MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Énoncé manquant
Corrigé
1. a. En utilisant les opérations L 4 ← L 4 − αL 1 et L 2 ← L 2 − 2L 1 , le rang de A est aussi celui de
1 1 0 0 0 −1 1 1 0 0 0 α 0 0 0 0
On en déduit que le rang est 2 si α = 0 , le rang est 3 sinon.
b. Pour déterminer une base de l'image, on cherche 2 ou 3 colonnes combinaisons des colonnes de A et les engendrant. Pour la base du noyau, on cherche des combinaisons nulles de colonnes de A . On obtient :
si α = 0 : Im f = V ect(e 1 , e 2 ) , ker f = V ect(e 3 − e 4 , e 1 − e 2 − e 3 ) . si α 6= 0 : Im f = V ect(e 2 , e 3 , e 1 + αe 4 ) , ker f = V ect(e 1 − e 2 − e 3 ).
c. Pour toutes les valeurs de α , l'image et le noyau de f sont supplémentaires.
2. On a déja montré que l'on peut choisir λ = 1 et donc ε 1 = e 1 + αe 4 , ε 2 = e 2 , ε 3 = e 3
3. L'application g est linéaire par dénition, elle prend ses valeurs dans F = Im f puisque c'est une restriction de f . D'autre part :
g(ε 1 ) = e 1 + 2e 2 + αe 4 + α(e 2 + αe 3 ) = e 1 + αe 4 + (2 + α)e 2 + α 2 e 4
= ε 1 + (2 + α)ε 2 + α 2 ε 4
g(ε 2 ) = e 1 + e 2 + αe 4 = ε 1 + ε 2 g(ε 3 ) = e 2 = ε 2
M at
B g =
1 1 0
2 + α 1 1 α 2 0 0
4. L'application g est inversible car c'est la restriction de f à un supplémentaire de son noyau. Le calcul de la matrice inverse conduit à
M at B g −1 = 1 α 2
0 0 1
α 2 0 −1
−α 2 α 2 −(α + 1)
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai Amat2MPSI B 29 juin 2019
5. a. Les conditions de l'énoncé dénissent h car ker f et Im f sont supplémentaires.
Ecrivons d'abord la matrice de h dans B 0 = (ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) avec ε 4 = e 1 − e 2 − e 3 . Comme (ε 4 ) est une base de ker f , on a :
M at B
0h = 1 α 2
0 0 1 0
α 2 0 −1 0
α 2 α 2 −(α + 1) 0
0 0 0 0
Utilisons ensuite la formule de changement de base M at C h = P −1 ·M at
B
0h · P avec P = P B
0C . D'autre part :
ε 1 = e 1 + αe 4
ε 2 = e 2
ε 3 = e 3
ε 4 = e 1 − e 2 − e 3
e 1 = ε 2 + ε 3 + ε 4
e 2 = ε 2
e 3 = ε 3
e 4 = α 1 (ε 1 − ε 2 − ε 3 − ε 4 )
P −1 =
1 0 0 1 0 1 0 −1 0 0 1 −1 α 0 0 0
P =
0 0 0 α 1 1 1 0 − α 1 1 0 1 − α 1 1 0 0 − α 1
D = M at
C h = 1 α 2
1 0 1 − α 1
−1 0 −1 α
2α +1 α 2 − α − 1 1 −α − 1 −2α
2α +α+1
α 0 α −1
b. Il ne faut surtout pas calculer le produit matriciel. Remarquons plutôt que ADA est la matrice dans B de f ◦ h ◦ f . Dans ker f , l'endomorphisme f ◦ h ◦ f est toujours nul ; dans Im f , h ◦ f = h ◦ g = Id Im f donc f ◦ h ◦ f coïncide avec f . Comme ker f et Im f sont supplémentaires et que f ◦ h ◦ f et f coïncident sur ces sous-espaces, ils sont égaux dans E tout entier. On en déduit ADA = A .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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