Corrigé du TD S3 : Superposition de deux ondes Exercice 1 : Notes pour un instrument de musique

TD S3 : Superposition de deux ondes - corrigé

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Corrigé du TD S3 : Superposition de deux ondes

Exercice 1 : Notes pour un instrument de musique

a) A l'extrémité gauche (droite) se produit un ventre (nœud) de vibration. L'onde stationnaire de plus grande longueur d'onde (c'est-à-dire de plus faible fréquence) correspond à la figure suivante. La longueur de la cavité est donc la distance entre un nœud et un ventre adjacents, soit un quart de longueur d'onde : λ = 4l. Or, vu la relation c = λf, on en déduit 𝑙 = 𝑐

4𝑓= 19𝑐𝑚

b) Le mode suivant est indiqué sur la figure suivante (on a ajouté un ventre et un nœud par rapport au cas précédent). Ainsi, 𝑙 =3𝜆

4, et 𝑓2= 𝑐 𝜆= 3𝑐 4𝑙 = 3𝑓1 = 1,3.103 Hz.

c) De manière similaire, on aboutit a : 𝑓_𝑛 = (2𝑛 − 1)𝑓₁

d) Le mode n = 2 comporte un ventre aux deux tiers de la longueur de l'instrument. Il faut alors ouvrir un trou à cet endroit (flèche sur la figure précédente). En effet, à l'emplacement du trou se produira forcément un nœud de vibration, ce qui n'est pas compatible avec la structure du mode. La distance entre deux ventres consécutifs est λ/2. Le trou est à placer à 𝜆

2 = 2𝑙

3 = 13 𝑐𝑚.

Ces raisonnements sont volontairement simples et schématiques, et ne prétendent pas rendre compte des innombrables subtilités de la lutherie des instruments à vent.

Exercice 2 : Corde excitée par un vibreur

1. En 𝑥 = 0, 𝑦(0, 𝑡)= 𝑧(𝑡)= 𝑧0sin(𝜔𝑡) ∀𝑡.

En 𝑥 = 𝐿, 𝑦(𝐿, 𝑡)= 0 ∀𝑡.

2. C’est une onde stationnaire : les variables spatiale 𝑥 et temporelle 𝑡 sont découplées. 3. 𝑦(0, 𝑡) = 𝐴sin(𝜔𝑡 + 𝜑)sin𝜓 = 𝑧0sin(𝜔𝑡)∀𝑡.

L’égalité entre deux sinus n’est possible que s’ils sont en phase : 𝜑 = 0 On a alors 𝐴sin𝜓 = 𝑧0.

𝑦(𝐿, 𝑡) = 𝐴sin(𝜔𝑡)sin(𝑘𝐿 + 𝜓) = 0∀𝑡 ⇒ sin(𝑘𝐿 + 𝜓) = 0 ⇒ 𝜓 = −𝑘𝐿 .1

On a donc 𝐴 = − 𝑧0

sin(𝑘𝐿) ⇒ 𝑦(𝑥, 𝑡)= 𝑧0

sin(𝑘𝐿)sin(𝜔𝑡)sin(𝑘𝐿 − 𝑘𝑥).

4. L’amplitude devient très grande pour sin(𝑘𝐿) → 0 ⇒ 𝑘𝐿 → 𝑛𝝅 ⇒ 𝑘 →𝑛𝝅

𝐿 .

On retrouve l’expression du vecteur d’onde du mode propre numéro 𝑛.

Exercice 3 : Tuyau sonore

𝜆 =𝑐

𝜈 : la longueur d’onde est fixée car la célérité 𝑐 et la fréquence 𝜈 le

sont.

Au niveau de l’eau se trouve un ventre de surpression, et au niveau du haut-parleur un nœud de surpression.

1 _{La solution 𝜓 = −𝑘𝐿 + 𝝅, également possible, fait simplement sortir un signe moins du sinus, qui est}

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Page 2 sur 4 La plus petite longueur du tuyau

compatible avec les conditions aux limites est 𝐿1 =

𝜆 4.

La longueur suivante est 𝐿2 = 3𝜆 4. On mesure Δ𝐿 = 𝐿2− 𝐿1 = 37cm. Or, Δ𝐿 =𝜆 2 ⇒ 𝜈 = 𝑐 2Δ𝐿 ⇒ 𝜈 = 0,46kHz.

Exercice 4: Le delta, la loi du silence

Exercice 5 : Expressions temporelles

1. 𝑠(𝑡) = 𝑠₁(𝑡) + 𝑠₂(𝑡) = 𝑆_𝑚[𝑐𝑜𝑠(𝜔₁𝑡) + 𝑐𝑜𝑠(𝜔₂𝑡)]. 𝑠(𝑡)= 2𝑆_mcos(𝜔1+𝜔2

2 𝑡)cos( 𝜔2−𝜔1

2 𝑡).

2. Le signal 𝑠(𝑡) correspond à des oscillations quasi-sinusoïdales de pulsation 𝜔m = 𝜔1+𝜔2

2 et

d’amplitude lentement variable 𝐴(𝑡) = 2𝑆m|cos ( 𝜔2−𝜔1

2 𝑡)|.

Les maximums d’amplitude sont atteints aux instants 𝑡max tels que 𝜔2−𝜔1

2 𝑡max = 𝑝𝝅, avec 𝑝

entier. On a donc 𝑡_max= 𝑝 2𝝅

𝜔2−𝜔1.

Les minimums d’amplitude sont atteints aux instants 𝑡min tels que 𝜔2−𝜔1

2 𝑡min = 𝝅

2+ 𝑝𝝅,

avec 𝑝 entier. On a donc 𝑡min = 2𝑝+1 𝜔2−𝜔1𝝅 .

La période des battements correspond à l’écart temporel entre deux maximums ou minimums successifs : 𝑇 =_𝜔2𝝅

2−𝜔1.

3. L’amplitude minimale est nulle, ce qui correspond à la superposition de signaux sinusoïdaux de même amplitude.

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Exercice 6 : Flute de Pan

Exercice 7: One Note Samba

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Exercice 9 : Piano à queue

Prenons un piano à queue jouant du Dol au Do7.

On sait que la note qu'émet une corde vient de l'onde stationnaire de plus grande longueur d'onde. Le fondamental correspond à l'onde stationnaire pour laquelle la longueur de la corde est la taille d'un fuseau. On a alors : L = 𝜆

2 = 𝑐

2𝑓 où c est la célérité de l'onde sur la corde.

En considérant que toutes les cordes sont identiques, on peut supposer que la célérité de l'onde est la même pour toutes les fréquences.

On peut alors écrire que pour toutes les fréquences on a 𝑐 = 2𝑓𝐿.

Pour le La1 : c = 2fLa1LLa1 ; pour le Do1 : c = 2fDo1LDo1; pour le Do7 : c = 2fDo7LDo7. On a alors :

𝐿𝐷𝑜1 =

𝑓_𝐿𝑎1 𝑓𝐷𝑜1

𝐿𝐿𝑎1

Il y a 2 octaves entre le Dol et le Do3 de fréquence 262 Hz. On a donc 𝑓𝐷𝑜1 = 𝑓𝐷𝑜3

22 = 65,5Hz. Il y a 2 octaves entre le Do5 et le Do7 de fréquence 1047 Hz. On a donc

𝑓_𝐷𝑜7 = 𝑓_𝐷𝑜5× 22 = 4 × 1047 = 4188 𝐻𝑧. AN : 𝐿𝐷𝑜1 = ( 110 65,5) × 1,4 = 2,4𝑚 et 𝐿𝐷𝑜7 = ( 110 4188) × 1,4 = 3,7𝑐𝑚

La queue d'un piano à queue a donc une longueur maximale de 2,4 m pour une longueur minimale de 3,7 cm (elle peut se modéliser grossièrement par un trapèze).

Exercice 10 : Saar Treck

Exercice 11 : Corde de Melde.

1) A faux, C faux (dans des sens contraires). 2) 𝐿 =𝑛𝜆₂𝑛

3) C vrai (raisonner pour n=1 c’est le plus simple). 4) Par analyse dimensionnelle on retrouve : 𝑣 = √𝐿𝑇

𝑚 AN 𝑣 = 200 𝑚. 𝑠 −1

5) 𝑣 = 𝜆𝑛𝜈𝑛 donc 𝜈𝑛 = 𝑛𝑣

2𝐿 (𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑟é𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑡 2)). AN : 𝜈1 = 25 𝐻𝑧

6) 𝜈_𝑛 double signifie 𝐿 divisé par 2. Soit 𝐿′ =𝐿