et vers le bas et perpendiculairement à la pente vers le haut.

• Objet Statique: les forces se compensent (PFD)

– Composantes du poids

– Réaction du support et frottement

j mg

F

i mg

F  

 













 cos sin

1 2

j mg

R

i mg

f 



 













 cos

sin

R

 f

 tan

f k



 

Angle limite: défini le coefficient

tan

24

Synthèse

Remarque très importante

• le sens de la force de frottement statique n’est pas

nécessairement opposé au mouvement. Si ceci est vrai pour un skieur, ceci est totalement faux pour un objet emporté par un tapis roulant. Egalement, c’est parce que les pneus ont une adhérence qu’une voiture peut remonter une pente : si la force de frottement contrariait le mouvement, on

aurait intérêt à prendre des pneus lisses. A la descente c’est heureusement l’inverse.

• On s’attachera donc à déterminer dans quel sens agit la force de frottement avant de partir dans des calculs douteux.

Cette erreur est fréquente!!!!

26

Force de frottement dynamique

• Quand on est en régime

« glissant »

• La force de frottement devient plus faible (perte d’adhérence : ne pas bloquer les roues quand on freine!)

• La force contrarie toujours le mouvement

Exemple avec le poids De manière générale:

R

k

F



Principe de la mesure des coefficients de frottement (1)

principe

Résultat attendu k_sR

k_dR

Force latérale

28

Principe de la mesure des

coefficients de frottement (2)

supméca

Quelques valeurs (sources: J Collot + Internet avec les réserves d’usage)

Statique et dynamique

dynamique

30

Frottements visqueux(1)

• La force dépend de la

vitesse relative de l’objet par rapport au fluide

• La loi de dépendance est une puissance variable de la

vitesse relative

– Loi à « basse vitesse » –  est la viscosité [Pa.s]

V v

V 

 





r

f

k V

F  







Frottements visqueux (2)

• Loi à « haute vitesse »

T V

S C V

V S C

F 

















2 1 2

1  

est le vecteur unitaire tangent à la trajectoire, C_x le coefficient de pénétration ou « de traînée »,  la masse volumique du fluide et S la section (surface perpendiculaire au mouvement).

T 

V v

V 

 





Source EPFL: qu’en penser?

32

Cas général

• Tout dépend en fait du nombre de Reynolds (DF=dimension

caractéristique –ex: diamètre d’une canalisation-) et du régime –laminaire vs turbulent-

T SV

C

F 







 (Re)

2

1



 V D

 Re

Cf un bon cours de mécanique des

fluides!

J Collot

Exemples

34

Compléments (1/3): force de Coriolis

 

   

k dt k

k d

u k

k u

dt u u d

u k

dt u u d

r

r r



 



 

 

 

 



 

 

 



























0



 













 





 v OM

dt OM

d ^  ^

k 

 



 

Compléments (2/3): force de Coriolis

• On considère le mouvement par rapport au centre C de la Terre et le mouvement relatif par rapport à une origine au sol O

• La position du point M s’écrit dans le repère mobile d’origine O (donc avec une composante selon chaque vecteur)

• Ceci est différent de l’écriture par rapport à C

M

C

O

u 

k 

u 

 

 

  

















































OM v

v OM v

v v

k z u

y u

x CO OM

CO CM

O M O

M O

M C

O

O M C

O

r





















 

 









 





 



/ /

/ /

/ /

36

• La force F

observée dans le repère local non-inertiel

(mobile) est la somme de

– La force appliquée dans le repère inertiel

– Une force asociée à la

position relative par rapport – La force dite de Coriolis qui à O

dépend de la vitesse

relative (ie: dans le repère mobile)

O M C

O

O M O

M C

O

v m

OM m

F F

OM v

/ /

/ /

2 2

 



 





 











 



 

  







 

 

  



































O M

coriolis

m v

F  2  





 

Compléments (3/3): force de Coriolis

Attention: il y a un double produit vectoriel dans la formule complète de composition

dt X X d dt

X d

O C

 







 



 



 

 

 



 

Corollaire: nous avons démontré la formule de changement de repère

Forces d’inertie: des forces qui

n’existent pas mais que nous observons!!!

38

Les interactions fondamentales

• Forces fondamentales

– L’interaction gravitationnelle (la force de gravité) – L’interaction électromagnétique

– L’interaction forte, qui est responsable de la cohésion du noyau atomique (qui devrait, en toute logique, exploser par répulsion coulombienne).

– L’interaction faible, qui est responsable de la radioactivité béta.

• L’interaction forte est vraiment forte mais à portée très limitée (le rayon de l’atome).

• L’interaction électromagnétique est plus faible mais de portée infinie, et nous en sommes le résultat (liaisons chimiques). L’existence de charges opposées qui se compensent fait que nous ne la voyons pas (les objets macroscopiques sont neutres).

• La pesanteur est infiniment plus faible, mais il n’y a pas de charges

opposées : elle domine à grande échelle et est responsable de la structure et de l’évolution de l’univers.

Unifier tout cela? Une seule interaction??

Les échelles de la physique et les interactions

40

Au fond, c’est quoi une force?

• Une force à distance, sans transmetteur? Ca paraît idiot. En fait c’est faux

• Une force se transmet par échange de particules appelées

« bosons » (du physicien Indien Bose)

41

Interaction électromagnétique: Loi de Coulomb

• Deux particules de charge q

et q

exercent l’une sur l’autre une force

• est le vecteur unitaire orienté de A vers B et r la distance de A à B.

•  0 est la permittivité du vide et vaut 8.85 10

F/m.









AB r

F r u

q

F

q

0 2 1

/

4

 





B

u 

 AB

r q F

q

0 2 1

/

4 



A B

Dessin: cas de deux

42

Interaction électromagnétique:

Force de Lorentz

• Dans un champ électrique la force s’exerçant sur une particule de charge q est donnée par :

• Dans un champ magnétique ou plus précisément dans un

champ d’induction

magnétique B, la force

s’exerçant sur une particule de charge q et de vitesse est donnée par :

• Force de Lorentz

E q F









E

B v

q

F

 







 ^{E v B} 

q

F   









Force de gravitation (Newton)

A B

44

Commentaires..

• Le théorème de Gauss s’applique à la gravitation –classique-

• Dans quelle gamme de distance cette loi est elle connue ?

• Si les interactions ont une origine commune, comment se

fait il que la force de Coulomb soit environ 10

fois la force de gravitation (électron/électron)?

• C’est une des grandes questions de la physique contemporaine

• Cependant, du fait de l’inexistence de masse négative, la gravitation domine à l’échelle de l’univers (les autres

interactions sont de portée limitée ou sont écrantées)

Théorème du moment

cinétique

46

Moments. Exemple 1: levier

• La « force qui compte » est

• L’effet est d’autant plus important que le « bras de levier » OM est grand

• La seule quantité importante est donc

• Ceci doit être indépendant de la position angulaire dans le

• On définit donc ainsi le moment plan de la force par

• La rotation, et tout ce qui entraîne une rotation, sera donc associé à la notion de moment

j F

F 





 cos 



 sin

cos OM F

F

OM   

F OM

M



_/





M

j _F^

O



i



Moments. Exemple2: deux masses identiques en rotation

• Liaison rigide: les vitesses sont opposées par construction

• Considérer la quantité de mouvement totale n’est pas satisfaisant car elle est nulle

• Comment traduire le PFD si l’on veut varier la vitesse de

rotation de l’ensemble (autour de son centre)?

• Réponse: le moment cinétique

• Se généralise à un nombre quelconque de points

• Le moment d’inertie I

caractérise l’inertie de l’objet par rapport au centre de

rotation O choisi.

2

0

1

2

1

 

















 p p

p v

m p

v 

v 



O M1

M2

  ^{ }

 ^{   }



 

 

I r

m k

mR L

k mRv p

OM p

OM L

i

i























2 2

2 2

1 1

2

2

48

Définitions

• Le moment d’un vecteur

« appliqué » au point M et par rapport à un point O est défini

• par

• La notion de solide en rotation potentielle autour d’un axe sera associée à la notion de

– Moment de force – Moment cinétique – Moment d’inertie

•

Trajectoire du CM Rotation du solide autour d’un axe

Force Moment de force

Qté de mouvement Moment cinétique

Masse Moment d’inertie

X OM X

M 

 





)

(

Propriété

• On considère 2 vecteurs et

• On suppose que les points d’application de chacun des

vecteurs définissent une droite parallèle à la direction des deux vecteurs

• Alors le moment résultant est nul

• Démonstration: on lit sur le dessin

• Intérêt: application du principe action/réaction F 

F 



F 

F 



O A

B H

/ /

 

 

 





















F O O F

k F OH M

k F OH

M F F 



50

Théorème du moment cinétique

• La dérivée temporelle du moment cinétique d’une particule

ponctuelle est égale au moment de la

résultante des forces appliquées

• Il n’y a pas besoin d’une rotation

F

dt OM L d

dt p OM d

dt L d

dt p OM d

v v dt m

L d

dt p OM d

dt p OM d

dt L d

 

 

 

 

 

































 

) , , ,

(O i j k



M v



 



 





OM^ p m OM^ v

L  

Théorème du moment cinétique pour deux particules

   

,int 2 / 1 2

,int 1 / 2 1

, 2 2

, 1 1

,int 2 / 1 ,

2 2

,int 1 / 2 ,

1 1

2 2

1 1

F OM

F OM

F OM

F dt OM

L d

F F

OM F

F dt OM

L d

p OM

p OM

L

ext ext

ext ext







 







 



 





















































O 1

,int 2

2 / 1 ,int

1 /

2

F

F  





0

En vert: les forces internes (action/réaction)

52

Théorème du moment cinétique (TMC)

• Dans un référentiel galiléen

• La dérivée temporelle du moment cinétique est égale à la somme des moments des forces externes appliquées

• Ceci s’applique à tout système de points matériel, y compris à un solide

• Corollaire: le moment cinétique d’un système isolé se conserve au cours du temps (as de forces extérieures)

• Corollaire: un objet solide sera en position statique à deux conditions

– Résultante des forces extérieures nulle (PFD) – Moment résultant nul (TMC)

Cas des systèmes plans

• La force « fait tourner » dans le sens trigonométrique

• On peut travailler sans produit vectoriel en lisant directement sur le dessin en comptant positivement quand on tourne dans le sens

trigonométrique

• On prolonge la droite « portant » la force et on projette O

M

F 

O

j

i

H



 OH F OI G  k

M 











/





54

Exemple : angle limite de stabilité d’un escabeau de longueur L

• PFD

• TMC

Les seuls moments non nuls vérifient

O A

F 

R 

P 

f  R 



s s

m ext

R k f

F R

f

P R

F

s















pas) sert (ne

0 0



 









0 



















P

M M

M

s

s

s

k

mgL L k

mg

mgL k

L mgL mg

2 tan 1

sin 2 cos

0 sin

cos 2 cos

























Exemple: stabilité d’une grue

PFD : 𝑅_𝑑 + 𝑅_𝑔 = 𝑃

TMC : −𝑃𝑥 + 𝑅_𝑑 − 𝑅_𝑔 ∙ 𝐿 = 0 PFD+TMC : 2 ∙ 𝑅_𝑔 ∙ 𝐿 = 𝑃 ∙ (𝐿 − 𝑥)

𝑅_𝑔 > 0 ↔ 𝑥 < 𝐿

56

Mécanique du solide

rigide- notions

Le mouvement d’un solide

• Mouvement composé

– De la trajectoire du CM – Du mouvement relatif de

l’objet par rapport au CM:

rotation

• Description de la rotation

• Terme d’inertie pour le PFD

• Terme d’inertie pour le TMC par rapport à l’axe de

rotation

• Inertie d’un patatoïde

• Principe fondamental de la dynamique

• Théorème du moment cinétique

• Moments de forces

• Vecteur rotation

• Produit vectoriel

• Masse

• Moment d’inertie

• Ellipsoïde d’inertie

Vecteur rotation

• On suppose un objet rigide en rotation autour d’un axe 𝑘

• On considère le système de coordonnées cylindriques d’axe 𝑘

• Par définition, le vecteur rotation est Ω = ሶ𝜃 ∙ 𝑘

• Ω indépendant du sens de 𝑘

• 𝑘 n’est pas forcément constant au cours du temps

58

Cas général du solide

• On choisira un référentiel inertiel dans tous les cas

• On choisit un repère local

associé au solide (non inertiel si le solide est en mouvement)

• Son origine peut être le centre de masse O (pas obligatoire)

• Le vecteur OM est appelé vecteur lié au solide

• Le solide est rigide: la norme de OM est constante

• Le mouvement de M est donc composé:

– Du mouvement de O par rapport – D’un mouvement de rotationà C

autour de O

• Ce mouvement relatif de

rotation est caractérisé par un vecteur rotation (a priori

inconnu)

C

O M

dt OM v d

v

dt OM d dt

CO d dt

CM d

OM CO

CM

C O C

M



























/ /





0 2

2





 



 



 













 













dt OM OM OM d

dt OM d

cte OM

OM OM

cte OM







 v OM

v 





/ /

 

   







 



 d 

 



 



R

R

Moment d’inertie

• Moment cinétique d’un seul point avec z=0

• Moment cinétique total (z=0)

• I est le « moment d’inertie » et caractérise la répartition de la masse autour d’un axe

• Plus généralement

• Si on ne travaille que selon

𝑘

• Equation du mouvement de rotation

60

Ԧ

𝑣 = 𝑟 ∙ ሶ𝜃 ∙ 𝑢_𝜃 𝑂𝑀 = 𝑟 ∙ 𝑢_𝑟

𝐿 = 𝑂𝑀 ⋏ Ԧ𝑣 = 𝑚 ∙ 𝑟² ∙ ሶ𝜃 ∙ 𝑘 = 𝑚 ∙ 𝑟² ∙ Ω

𝐿 = න

𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑒

𝑚 ∙ 𝑟² ∙ Ω = 𝐼 ∙ Ω 𝐿 = 𝐿 ∙ 𝑘 + 𝑎𝑢_𝑟 + 𝑏𝑢_𝜃

𝑑𝐿

𝑑𝑡

= 𝑚 ∙ 𝑟

∙ ሷ𝜃

𝑑𝐿

𝑑𝑡 = 𝐼 ∙ ሷ𝜃 = ෍ 𝑀_𝑖 𝐿 = 𝐼 ∙ ሶ𝜃

Mi: moment projeté sur 𝑘

Bilan

• Masse remplacée par le moment d’inertie

• Accélération remplacée par la dérivée seconde de l’angle

• Résultante des forces

remplacées par la projetée de leurs moments

Trajectoire du CM Rotation du solide autour d’un axe

Force Moment de force

Qté de mouvement Moment cinétique

Masse Moment d’inertie

𝑑 Ԧ𝑝

𝑑𝑡 = 𝑚 ∙ Ԧ𝛾_Ω = ෍ Ԧ𝐹_𝑒𝑥𝑡

𝑑𝐿

𝑑𝑡 = ෍ 𝑀_𝑒𝑥𝑡

𝑑𝐿

𝑑𝑡 = 𝐼 ∙ ሷ𝜃 = ෍ 𝑀_{𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑡é𝑠}

1 1

62

Le moment d’inertie dans un cas simple

• Anneau plat (z=0) tournant autour de son axe

• I

est le moment d’inertie de l’anneau par rapport à l’axe k

 

2

2 2

2 int 2

2 int 2

4 2

2

int int

R m R

I

R R

m

rdr r r

dm r

I

ext k

ext

R

R R

R k S

ext ext

 







 

 



 



  













)

"

mal infinitési ("

surface de

élément )

( dV

(ici) surfacique masse

ici dV dm











Axes principaux d’inertie

• Théorème: tout solide indéformable, de forme

quelconque, possède trois axes principaux d’inertie

orthogonaux passant par son centre d’inertie

• Explication: tout solide est équivalent, du point de vue inertiel, à un ellipsoïde

• Mathématiquement:

– Il existe un ellipsoïde ayant la même matrice d’inertie

– la matrice d’inertie possède 3 vecteurs propres

perpendiculaires (les axes de l’ellipsoïde équivalent)

– La matrice d’inertie généralise la notion décrite au transparent précédent

 

 

 























































S S

S

S S

S

S S

S

dm x

y yzdm

xzdm

yzdm dm

z x xydm

xzdm xydm

dm z

y

2 2 2

2 2

2

Dessin en dimension 2