Voir fiche de cours "Exponentielle 1", exercice 6 et aussi fiche d’exercices "Exponen- tielle : TICE" exercice 3

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Contrôle n˚1

Durée : 2 heures. Calculatrices autorisées.

I) 2 points

Voir fiche de cours "Exponentielle 1", exercice 6 et aussi fiche d’exercices "Exponen- tielle : TICE" exercice 3

L’idée est de faire des factorisations pour faire apparaître un facteur commun au nu- mérateur et au dénominateur, ce qui permettra de simplifier. Ces factorisations sont facilitées si on connaît d’avance ce qu’on doit obtenir :

2e

+ e

= e

(2e

x + 1) et 2e

+ 4e

= 2e

(1 + 2e

) Donc f (x) = e

2e

= 1

2 e

= 1 2 e

• Autre méthode : procéder par questions équivalentes et identification : Prouver 2e

+ e

2e

+ 4e

= ke

équivaut à prouver : 2e

+ e

= ke

(2e

+ 4e

) On développe et on cherche à identifier oiur trouver k et a :

2e

+ e

= 2ke

+ 4ke

4k = 2 ×2k, donc si on veut identifier ont peut poser 2k = 1 et 4k = 2, ce qui correspond à k = 1

2 .

Il faut alors identifier 2e

+ e

et e

+ 2e

. On peut alors choisir a − 2 = 1 et a + 1 = 4, ce qui donne a = 3.

• Autre méthode : si on sait d’avance que k = 1

2 et a = 3, il suffit de constater qu’on a bien l’égalité 2e

+ e

= e

+ 2e

• Autre méthode : on peut d’abord conjecturer k en donnant une valeur simple à x : Si x = 0, alors f (0) = · · · = 1

2 et d’autre part ke

= k. Donc nécessairement k = 1 2 . On continue alors par identification comme une méthode précédente.

• Autre méthode : écrire e

= 1

e

, on obtient f (x) = 2e

+ e

2(1 + 2e

) = e

(2e

+ 1) 2(1 + 2e

)

II) 4 points

C’est l’exercice 9 de la feuille "Dérivées et exponentielle : exemples"

Soit f (x) = x x − e

1. On étudie la fonction u(x) = e

− x − 1

u

(x) = e

− 1, positive pour x > 0 et négative pour x < 0 d’après le cours.

Donc u(x) > 0 car u admet un minimum en 0, avec u(0) = 0, donc e

− x − 1 > 0 .

De plus, cela prouve que x − e

6 −1, donc x − e

< 0, donc x − e

6= 0, et donc f est définie sur R car son dénominateur ne s’annule jamais.

2. f

(x) = (x − e

) − x(1 − e

)

(x − e

)

= e

(x − 1) (x − e

)

f

(0) = −1 et f (0) = 0, donc la tangente en 0 a pour équation y = −(x−0)+0 = −x La différence entre la courbe et sa tangente est f (x)−(−x) = · · · = −x(e

− x − 1)

x − e

. D’après ce qui précède, e

− x − 1 > 0 et x − e

< 0, donc l’expression est du signe de x.

Donc f (x) + x < 0 pour x < 0 et f (x) + x > 0 pour x > 0.

La courbe est d’abord en-dessous de sa tangente jusqu’en 0, puis elle passe au- dessus : elle traverse sa tangente en 0, ce qu’on vérifie sur la courbe :

−1 0 1

III) 4 points

Voir la fiche de cours : "Exponentielle : fonctions composées", exercice 3.

a) On pose h(x) = f (x)

x dans le but de montrer que h(x) = 1.

On applique la formule de dérivée d’un quotient et la formule de dérivée de e

:

h

(x) = f

(x)e

x − e

x

pour x > 0.

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On remplace f

(x) par 1

x (d’après l’énoncé), donc f

(x)x = 1.

Donc h

(x) = e

− e

x

= 0.

Donc h est constante sur ]0; +∞[ . Quelle est la valeur de cette constante ? On calcule une valeur particulière, par exemple h(e) : h(e) = e

e = e

e = e

e = 1.

Donc h est constante et vaut 1 : e

x = 1, donc e

= x pour tout x > 0.

D’après ce qui précède e

= 2, donc f (2) = ln(2) . b) Voir feuille : "Fonctions composées : exemples", exercice 6

g est dérivable sur ]0; +∞[ (quotient de fonctions dérivables, avec dénomina- teur x / =0).

g

(x) = f

(x)x − f (x)

x

. Or f

(x) = 1

x , donc g

(x) = 1 − f (x) x

.

On sait que f (e) = 1 et que f est strictement croissante (puisque sa dérivée est f

(x) = 1

x > 0 sur ]0; +∞[).

Donc f (x) < 1 pour 0 < x < e et f

(x) > 1 pour x > e.

Donc g

(x) > 0 pour 0 < x < e et g

(x) < 0 pour x > e. Donc g est croissante sur ]0; e] et décroissante sur [e; +∞[, donc g admet un maximum en e .

IV) 4 points

a) Voir cours.

On peut l’écrire de deux façons différentes : f (x) ≈ f (a) + f

(a)(x − a) pour x voisin de a ou f (a + h) ≈ f (a) + f

(a)h pour h voisin de 0.

On peut choisr par exemple f (x) = √

x et a = 1.

f

(x) = 1 2 √

x , donc f

(1) = 1 2

Donc √

1 + h ≈ 1 + h

2 pour h voisin de 0 . On aurait pu aussi choisir f(x) = √

1 + x avec a = 0.

b) Voir Dérivées : utilisation des TICE, exercice 1

e(h) = h

2 + 1 − √

1 + h = · · · =

1 4 h

1

2 h + 1 + √ 1 + h

Sur cette forme, on peut déjà affirmer que e(h) > 0 pour h > 0 (numérateur et dénominateur sont positifs).

Comme h > 0, 1 + h > 1 et donc √

1 + h > √

1 (car la fonction racine est croissante). Donc on a 1

2 h + 1 + √

1 + h > 2.

Donc (règle sur les inverses, h

> 0) : e(h) 6 1 4 h

2 , soit e(h) 6 1 8 h

V) 6 points

1. Voir fiche de cours : "Exponentielle : fonctions composées", exercice 5.

g(x) = exp(x) exp(−x) − exp(x) exp(−x) = 0 (produit, exponentielle composée).

Donc g est constante. Cette constante vaut g(0) = exp(0) exp(0) = 1

= 1.

Donc g(x) n’est jamais nulle et par suite exp(x) n’est jamais nulle . 2. Voir feuille : "Problématique de l’exponentielle : exemples", exercice III.2

Par dérivation d’une fonction composée : f

(x) = exp

(−x) × (−1)

2 p

exp(−x) = − exp(−x) 2 p

exp(−x) = −

p exp(−x)

2 = − f (x)

2 (penser à simplifier a

√ a = √ a)

En dérivant encore une fois : f

(x) = − f

(x) 2 = − 1

2

− f (x) 2

= f (x) 4 3. Même genre d’idée que dans la fiche de cours "Exponentielle 1", exercice 5

F

(x) = 1 2 f

x

2

= 1 2

2f x

2

+ 2

= f x 2

+ 1 = F (x) D’autre part F (0) = f (0) + 1 = 0 + 1 = 1.

Donc F vérifie les deux propriétés qui définissent la fonction exponentielle de ma- nière unique, donc F (x) = e

.

Donc f x 2

= F (x) − 1 = e

− 1.

Il faut ensuite se ramener à f (x). L’idée est que x est la moitié de 2x, donc si on applique la propriété à 2x :

f (x) = f 2x

2

= F (2x) − 1 = e

− 1 .