EQUATIONS DE DROITES CORRECTION DES EXERCICES DU LIVRE Commentaires à l'oral en bleu 39p231 questions 1 et 2 1)

(1)

EQUATIONS DE DROITES

CORRECTION DES EXERCICES DU LIVRE

Commentaires à l'oral en bleu

39p231 questions 1 et 2

1) On commence par calculer les coordonnées d'un vecteur directeur :

; ; . Un vecteur directeur de a pour coordonnées cad . On calcule ensuite les coordonnées d'un point. Pour cela, on choisit une valeur pour et on calcule la valeur de correspondante.

Soit un point de alors ; . A(0;-1) On réalise ensuite la construction :

2) Un vecteur directeur de a pour coordonnées .

Soit un point de alors ; . B(0;-2)

23p229

L’équation réduite d’une droite est de la forme avec coefficient directeur de la droite.

On va donc d’abord remplacer par sa valeur puis exploiter le fait que A appartient à la droite (même méthode que pour trouver le de l’équation cartésienne).

1) Soit la droite passant par A(5;2) et de coefficient directeur . L’équation réduite de est où est un réel.

Or, A(5;2) est un point de donc cad puis ; ; .

L’équation réduite de est .

2) Soit la droite passant par A(-4;-1) et de coefficient directeur . L’équation réduite de est où est un réel.

Or, A(-4;-1) est un point de donc cad puis ; .

L’équation réduite de est .

3) Soit la droite passant par et de coefficient directeur L’équation réduite de est où est un réel.

Or, est un point de donc cad puis

L’équation réduite de est .

(2)

29 p 229

Rajouter question 5 : Tracer la droite d’équation et la droite d’équation . 1) On commence par calculer les coordonnées d'un vecteur directeur :

; ; . Un vecteur directeur de a pour coordonnées cad .

On calcule ensuite les coordonnées d'un point . Pour cela, on choisit une valeur pour et on calcule la valeur de correspondante.

Soit un point de alors ; ; . A(0 ;-2).

On trace la droite passant par A(0;-2) et dirigée par . 2)

3) est la droite de coefficient directeur -1 et d’ordonnée à l’origine 4,5.

4) Le coefficient directeur de est -1,5 donc un vecteur directeur de est

. On trace la droite passant par B(-2;4) et dirigée par

.

(3)

5) Tracer la droite d’équation et la droite d’équation . est parallèle à l’axe des ordonnées et à l’axe des abscisses.

31 p 230

et sont parallèles à l’axe des ordonnées, leur équation est de la forme . a pour équation et a pour équation .

a pour équation . a pour équation .

33p230

Le résultat suivant se retrouve graphiquement :

La droite (DE) est parallèle à l’axe des abscisses si D et E ont la même ordonnée.

La droite (FG) est parallèle à l’axe des ordonnées si F et G ont la même abscisse.

(4)

1) et ont la même abscisse donc ( ) est parallèle à l’axe des ordonnées.

2) et ont la même ordonnée donc ( ) est parallèle à l’axe des abscisses.

3) et n’ont la ni même ordonnée ni la même abscisse donc ( ) n’est pas parallèle aux axes.

4) . et ont la même abscisse donc ( ) est parallèle à l’axe des ordonnées.

34 p 229

Rajouter question 5 : Tracer la droite d’équation et la droite d’équation . 1) est la droite de coefficient directeur 2 et d’ordonnée à l’origine 1.

2) est la droite de coefficient directeur et d’ordonnée à l’origine 0.

3) est la droite de coefficient directeur et d’ordonnée à l’origine -2.

4) est la droite de coefficient directeur et d’ordonnée à l’origine -1.

5) est parallèle à l’axe des ordonnées et à l’axe des abscisses.

50p232

Deux droites parallèles ont les mêmes vecteurs directeurs. Ainsi est la droite passant par C et dirigée par .

1) est la droite parallèle à (AB) donc est un vecteur directeur de .

;

; . Un vecteur directeur de (AB) est donc une équation cartésienne de est avec réel.

C(3;-2) appartient à donc d’où

(5)

est une équation cartésienne de la droite

2) est la droite parallèle à (AB) donc est un vecteur directeur de .

;

; . Un vecteur directeur de (AB) est donc une équation cartésienne de est avec réel.

C(1;1) appartient à donc d’où est une équation cartésienne de la droite

21p229

1) ; ; ;

donc n'est pas parallèle à . Les droites sont sécantes.

2) ; ;

donc // .

Une équation de est aussi (on a multiplié par 3 tous les coefficients).

Ainsi, est strictement parallèle à . 3) Une équation de est aussi .

; ;

; .Une équation de est aussi est confondue avec .

65p234

On détermine un vecteur directeur de . Comme et sont parallèles, est aussi un vecteur directeur de . On détermine ensuite une équation cartésienne de droite passant par A et dirigée par .

1) est un vecteur directeur de . Comme est parallèle à , dirige aussi . Ainsi, est une équation de avec réel.

Or, A(-1;5) est un point de donc puis . Une équation cartésienne de est .

2) est un vecteur directeur de . Comme est parallèle à , dirige aussi . Ainsi, est une équation de avec réel.

Or, A(7;1) est un point de donc puis . Une équation cartésienne de est .

3) On peut utiliser la méthode précédente ou voir les choses différemment ici.

est parallèle à l’axe des ordonnées donc est aussi parallèle à l’axe des ordonnées.

De plus, le point d’ordonnée 0 appartient à donc est l’axe des ordonnées et a pour équation .

4) Ici, on va d’abord déterminer l’équation réduite de .

a pour coefficient directeur et // donc a pour coefficient directeur . L’équation réduite de est avec réel.

appartient à donc puis ; .

L’équation réduite de est . Une équation cartésienne de est .

(6)

77p235

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

La droite d’équation a pour coefficient directeur et la droite d’équation

a pour coefficient directeur

. Or, ≠22/7 donc les droites sont sécantes.

78 p 235

Soit la droite d’équation et la droite d’équation .

; ; . ≠0 donc les droites et sont sécantes en A.

Les coordonnées de A sont la solution du système : . On multiplie la première équation par -3 :

Les droites se coupent en A(1;4).

Exercice :

On considère deux droites et d’équations réduites respectives et .

1) Démontrer que les droites sont sécantes.

2) Déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.

3) Vérifier le résultat graphiquement.

Correction :

1) a pour coefficient directeur 1 et a pour coefficient directeur -2. Les droites n’ont pas le même coefficient directeur donc elles sont sécantes en A.

2) Les coordonnées de A sont la solution du système :

Je multiplie la première équation par -1 :

(7)

Les droites se coupent en A(4;2).

3) On trace les droites et , puis on lit les coordonnées du point d’intersection.

Graphiquement, on lit que et se coupent en A(4;2).

82p236

1) Graphiquement, les droites d’équation et se coupent en A( 4 ; 3).

Ainsi, semble être la solution du système

. Prouvons le !

Attention ! Pour le prouver, il ne suffit pas de prouver que (-4 ;-3) est une solution du système. Il faut aussi prouver que c’est la seule. Pour cela, on va d’abord prouver que le système a une unique