Espaces vectoriels-MPA alg`ebre S2

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Espaces vectoriels-MPA alg`ebre S2

C. Huyghe

1. D´eterminer lesquels des ensemblesE₁,E₂,E₃etE₄sont des sous-espaces vectoriels deR³.

E₁ ={(x,y,z)∈R³ ^3x−7y= z} E₂ ={(x,y,z)∈R³ ^x²−z² =0}

E₃ ={(x,y,z)∈R³ ^x+y−z=x+y+z=0} E₄ ={(x,y,z)∈R³ ^z(x²+y²) =0}

2. Parmi les ensembles suivants, reconnaˆıtre ceux qui sont des sous-espaces vectoriels deR³:

E₁ ={(x,y,z)∈R³/x+y=0}; E⁰₁ ={(x,y,z)∈R³/xy =0}. E₂ ={(x,y,z,t)∈R⁴/x =0,y= z}; E⁰₂ ={(x,y,z)∈R³/x= 1}.

3. DansR³, on note les vecteursu =





 x y z







. Soit P le plan vectoriel d’équation x+2y+3z=0. Soiente₁,e₂,e₃les vecteurs de la base canonique deR³^{, et}^H^le plan vectoriel engendré pare₁ete₂, etH⁰le plan vectoriel engendré pare₁ete₃.

1- Donner un vecteuruengendrant l’intersectionH^TP.

2- Donner un vecteurvengendrant l’intersectionH⁰^TP.

3- On posew=e₃.

4- Montrer explicitement quee₁,e₂ete₃sont combinaison lin´eaire deu,vetw.

5- En déduire que tout vecteur dea deR³ est combinaison linéaire deu,v et w. Donner une formule explicite en fonction des coordonnées (x,y,z) du vecteura.

4. Soite₁,e₂,e₃la base canonique deR³^{. Soient}^u=2e₁,v=e₁+3e₂,w⁰ = −4e₁+ 3e₂−6e₃,w=2e₁+e₂+2e₃.

1- Montrer quew⁰est combinaison lin´eaire dewet dev.

2- A quoi est ´egal le planPengendr´e paruetv?

3- Donner une ´equation du planQengendr´e parvetw.

4- Donner une équation du plan P⁰ parallèle à P et passant par le point de coordonnées(1, 2, 3), et du planQ⁰parallèle àQet passant par(1, 2, 3). 5- Montrer quewn’appartient pas à P. Exprimer chaquee_i pouri ∈ {1, . . . 3}

comme combinaison lin´eaire deu,vetw.

1

(2)

6- Donner une formule en fonction des coordonn´ees(x,y,z)d’un vecteurude R³qui exprime ce vecteur comme combinaison lin´eaire deu,vetw.

5. SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels deRⁿ. On suppose queF^SGest un sous-espace vectoriel deRⁿ. Montrer queF⊂ Gou alorsG⊂F.

6. Montrer queC^{est un}R-espace vectoriel et queR^{est un}Q-espace vectoriel. Soit R={z|∃λ∈R|z=λz}.

Quels sont les ´el´ements deR? Soitz 6∈R, montrer alors que l’on a C=R^z

M

R^z.

7. SoientI = [a,b]un segment deR^,^E^leR-espace vectoriel des fonctions continues deI →R^{. Soit}^c∈ I.

1- Soit F = {f ∈ E|f(c) =0}. Montrer queF est un sous-espace vectoriel de E.

2- SoitH={f ∈E|f(c) =1}. Est-ce queHest un sous-espace vectoriel deE? 3- SoitK={f ∈E|f(c)≥0}. Est-ce queKest un sous-espace vectoriel deE? 8. SoitU l’espace vectoriel des suites `a valeurs dansC^{. Soient}^a,^b ∈ C\{0}. On

noteU_a,bl’ensemble des suites v´erifiant la relation de r´ecurrence un+2= aun+bun+1.

Montrer queU_a,best un sous-espace vectoriel deU, non réduit à 0, c’est-à-dire à la suite constante égale à 0.

9. Soite₁,e₂,e₃ la base canonique deE = R³. Soient u = 2e₁, v = e₁+3e₂, w⁰ =

−4e₁+3e₂−6e₃,w=2e₁+e₂+2e₃.

1- Montrer quew⁰est combinaison lin´eaire dewet dev.

2- A quoi est ´egal le planPengendr´e paruetv? 3- Trouver un vecteuredeE, tel que

E=P^MR·e.

Ecrire la d´ecomposition obtenue des vecteurse₁,e₂,e₃ en fonction d’un vecteur dePet de la droiteD=R·e.

10. Soit E = C⁰([0, 1], qui est unR-espace vectoriel. R´epondez par oui ou par non aux assertions suivantes, en justifiant votre r´eponse.

1- SoitF₁= f ∈ E|f² = f . Est-ce queF₁est unR-espace vectoriel ? 2- SoitF₂= {f ∈ E|f(1) =0}. Est-ce queF₂est unR-espace vectoriel ? 3- SoitF₃= ⁿf ∈E| ^R₀¹ f(t)dt=0o

. Est-ce queF₃est unR-espace vectoriel ? 2

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4- E=R^L^F3. 5- E=R^L^F2.

11. Soit Eest l’espace vectoriel M₂(C)etα ∈Cnon nul, on note Sα l’ensemble des matricesMtelles que M=α^tM, o `u^tMest la matrice transpos´ee deM.

1- Montrer que Eα est un sous-espace vectoriel de M₂(C)et que si M ∈ Eα, alors^tM∈ Eα.

2- Montrer queEα est r´eduit `a 0 sauf siα= 1 ouα=−1.

3- On note S le sous espace-vectoriel E₁ des matrices sym´etriques, A le sous espace vectoriel E−1 des matrices antisym´etriques. Montrer que A est une droite vectorielle et queM₂(C) =S^LA.

Enoncés tirés du CC, L1 algèbre S2 de 2014

12. R´epondez par oui ou par non aux assertions suivantes, en justifiant votre r´eponse.

1- Si, pour toutx ∈F,−x∈ FalorsFest un sous-espace vectoriel deE.

2- Si, pour tout(x,y)∈ F²,x+y∈ FalorsFest un sous-espace vectoriel deE.

3- SiFest un sous-espace vectoriel deEalors

pour toutn∈N^∗, pour tout(x₁,x₂, . . . ,x_n)∈Fⁿ,∑ⁿ_i₌₁x_i ∈F.

4- Si, pour tout a ∈ K, pour tout (x,y) ∈ F², x+y ∈ F alors F est un sous- espace vectoriel deE.

13. R´epondez par oui ou par non aux assertions suivantes, en justifiant votre r´eponse.

1- Si E = R[X] est l’espace vectoriel des polyn ômes à coefficients complexes alors l’ensemble des polyn ômes à coefficients complexes de degré 1 est un sous-espace vectoriel deE.

2- Si E est l’espace vectoriel des suites à valeurs réelles alors l’ensemble des suites à valeurs réelles croissantes est un sous-espace vectoriel deE.

3- SiEest l’espace vectorielM₂(C)alors l’ensemble des matricesMde la forme M= ^{a b}

c d

!

telles quead−bc=0 est un sous-espace vectoriel deE.

4- SiEest l’espace vectorielM₂(C)alors l’ensemble des matricesMtelles que a+d=0 est un sous-espace vectoriel deE.

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