Modélisation mathématique en Mécanique du Contact

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Modélisation mathématique en Mécanique du Contact

Mircea Sofonea

To cite this version:

Mircea Sofonea. Modélisation mathématique en Mécanique du Contact. Annals of the University of Craiova. Mathematics and Computer Science series, University of Craiova, 2005, 32, pp.67-74.

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Mod´ elisation math´ ematique en M´ ecanique du Contact

Mircea Sofonea

R´ esum´ e. Dans ce travail nous pr´ esentons quelques consid´ erations sur la mod´ elisation et l’ana- lyse variationnelle des mod` eles math´ ematiques d´ ecrivant le contact entre un corps d´ eformable et un obstacle. Nous exemplifions ces propos ` a travers l’´ etude d’un probl` eme ´ elasto-visco- plastique avec compliance normale et frottement de Coulomb.

Mots clef et phrases. contact, compliance normale, frottement de Coulomb, matériau élasto-visco- plastique, modélisation, inéquation variationnelle, solution faible.

1. Introduction

Les ph´ enom` enes de contact impliquant des corps d´ eformables abondent en industrie et dans la vie de tous les jours. Le contact du piston avec la chemise, de la roue avec le rail et d’une chaussure avec le sol ne repr´ esentent que trois exemples parmi bien d’autres. Compte tenu du fait que ces ph´ enom` enes jouent un rˆ ole important dans les structures et les syst` emes m´ ecaniques, ils ont ´ et´ e intensivement ´ etudi´ es depuis longue date et la litt´ erature relevant des Sciences de l’Ing´ enieur qui leur est d´ edi´ ee est assez riche.

La litt´ erature math´ ematique d´ edi´ ee ` a l’´ etude des ph´ enom` enes de contact est plus recente. La raison r´ eside dans le fait que, accompagn´ es de ph´ enom` enes physiques et de surface complexes, les processus de contact sont mod´ elis´ es par des probl` emes aux limites non lin´ eaires, tr` es difficiles. L’une des premi` eres publications math´ ematiques concernant ce sujet est celle de Signorini [12], o` u le probl` eme de contact unilat´ eral entre un corps lin´ eairement ´ elastique et une fondation rigide est formul´ e. Il s’ensuit le travail de Fichera [4] o` u le probl` eme de Signorini a ´ et´ e r´ esolu, en utilisant des arguments des in´ equations variationnelles de type elliptique. Ceci ´ etant dit, on peut affirmer sans nous tromper que l’´ etude math´ ematique des probl` emes de contact com- mence avec la monographie de Duvaut et Lions [3], qui a le m´ erite de pr´ esenter la for- mulation variationnelle de plusieurs probl` emes de contact, accompagn´ ee de r´ esultats d’existence et d’unicit´ e de la solution. D’autres r´ ef´ erences incontournables sont les livres de Panagiotopoulous [9], Kikuchi et Oden [7], Hlav´ aˇ cek, Haslinger, Neˇ cas et Lov´ıˇsek [6], dans les deux derni` eres l’analyse num´ erique de quelques probl` emes de contact ´ etant pr´ esent´ ee. Loin de faire une ´ enum´ eration compl` ete, nous citons aussi les ouvrages ´ edit´ es de Raous, Jean et Moreau [10] et Martins et Monteriro Marques [8], qui pr´ esentent l’´ etat de l’art dans le domaine.

Une ´ etude compl` ete des ph´ enom` enes de contact comprend g´ en´ eralement les ´ etapes

suivantes : la mod´ elisation, l’analyse variationnelle et num´ erique des mod` eles et la

mise en oeuvre num´ erique. Analysons bri` evement l’objectif de chacune de ces ´ etapes.

La mod´ elisation est une ´ etape pluridisciplinaire ; elle comprend l’ensemble des hypoth` eses de nature m´ ecanique, thermodynamique et tribologique prises en con- sid´ eration dans la description d’un ph´ enom` ene de contact. A l’issue de cette ´ etape on associe ` a tout processus de contact un mod` ele math´ ematique, repr´ esent´ e par un syst` eme d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles associ´ e aux conditions aux limites et

´ eventuellement aux conditions initiales, d´ ecrivant le processus en question.

L’analyse variationnelle des mod` eles a pour but de pr´ eciser la consistence des mod` eles pour le contact ; elle comprend la d´ erivation de la formulation faible des mod` eles ainsi que des r´ esultats d’existence et ´ eventuellement d’unicit´ e de la solu- tion ; son objectif est aussi celui d’´ etudier des propri´ etes li´ ees au comportement de la solution (r´ egularit´ e, stabilit´ e, comportement assymptotique).

L’analyse num´ erique des mod` eles est destin´ ee ` a l’´ etude des sch´ emas semi-discr´ etis´ es et totalement discr´ etis´ es associ´ es aux formulations faibles d´ eriv´ ees ` a l’´ etape pr´ ec´ edente ; on y ´ etablit des r´ esultats d’existence et d’unicit´ e des solutions discr` etes, suivis de r´ esultats d’estimation de l’erreur et de convergence des solutions discr` etes vers la solution du probl` eme continu.

Enfin, la mise en oeuvre num´ erique a pour but d’obtenir des simulations num´ eriques associ´ ees aux sch´ emas discr´ etis´ es ; le bien fond´ e des strat´ egies choisies dans cette ´ etape est garanti par les r´ esultats de convergence d´ eriv´ es ` a l’´ etape pr´ ecedente. Compar´ es aux essais test, les r´ esultats num´ eriques permettent de v´ erifier la fiabilit´ e des mod` eles math´ ematiques utilis´ es dans la description du contact.

Dans cet article nous allons pr´ esenter quelques consid´ erations sur les deux premi` eres

´ etapes ci-dessus, la mod´ elisation et l’analyse variationnelle des mod` eles, que nous al- lons illustrer ` a travers un exemple concret, mod´ elisant le contact frottant d’un corps

´ elasto-visco-plastique avec une fondation. Enfin, nous terminons avec quelques conclu- sions sur le rˆ ole des Math´ ematiques Appliqu´ ees en M´ ecanique du Contact.

2. Mod´ elisation du contact

Tel qu’il a ´ et´ e d´ ej` a ´ evoqu´ e ci-dessus, la mod´ elisation d’un ph´ enom` ene de contact est d´ etermin´ ee par l’ensemble des hypoth` eses prises en consid´ eration dans sa descrip- tion. Ces hypoth` eses peuvent influencer ou bien la forme et la structure du syst` eme d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles, ou bien les conditions aux limites du mod´ ele math´ ematique associ´ e.

Parmi les hypoth` eses qui influencent le syst` eme d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles citons les hypoth` eses portant sur la g´ eom´ etrie de la d´ eformation (qui conduisent ` a des processus en grandes ou en petites d´ eformations), les hypoth` eses portant sur le processus m´ ecanique (qui peut ˆ etre dynamique, quasistatique ou statique), ainsi que les hypoth` eses portant sur le comportement du mat´ eriau (qui peut-ˆ etre ´ elastique, visco´ elastique, viscoplastique ou autre). A part ceci, les ´ equations du mod` ele peuvent ˆ etre influenc´ ees par la consid´ eration de diff´ erents ph´ enom` enes additionnels (effets thermiques, pi´ ezo´ electriques) ou bien par la consid´ eration de diff´ erentes g´ eom´ etries particuli` eres (plaques, coques, poutres).

Les conditions aux limites sur la surface de contact sont d´ ecrites ` a la fois en di-

rection de la normale et dans le plan tangent, ces derni` eres ´ etant appel´ ees conditions

de frottement. En direction de la normale nous pouvons distinguer le contact uni-

lat´ eral (lorsque l’obstacle est rigide), bilat´ eral (lorsqu’il n’y a pas de s´ eparation entre

le corps et l’obstacle), de compliance normale (lorsque l’obstacle est d´ eformable) ou

bien de r´ eponse normale instantan´ ee (lorsque la surface de contact est lubrifi´ ee). A

part le cas limite lorsque la contrainte tangentielle est nulle (le cas sans frottement), le frottement peut ˆ etre ` a seuil (quand le glissement se produit que lorsque la force de frottement atteint une valeur critique) ou sans seuil (lorsque le glissement se produit pour n’importe quelle force de frottement). Parmi les lois de frottement ` a seuil, les plus utilis´ ees dans la litt´ erature sont celles de Coulomb et de Tresca ; elles mod´ elisent un frottement sec, alors que les lois de frottement sans seuil mod´ elisent un frottement lubrifi´ e.

Les conditions aux limites sont aussi influenc´ ees par la prise en consid´ eration des diff´ erents ph´ enom` enes sous-jacents qui accompagnent le contact avec frottement : l’adh´ erence, l’usure, les effets thermiques. Par ailleurs, mˆ eme si on n´ eglige ces ph´ eno- m` enes et on se limite au contact frottant avec seuil, la d´ ependance du seuil de frot- tement par rapport au glissement ou ` a la vitesse de glissement peut ˆ etre envisag´ ee, influen¸cant ainsi les conditions aux limites du mod` ele math´ ematique consid´ er´ e.

Vu les commentaires ci-dessus, nous concluons qu’il y a une grande vari´ et´ e d’hypo- th` eses ` a prendre en consid´ eration lors de la mod´ elisation des ph´ enom` enes de contact.

Par ailleurs, la prise en compte des diff´ erentes conditions de contact et de frottement associ´ ees ` a des lois de comportement de plus en plus complexes conduit ` a des mod` eles math´ ematiques nouveaux et non standards, tels que nous allons voir dans les deux sections suivantes.

3. Analyse variationnelle des mod` eles

En g´ en´ eral, le syst` eme d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles associ´ e aux conditions aux limites et aux conditions initiales obtenu ` a l’´ etape de mod´ elisation n’admet pas de solution classique. La raison r´ eside principalement dans les non lin´ earit´ es prises en consid´ eration dans la description du contact. Pour palier cette difficult´ e et dans le but de donner un sens au mod` ele math´ ematique obtenu, on est oblig´ e ` a passer par la formulation faible ou variationnelle du mod` ele. Obtenue ` a l’aide de la formule de Green d’int´ egration par partie, cette formulation a l’avantage de prendre en consid´ eration d’une mani` ere intrins` eque les fronti` eres libres et les diff´ erentes conditions aux limites, et bien souvent elle conduit ` a des in´ equations variationnelles.

A titre d’exemple, dans cette section nous nous limitons ` a passer en revue les diff´ erents types d’in´ equations variationnelles repr´ esentant la formulation faible de quelques probl` emes de contact pour des mat´ eriaux ´ elastiques lin´ eaires, dans le cas statique ou quasistatique. Partout ci-dessous (V, ( · , · ) _V ) repr´ esente un espace de Hil- bert r´ eel associ´ e au champ des d´ eplacements u , a est une forme bilin´ eaire sur V associ´ ee aux coefficients ´ elastiques, alors que f d´ ecrit l’action des efforts ext´ erieurs (les forces appliqu´ ees de volume et de surface).

Le probl` eme d’´ equilibre d’un corps ´ elastique en contact sans frottement avec un obstacle rigide conduit ` a une in´ equation variationnelle elliptique de premi` ere esp` ece de la forme

u ∈ U, a( u , v − u ) ≥ ( f , v − u ) _V ∀v ∈ U, (1) o` u U est un convexe ferm´ e non vide de V repr´ esentant l’ensemble des d´ eplacements admissibles au probl` eme et f ∈ V . Si on suppose maintenant que le contact est maintenu tout au long du processus et qu’il est associ´ e ` a la loi statique de frottement de Tresca, on arrive ` a une in´ equation variationnelle de deuxi` eme esp` ece de la forme

u ∈ V, a( u , v − u ) + j ( v ) − j( u ) ≥ ( f , v − u ) _V ∀v ∈ V, (2)

o` u j : V → IR est une fonctionnelle convexe et semicontinue inf´ erieurement, d´ ecrivant

le frottement. En consid´ erant maintenant un contact avec compliance normale et

frottement statique de Coulomb on arrive ` a une formulation variationnelle de la forme u ∈ V, a( u , v − u ) + j( u , v ) − j( u , u ) ≥ ( f , v − u ) <sub>V</sub> ∀v ∈ V, (3) o` u j : V × V → IR. La nouveaut´ e consiste ici dans la d´ ependance de la fonctionnelle j de la solution du probl` eme, ce qui conduit ` a une in´ equation quasivariationnelle de type elliptique.

Le cas quasistatique est plus d´ elicat ; il se caract´ erise par la pr´ esence de la d´ eriv´ ee temporelle de la solution, not´ ee ˙ u , ce qui conduit ` a imposer une valeur initiale pour le champ des d´ eplacements. Par exemple, la version quasistatique du mod` ele (2) consiste

`

a trouver u : [0, T ] → V tel que u (0) = u 0 et

a( u , v − u ˙ ) + j( v ) − j ( ˙ u ) ≥ ( f , v − u ˙ ) _V ∀v ∈ V, (4) alors que la version quasistatique de (3) consiste ` a trouver u : [0, T ] → V tel que u (0) = u 0 et

a( u , v − u ˙ ) + j( u , v ) − j ( u , u ˙ ) ≥ ( f , v − u ˙ ) _V ∀v ∈ V. (5) Les in´ egalit´ es (4) et (5) ont lieu presque partout dans l’intervalle de temps (0, T ) o` u T > 0 ; par ailleurs, u 0 repr´ esente le d´ eplacement initial et f est une fonction d´ efinie de [0, T ] ` a valeurs dans V .

Une fois la formulation variationnelle des mod` eles d´ eriv´ ee, on s’interesse aux r´ esul- tats d’existence et d’unicit´ e de la solution. Ces r´ esultats constituent des r´ esultats d’existence et d’unicit´ e de la solution faible pour les probl` emes de contact consid´ eres.

Ils sont souvent suivis de r´ esultats de r´ egularit´ e, de stabilit´ e ou de comportement assymptotique de la solution. En se limitant aux exemples de contact ´ elastique ci- dessous, on voit qu’il existe un lien fort entre l’analyse des mod` eles (1)–(5) et la th´ eorie des in´ equations variationnelles elliptiques et d’´ evolution.

Pour plus de d´ etails sur l’analyse variationnelle des mod` eles statiques (1), (2) et (3) ci-dessus nous renvoyons le lecteur int´ eress´ e aux travaux [2, 3, 9] ; par ailleurs, des r´ esultats d’existence et d’unicit´ e de la solution pour des mod` eles quasistatiques de la forme (4) et (5) peuvent ˆ etre trouv´ es dans [5, 11].

4. Un exemple

Dans le but d’illustrer les consid´ erations g´ en´ erales expos´ ees dans les deux sections pr´ ecedentes, nous pr´ esentons ici un exemple d´ ecrivant un processus de contact dans l’hypoth` ese des petites d´ eformations. Partout dans la suite S <sup>d</sup> represente l’espace des tenseurs symm´ etriques d’ordre deux sur R <sup>d</sup> alors que “ · ” et · denotent respecti- vement le produit scalaire et la norme sur R <sup>d</sup> et S <sup>d</sup> . Par ailleurs, nous utilisons les notations standards pour les espaces de Lebesgue L <sup>p</sup> et les espaces de Sobolev W <sup>k,p</sup> pour des fonctions ` a valeurs scalaires ou vectorielles.

Le contexte physique est le suivant : on consid` ere un corps ´ elasto-visco-plastique

occupant un ouvert Ω ⊂ R ^d (d = 2, 3), de fronti` ere Γ, suffisamment r´ eguli` ere, divis´ ee

en trois parties disjointes et mesurables Γ ₁ , Γ ₂ et Γ ₃ , telles que mes(Γ ₁ ) > 0. Soit

ν le vecteur unitaire de la normale sortante ` a Γ et soit [0, T ] un intervalle de temps,

T > 0. Le corps est suppos´ e fix´ e sur la partie Γ ₁ de sa fronti` ere alors que des forces

volumiques et surfaciques de densit´ es f ₀ et f ₂ agissent respectivement dans Ω et

sur Γ ₂ . Sur Γ ₃ le corps est susceptible d’entrer en contact avec un obstacle, ladite

fondation ; le contact est avec compliance normale et frottement et le processus est

quasistatique. Sous ces hypoth` eses, le probl` eme m´ ecanique consid´ er´ e se formule de la

fa¸con suivante :

Probl` eme P . Trouver un champ des d´ eplacements u : Ω × [0, T ] → R ^d ainsi qu’un champ des contraintes σ : Ω × [0, T ] → S ^d tels que :

σ ˙ = E ε ( ˙ u ) + G ( σ , ε ( u )) dans Ω × (0, T ), (6)

Div σ + f ₀ = 0 dans Ω × (0, T ), (7)

u = 0 sur Γ ₁ × (0, T ), (8)

σν = f ₂ sur Γ ₂ × (0, T ), (9)

− σ _ν = p _ν (u _ν − g _a ) sur Γ ₂ × (0, T ), (10) σ τ ≤ p _τ (u _ν − g _a ),

σ _τ < p _τ (u _ν − g _a ) ⇒ u ˙ _τ = 0,

σ τ = p _τ (u _ν − g _a ) ⇒ σ τ = − λ u ˙ τ , λ ≥ 0

⎫ ⎬

⎭ sur Γ ₃ × (0, T ), (11) u (0) = u ₀ , σ (0) = σ ₀ dans Ω. (12) L’´ equation (6) repr´ esente la loi de comportement du mat´ eriau o` u ε ( u ) d´ enote le champ des d´ eformations lin´ earis´ e, E = ( E ijkh ) est le tenseur des coefficients ´ elastiques et G est une fonction constitutive non lin´ eaire. Ici et partout dans ce travail le point au-dessus repr´ esente la d´ eriv´ ee par rapport au temps. L’´ equation (7) est l’´ equation d’´ equilibre, (8) et (9) sont les conditions aux limites de d´ eplacement-traction et (12) sont les conditions initiales. Les conditions aux limites (10) et (11) repr´ esentent les conditions de contact avec compliance normale et frottement de Coulomb, voir [5] pour plus de d´ etails. Ici u _ν = u · ν est le d´ eplacement normal, u τ = u − u _ν ν repr´ esente le d´ eplacement tangentiel, σ _ν = ( σν ) · ν est la contrainte normale et σ _τ = σν − σ _ν ν est la contrainte tangentielle. Les fonctions p _r (r = ν, τ ) sont des fonctions positives et g _a repr´ esente l’interstice initial entre le corps et la fondation, mesur´ e le long de la normale ν .

Afin de pr´ esenter la formulation variationelle du probl` eme P nous introduisons les espaces

V = {v ∈ H ¹ (Ω) ^d | v = 0 sur Γ ₁ } ,

Q = { σ = (σ _ij ) | σ _ij = σ _ji ∈ L ² (Ω), 1 ≤ i, j ≤ d } .

L’espace Q est un espace de Hilbert r´ eel muni du produit scalaire canonique ( · , · ) _Q ; l’espace V sera muni du produit scalaire ( u , v ) _V ( ε ( u ), ε ( v ) _Q ; il est un espace de Hilbert r´ eel, compte tenu de l’in´ egalit´ e de Korn.

Dans l’´ etude du probl` eme P nous supposons que :

⎧ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎩

(a) E : Ω × S ^d → S ^d .

(b) E ijkl ∈ L ^∞ (Ω), 1 ≤ i, j, k, l ≤ d.

(c) E σ · τ = σ · E τ , ∀ σ , τ ∈ S ^d , p.p. dans Ω.

(d) Il existe α ₀ > 0 tel que

E τ · τ ≥ α ₀ τ ² ∀ τ ∈ S ^d , p.p. dans Ω.

(13)

⎧ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎩

(a) G : Ω × S ^d × S ^d → S ^d . (b) Il existe L _G > 0 tel que

G ( x , σ 1 , ε 1 ) − G ( x , σ 2 , ε 2 ) ≤ L _G ( σ 1 − σ 2 + ε 1 − ε 2 )

∀ σ ₁ , σ ₂ , ε ₁ , ε ₂ ∈ S ^d , p.p. x ∈ Ω.

(c) x → G ( x , σ , ε ) est mesurable dans Ω, ∀ σ , ε ∈ S ^d . (d) x → G ( x , 0 , 0 ) ∈ Q.

(14)

(15)

⎧ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎩

(a) p _r : Γ ₃ × R → R + .

(b) Il existe L _r > 0 tel que | p _r ( x , s ₁ ) − p _r ( x , s ₂ ) | ≤ L _r | s ₁ − s ₂ |

∀ s ₁ , s ₂ ∈ R , p.p. x ∈ Γ ₃ .

(c) x → p _r ( x , s) est mesurable sur Γ ₃ , ∀ s ∈ R . (d) x → p _r ( x , s) = 0 pour s ≤ 0, p.p. x ∈ Γ ₃ .

(16)

f ₀ ∈ W ^1,∞ (0, T ; H ), f ₂ ∈ W ^1,∞ (0, T ; L ² (Γ ₂ ) ^d ), (17) g _a ∈ L ² (Γ ₃ ), g _a ≥ 0 p.p. sur Γ ₃ , (18)

u 0 ∈ V, σ 0 ∈ Q, (19)

( σ 0 , ε ( v )) _Q + j( u 0 , v ) ≥ ( f (0), v ) _V ∀v ∈ V, (20) o` u j : V × V → R et f : [0, T ] → V sont les applications d´ efinies par

j( u , v ) =

Γ

p _ν (u _ν − g _a ) v _ν da +

Γ

p _τ (u _ν − g _a ) v τ da,

( f (t), v ) _V =

Ω f ₀ (t) · v dx +

Γ

f ₂ (t) · v da, pour tout u , v ∈ V et t ∈ [0, T ].

En utilisant la formule de Green, on obtient la formulation variationnelle du probl` eme m´ ecanique P :

Probl` eme P _v . Trouver le champ des d´ eplacements u : [0, T ] → V et le champ des contraintes σ : [0, T ] → Q tels que :

σ ˙ (t) = E ε ( ˙ u (t)) + G ( σ (t), ε ( u (t))) p.p. t ∈ (0, T ), (21) ( σ (t), ε ( v ) − ε ( ˙ u (t))) _Q + j( u (t), v ) − j( u (t), u ˙ (t))

≥ ( f (t), v − u ˙ (t)) _V ∀v ∈ V, p.p. t ∈ (0, T ), (22)

u (0) = u 0 , σ (0) = σ 0 . (23)

Remarquons que dans cette formulation l’´ equation (7) ainsi que les conditions aux limites (8)–(11) sont remplac´ ees par l’in´ equation (22) ; cette in´ equation contient d’une mani` ere intrins` eque les informations locales fournies par (7)–(11). Par ailleurs, du point de vue math´ ematique le Probl` eme P <sub>v</sub> repr´ esente un syst` eme non lin´ eaire couplant l’´ equation diff´ erentielle (21) ` a l’in´ equation variationnelle d’´ evolution (22), associ´ e aux conditions initiales (23). Les difficult´ es majeures rencontr´ ees dans la r´ esolution de ce syst` eme r´ esident dans la nonlin´ earit´ e de la fonction G ainsi que dans la d´ ependence de la fonctionnelle j de la solution du probl` eme.

Dans l’´ etude du probl` eme variationnel (21)–(23) nous avons le r´ esultat suivant, obtenu r´ ecemment dans [1].

Th´ eor` eme 4.1. Sous les hypoth` eses (13)–(20), il existe L ₀ > 0 dependant de Ω, Γ ₁ ,

Γ ₃ , E , G et T tel que, si L _ν + L _τ < L ₀ , alors le probl` eme P _v admet au moins une

solution de r´ egularit´ e u ∈ W ^1,∞ (0, T ; V ), σ ∈ W ^1,∞ (0, T ; Q).

La d´ emonstration du Th´ eor` eme 4.1 est obtenue en plusieurs ´ etapes. Elle repose sur une m´ ethode de discr´ etisation temporelle pour les in´ equations variationnelles d’´ evolution, suivie des arguments de point fixe de Banach et de Schauder.

Nous soulignons que le Th´ eor` eme 4.1 nous fournit l’existence de la solution du Probl` eme P _v sous une hypoth` ese de petitesse concernant les fonctions de compliance normale, le probl` eme de l’unicit´ e de la solution ´ etant laiss´ e ouvert. Par ailleurs, on peut se demander si l’hypoth` ese de petitesse L <sub>ν</sub> + L <sub>τ</sub> < L <sub>0</sub> traduit une caract´ eristique intrins` eque du probl` eme m´ ecanique ou bien elle ne repr´ esente qu’une limitation im- pos´ ee par les outils math´ ematiques employ´ es.

Un couple {u , σ} satisfaisant aux relations (21)–(23) s’appelle solution faible du probl` eme m´ ecanique (6)–(12). Nous concluons par le Th´ eor` eme 4.1 que le Probl` eme P admet une solution faible si la somme L _ν + L _τ est suffisemment petite.

5. Conclusions

Les consid´ erations pr´ esent´ ees dans cet article compl´ et´ ees par les arguments d´ ev´ elop- p´ es dans les ouvrages [5] et [11] nous am` enent ` a quelques conclusions que nous allons structurer de la fa¸con suivante :

– Les ph´ enom` enes de contact sont vari´ es, fortement non lin´ eaires et complexes.

A part le frottement (qui reste l’ing´ edient principal), ils incluent une gamme tr` es vari´ ee de ph´ enom` enes sous-jacents comme l’usure, l’adh´ esion, les effets ther- miques, parmi bien d’autres.

– Une ´ etude compl` ete des ph´ enom` enes de contact implique des comp´ etences vari´ ees, allant de la m´ ecanique au calcul scientifique, en passant par l’analyse fonction- nelle, l’analyse num´ erique et la thermodynamique, sans oublier la tribologie.

– Des progr` es importants ont ´ et´ e faits r´ ecemment et, comme r´ esultat, une nou- velle discipline est n´ ee : La Th´ eorie Math´ ematique de la M´ ecanique du Contact (TMMC). Partie int´ egrante des Math´ ematiques Appliqu´ ees, l’objectif de la TMMC est de pr´ esenter une description claire et pr´ ecise des probl` emes aux li- mites mod´ elisant le contact entre corps d´ eformables ainsi que de r´ ealiser leur analyse variationnelle et num´ erique.

– Situ´ ee au carrefour de plusieurs disciplines scientifiques, la caract´ eristique prin- cipale de la TMMC est la fertilisation crois´ ee entre les mod` eles m´ ecaniques et les applications dans les Sciences de l’Ing´ enieur, d’une part, et l’analyse math´ ematique et num´ erique, d’autre part.

– Bien que des progr` es importants ont ´ et´ e faits, la TMMC est riche en probl` emes ouverts qui doivent ˆ etre consid´ er´ es dans l’avenir.

R´ ef´ erences

[1] A. Amassad, C. Fabre, M. Sofonea, A quasistatic viscoplastic contact problem with normal compliance and friction, IMA Journal of Applied Mathematics, 69 , 463-482 (2004).

[2] M. Cocu, Existence of solutions of Signorini problems with friction, Int. J. Engng. Sci., 22 , 567–581 (1984).

[3] G. Duvaut, J.L. Lions, Les in´ equations en M´ ecanique et en Physique, Paris, Dunod, 1972.

[4] G. Fichera, Problemi elastostatici con vincoli unilaterali. II. Problema di Signorini con ambique condizioni al contorno, Mem. Accad. Naz. Lincei, S. VIII, Vol. VII, Sez. I, 5 , 91-140 (1964).

[5] W. Han, M. Sofonea, Quasistatic Contact Problems in Viscoelasticity and Viscoplasticity, Stu-

dies in Advanced Mathematics, Vol. 30 , American Mathematical Society, Somerville, MA, Pro-

vidence, RI - International Press, 2002.

[6] I. Hlav´ aˇ cek, J. Haslinger, J. Neˇ cas, J. Lov´ıˇ sek, Solution of Variational Inequalities in Mechanics, New York, Springer-Verlag, 1988.

[7] N. Kikuchi, J.T. Oden, Contact Problems in Elasticity : A Study of Variational Inequalities and Finite Element Methods, Philadelphia, SIAM, 1988.

[8] J. A.C. Martins, M.D.P. Monteiro Marques MDP, eds., Contact Mechanics, Dordrecht, Kluwer, 2002.

[9] P.D. Panagiotopoulos, Inequality Problems in Mechanics and Applications, Boston, Birkh¨ auser, 1985.

[10] M. Raous, M. Jean, J.J. Moreau, eds., Contact Mechanics, New York, Plenum Press, 1995.

[11] M. Shillor, M. Sofonea, J.J. Telega, Models and Variational Analysis of Quasistatic Contact, Lecture Notes in Physics, Vol. 655 , Berlin, Springer-Verlag, 2004.

[12] Signorini A, Sopra alcune questioni di elastostatica, Atti della Societ` a Italiana per il Progresso delle Scienze, 1933.

(Mircea Sofonea) Laboratoire de Math´ ematiques et Physique pour les Syst` emes,

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