Exercices résolus de mathématiques.
TRI 6
EXTRI060 – EXTRI069
http://www.matheux.be.tf
Jacques Collot
1 avril 03
EXTRI060 – POLYTECH, UMons, Mons, 1995 à 1998.
EPL, UCL, LLN, juillet 2004 et septembre 2007
EPB, ULB, Bruxelles, septembre 2006
POLYTECH, UMons, Mons, septembre 2015.
Dans un triangle rectangle en , on trace la hauteur . Si on pose et , démontrer que
cos 2
ABC A AD
BD p DC q
B p q p q
= =
= − +
B
D
A C
q
b c
2 2
2 2
cos ; cos ; tan ;
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos tan sin cos sin
cos 2
cos tan sin cos sin
p c B q b C b c B C B
B b B
p q c B b C c
p q c B b C b
B B
c
B B B B B
B B B B B B
= = = = −
− −
− = − =
+ + + −
− −
= = =
+ +
Méthode proposée par Steve Tumson
2
2 2
2
2
cos ( )
sin ( )
( ) ( )
( )
Or
sin sin cos
2
1 cos 2 2
cos 1 cos 2 cos 2
2 p AB
B AB p p q
AB p q
AC AD AD
B AB p q
p q AB AC
AD p AD
p p q p q
AC p q AC
C AD B B
AC
p p B p p q
B B B
p q p q p q p q
= = = +
+
= = = +
+
+ = + + =
= = − =
+ −
= = − = =
+ + + +
EXTRI061 – Mons, questions posées de 1995 à 1998.
Résoudre l’équation trigonométrique suivante :
2 2
4 cos x− 3 sin xcos x+3 sin x=4
et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique
( )
2 2
2 2 2 2
2
METHODE 1
4 cos 3 sin cos 3 sin 4
4 cos 3 sin cos 3 sin 4 sin cos 3 sin cos sin 0
sin (sin 3 cos ) 0 Solutions:
1) sin 0
sin 3 cos 0 tan 1
3 Le lecteur représentera les solutions sur
x x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x k
x x x x k
− + =
− + = +
− − =
+ =
= → =
) + = → = − → = − +
2 2
le cercle.
METHODE 2
4 cos 3 sin cos 3 sin 4
1 cos 2 1 1 cos 2
4 3 sin 2 3 4
2 2 2
1 3 1
cos 2 sin 2
2 2 2
cos 2 3 sin 2 1 cos 2 tan sin 2 1 cos 2 cos sin sin 2 cos
cos 2 cos
Solutions 1) 2
x x x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x
x
− + =
+ −
− + =
− =
− =
− =
− =
+ =
+ =
2
2)2 2
3
k x k
x k x k
+ → =
+ = − + → = − +
EXTRI062 – Mons, questions posées de 1995 à 1998.
Démontrer que
( ) sin2 sin2
tan sin cos sin cos
a b
a b a a b b
+ = −
−
( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
tan tan sin cos sin cos tan 1 tan tan cos cos sin sin
sin cos sin cos sin cos sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos
sin cos sin cos
cos cos sin sin sin cos sin cos sin cos
a b a b b a
a b a b a b a b
a b b a a b b a
a b a b a b b a
a b b a N
a b a b a b b a D
N a
+ +
+ = =
− −
+ −
= − −
= − =
− −
= ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
sin cos sin 1 sin sin 1 sin sin sin
cos cos sin sin sin cos sin cos
sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos sin cos
b b a a b b a
a b
D a b a b a b b a
a a b a b b a b b a b a
a a b b
− = − − −
= −
= − −
= − − +
= −
EXTRI063 – POLYTECH, Umons, Mons, questions posées de 1995 à 1998.
FACSA, ULG, Liège, juillet 2013.
Démontrer que, si dans un triangle l'identité suivante est vérifiée
1 cot
sin alors c
Démontrer que le triangle est rectangle si on a tan 2
e triangle est re
a c b ABC
B b
a c
=
= + +
+ Enoncé de POLYTECH
Enoncé de FACSA
ctangle ( , et désignent les longueurs des côtés opposés aux angles , et respectivement).
a b c
POLYTECH On a :
sin sin sin
2 sin cos
sin sin 2 2
sin sin sin sin 2 sin cos
2 2
Dans un triangle;
sin 2
Donc sin sin cos
2 2 2 2 cos
2 sin
D'autre part: tan 2
a b c
A B C K
B B
b K B B
A C A C
a c K A K C A C
A B C A C B
B
A C B B b
a c A C B
B
= = =
+ = + = + = + −
+ + = + = −
+ = − = + = −
= 2
cos2 On en déduit que : cos cos
2 2 2 2
1) Soit
2 2
2) Soit .
2 Le triangle est donc rectangle.
FACSA
1 1 cos cos2
On a cot , or cot
sin sin 2 si
B
B A C B A C
B A C
B A C B B C C B C A
B A C B B C C C
ABC
− −
= = = −
= − = − − − + = =
− = − − = − − − =
+
+ = =
cos2 2 cos22 1 cos
sin sin sin
n2 2 cos 2
Autrement dit : 1 cot cot , ce qui nous ramène à l'énoncé de POLYTECH
sin 2
+
= = =
+ =
Modifié le 16 mai 2014
EXTRI064 – Mons, questions posées de 1995 à 1998.
Si
( )
sin sin 2
m B =n A B+
Montrer que
( )
tan m n tan
A A B
m n
= − +
+
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
sin 2 sin sin 2
sin Or dans une proportion :
sin 2 sin 2 sin cos tan
sin 2 sin 2 sin cos tan
tan tan
A B m B n a B m
n B
a c a b c d
b d a b c d
A B B A A B
m n A
m n A B B A B A A B
a m n A B
m n
= + → = +
− −
= → =
+ +
+ − +
→ − = = =
+ + + + +
→ = − +
+
EXTRI065 – Mons, questions posées de 1995 à 1998.
Résoudre l’équation trigonométrique suivante :
( 3 3 2 2 )
cos 2x= 2 sin x+cos x−sin x cosx−sin cosx x
et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique
( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )
3 3 2 2
2 2
2 2
cos 2 2 sin cos sin cos sin cos
2 sin sin cos cos cos sin
2 sin cos cos sin 2 sin cos cos 2
Solutions 1) cos 2 0
4
1 2
2) cos sin cos tan sin
4 2
2
cos cos sin sin 2cos
4 4 2 4
cos 4
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x
x x k
x x x x
x x
x
= + − −
= − + −
= − −
= −
= → = +
− = → − =
− =
+ 1 2 4 3 2
2 7 2
12 12
x k
x k et x k
=
+ = +
→ = + = − +
EXTRI066 – Mons, questions posées de 1995 à 1998.
Résoudre un triangle sachant que ses angles sont en progression arithmétique, que le produit de leur sinus vaut
3 3
8 +
et que le périmètre vaut 12 mètres.
( ) ( )
( ) ( )
( )
180
Si est la raison aritmétique, on peut écrire :
et 180 60
D'autre part :
sin sin sin sin 60 sin 60 sin 60
3 1 cos 60 60 cos 60 60
2 2
3 3 1
cos 2 cos 120 cos 2
4 4 2
A B C x
A B x C B x B x B B x B
A B C x x
x x x x
x x
+ + =
= − = + → − + + + = → =
= − +
= − − − − − + +
= − − = +
3 1 3 3 1 3 3 3 3
Donc cos 2 cos 2
4 2 8 3 2 2 2
Solutions:
1) 2 30 15 45 ; 60 ; 75
2)2 30 15 (solution à rejeter) De : a
sin sin sin
sin sin sin sin sin
sin sin si
x x
x x A B C
x x
b c
A B C
a B a C A B C
a b c a a
A A
+ +
+ = → = − =
= → = → = = =
= − → = −
= =
+ +
→ + + = + + =
n
sin sin sin sin 45 sin 60 sin 75
sin sin 45
Par conséquent : 3.5908 12 3, 342 De même, on a
sin sin sin sin sin sin
sin sin
D'où, on pourra déduire: 4.093 4.
A
A B C
a a
A
a a m
A B C A B C
a b c b c
B C
b m et c
+ + + +
= =
= → =
+ + + +
+ + = =
= = 5650m
EXTRI067 – Mons, questions posées de 1995 à 1998.
Montrer que le triangle ABC est rectangle si ses angles vérifient la relation :
( )
( )
tan cos
sin sin C B
B A C B
= −
+ −
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
CE : cos (A cause de tan )
180 sin sin sin sin 2 sin cos
cos cos cos sin sin
sin sin 2 sin cos
sin cos cos sin sin
tan cos 2 sin cos
2 sin cos sin cos cos cos sin sin 0
B B
A B C A B C et B C C B C B
C B C B C B
A C B C B
B C B C B
B B C B
C B B B C B C B
+ + = → = + + + − =
− +
→ =
+ −
→ = = +
= +
=cos (cos cos sin sin )
1) cos 0 A rejeter à cause de la CE 2
2) sin sin cos cos 0 cos( ) 0
2 2
B C B C B
Solutions
B B
B C C B B C B C A
−
= → =
− = → + = → + = → =
Corrigé le 3 avril 06 (Sabine Bouzette)
EXTRI068 – Mons, questions posées de 1995 à 1998.
Résoudre l’équation trigonométrique suivante :
sin 5x+sinx+2sin2 x=1
et représenter sur les solutions le cercle trigonométrique.
sin 5 sin 1 2 sin2
2 sin 3 cos 2 cos 2 cos 2 (2 sin 3 1) 0 Solutions
) cos 2 0
1) 2 2
2 4
2) 2 2
2 4
) sin 3 1 2 1) 3 2 2
3
5 5 2
2) 3 2
6 18 3
x x x
x x x
x x
a x
x k x k
x k x k
b x
x k x k
x k x k
+ = −
=
− =
= →
= + → = +
= − + → = − +
=
= + → = +
= + → = +
EXTRI069 – Polytech, UMons, Mons, questions posées de 1995 à 1998. EPL, UCL, Louvain, septembre 2001. FACS, ULB, Bruxelles, septembre 2011.
Montrer que le triangle ABC est rectangle si ses angles vérifient la relation
sinA−cosA=cosB−sinB
METHODE 1
sin tan cos cos sin tan
4 4
sin sin cos cos cos cos sin sin
4 4 4 4
cos cos
4 4
cos cos
4 4
Il vient:
4 4
4 4
4 4 2 ou
2
A A B B
A A B B
A B
A B
A B
A B
A B A
C A B
− = −
− = −
+ = +
− − = +
− − = +
− − = − −
+ = − − = =
= − − =
Impossible car 0 ;
METHODE 2
sin cos cos sin
cos cos cos cos
2 2
2 sin sin 2 sin sin
4 4 4 4
sin sin
4 4
Il vient:
B
A B
A A B B
A A B B
A B
A B
+
− = −
− − = − −
− − = − − +
− = − +
METHODE 3
sin cos cos sin
sin sin cos cos
2 sin cos 2 cos cos
2 2 2 2
cos cos sin 0
2 2 2
Il vient
cos 0
2
2 2
Impossible car 0
A A B B
A B A B
A B A B A B A B
A B A B A B
A B A B A B
− = −
+ = +
+ − + −
=
− + +
− =
− =
−
=
− =
cos sin
2 2
2 2 2
ou
2
;
2
A B A B
A B A B
A B
A B C
+ = +
+ +
= −
+ =
=
