Applications de la dérivation formelle en fréquence d'une formulation intégrale basée sur la réaction de Rumsey pour l'étude de sources
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Texte intégral
(2) $33/,&$7,216'(/$'(5,9$7,21)250(//((1)5(48(1&(' 81( )2508/$7,21,17(*5$/(%$6((685/$5($&7,21'(5806(< 3285/ (78'('(6285&(6 3LHUUH'XERLV-HDQ3LHUUH'DPLDQR&ODXGH'HGHEDQ-HDQ3DXO=ROpVLR )UDQFH7HOHFRP5 ')RUWGHOD7rWHGH&KLHQ/D7XUELH±)UDQFH. /DERUDWRLUHG¶(OHFWURQLTXH$QWHQQHVHW7pOpFRPPXQLFDWLRQV8QLYHUVLWpGH1LFH6RSKLD$QWLSROLV 805&156UXH$OEHUW(LQVWHLQ9DOERQQH±)UDQFH. &156±,15,$3URMHW23$/(5RXWHGHV/XFLROHV9DOERQQH)UDQFH. Abstract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ésumé /DUpVROXWLRQGHVSUREOqPHVGHGLIIUDFWLRQHWGHUD\RQQHPHQWSDUpOpPHQWVILQLVRXSDUXQH PpWKRGHGHVPRPHQWVGDQVOHGRPDLQHVSHFWUDOVXUXQHEDQGHGHIUpTXHQFHHVWFRQVRPPDWULFH GH WHPSV GH FDOFXO SXLVTX¶LO HVW QpFHVVDLUH G¶H[pFXWHU OH PRGqOH DXWDQW GH IRLV TX LO \ D G pFKDQ WLOORQVHQIUpTXHQFH1RWUHREMHFWLIHVWGHGpWHUPLQHUOHVYDOHXUVGHVIOX[GHFRXUDQWjODVXUIDFHGH O DQWHQQHVXUWRXWH XQHEDQGHGHIUpTXHQFHHQ QHFRQQDLVVDQWFHX[FLTX¶HQ XQ QRPEUHOLPLWp GH SRLQWV$XVVLQRXVSURSRVRQVXQHPpWKRGHRULJLQDOHEDVpHVXUODFRQQDLVVDQFHIRUPHOOHGHVH[SUHV VLRQVGHVGpULYpHVGHVIOX[pYDOXpHVDX[IUpTXHQFHVGpVLUpHV8QHLQWHUSRODWLRQSDUWLFXOLqUHGHW\SH SRO\QRPLDOWHQDQWFRPSWHGHFHVGpULYpHVDpWpPLVHHQRHXYUHDYHFVXFFqV. Introduction 1RWUHREMHFWLIHVWODGpWHUPLQDWLRQGHVIOX[GHVFRXUDQWVjODVXUIDFHG XQHDQWHQQHVXUWRXWH XQHEDQGHGHIUpTXHQFHFRQQDLVVDQWFHX[FLHQXQQRPEUHOLPLWpGHSRLQWV&HVFDOFXOVVRQWDVVXUpV SDUXQFRGHEDVpVXUXQHIRUPXODWLRQLQWpJUDOHGLVFUpWLVpHSDUGHVpOpPHQWVILQLVVXUIDFLTXHV65' )UDQFH 7pOpFRP
(3) /¶RULJLQDOLWp GH QRWUH DSSURFKH HVW GH FRQQDvWUH IRUPHOOHPHQW OHV GpULYpHV GHV IOX[GHVFRXUDQWV>@SDUUDSSRUWjODIUpTXHQFHHQFKDFXQGHVSRLQWVGHWHVWHWGHSRXYRLUOHVFDO FXOHUDYHFH[DFWLWXGHGDQVOHVOLPLWHVQXPpULTXHVGHVPDFKLQHV1RXVDYRQVOLPLWpjO¶RUGUHGHX[ FHVGpULYpHV1RXVSUHQRQVDLQVLHQFRPSWHOHVSKpQRPqQHVSK\VLTXHVUpHOVTXLVHSURGXLVHQWHWHQ GpGXLVRQVSDUOHVpTXDWLRQVDGpTXDWHVOHVH[SUHVVLRQVGpULYpHVGHVIOX[TXLVRQWLQWURGXLWHVGDQV OHPRGqOH 'DQV O¶HQVHPEOH GHV SXEOLFDWLRQV WUDLWDQW GX VXMHW GH OD GpULYDWLRQ HQ IUpTXHQFH GRQF GH O¶LQWHUSRODWLRQ HQ IUpTXHQFH LO H[LVWH GHV FRQVLGpUDWLRQV pPHUJHDQWHV LPSRUWDQWHV j UHWHQLU >@ 'DQVOHFDVG DSSUR[LPDWLRQVSRO\QRPLDOHVQHSUHQDQWSDVHQFRPSWHOHVGpULYpHVGHVTXDQWLWpVj GpWHUPLQHUGHWUqVQRPEUHX[WUDYDX[RQWpWpSXEOLpV>@,OUHVVRUWTXHOHVDSSUR[LPDWLRQVSRO\ QRPLDOHVGHVFKDPSVUD\RQQpVGHO¶LPSpGDQFHG¶HQWUpHHWFHQIRQFWLRQGHODIUpTXHQFHVRQWSOXV ILDEOHVVLO¶RQGpFRPSRVHOHVLJQDOLQFRQQXVRXVODIRUPHGHIRQFWLRQVUDWLRQQHOOHV>@'HVDXWHXUV >@FKHUFKHQWjGpWHUPLQHUDXPLHX[OHGHJUpGHVIRQFWLRQVG LQWHUSRODWLRQ&HUWDLQVXWLOLVHQWGHV GpYHORSSHPHQWVGH7D\ORU> @GHVGpFRPSRVLWLRQVVXLYDQWGHVEDVHVGHSRO\Q{PHVG +HUPLWH> @GHW\SH/DJUDQJH>@RXGHPpWKRGHGHVGLIIpUHQFHVLQYHUVHV>@O DOJRULWKPHGH&DXFK\ >@GHVPpWKRGHVGHW\SHPpWKRGHGHVPRPHQWV>@HWF&HSHQGDQWXQHDSSURFKHSRO\QR PLDOHWHQDQWFRPSWHGHVGpULYpHVGXVLJQDODX[SRLQWVG¶pFKDQWLOORQQDJHGRQQHGHWUqVERQVUpVXO WDWV>@FDUO¶LQIRUPDWLRQVXUOHFRPSRUWHPHQWGHVGpULYpHVHVWDORUVFRQWHQXGDQVOHVGRQQpHV.
(4) 1RXVSUpVHQWRQVFLDSUqVO DQDO\VHGHVWUXFWXUHVDYHFFHWWHWHFKQLTXHG LQWHUSRODWLRQGRQF EDVpHVXUODFRQQDLVVDQFHGHODIRUPXODWLRQH[DFWHGHVGpULYpHVGHVTXDQWLWpVjpYDOXHU. Support théorique /HVFRXUDQWVpOHFWULTXHHWPDJQpWLTXHVXUOHVVXUIDFHVOLPLWDQWOHVVRXVGRPDLQHVGHODVWUXF WXUHYpULILHQWOHV\VWqPHYDULDWLRQQHOVXLYDQW : N. N. ∑. 2 t t t t k l µ Q S , j, j + -------- Q S , p, pj – P S , j, p – P S , p, j = µ Sl t Sl t Sl t rl S t rl l. –. ∑ °∫. i i E ( x ) ⋅ j t – H ( x ) ⋅ p t ⋅ ds ( x ) l l . l = 1 Sl. l=1. R6/UHSUpVHQWHODVXUIDFHGHIURQWLqUHGXGRPDLQHKRPRJqQHGLpOHFWULTXH/MHWSOHVYHFWHXUVGLV WULEXWLRQVGHFRXUDQWpOHFWULTXHHWPDJQpWLTXHHWMWHWSWOHVYHFWHXUVGHWHVWDVVRFLpV t Q S , j, j = Sl t. °∫ °∫ °∫ °∫. t t G (x,y) ⋅ j ( y ) ⋅ j ( x ) – div j ( y ) ⋅ div j ( x ) ⋅ ds ( y ) ds ( x ) sl st l t. S t Sl t t P S , j, p = [ grad ( G (x,y) ) × j ( y ) ] ⋅ p ( x ) ⋅ ds ( y ) ds ( x ) Sl t x l t St S l /HV VXUIDFHV 6/ OLPLWDQW OHV VRXVGRPDLQHV VRQW LFL PDLOOpHV SDU GHV pOpPHQWV WULDQJXODLUHV 3RXU FKDTXHWULDQJOHRQDXUDGHJUpVGHOLEHUWpSXLVTXHFHVFRXUDQWVVHGpYHORSSHQWGDQVODEDVHDVVR FLpHDXWULDQJOH/HVLQFRQQXHVVRQWOHVIOX[GHVFRXUDQWVVXUOHVDUrWHV,OVVRQWOLpVDX[FRXUDQWV SDUXQFKDQJHPHQWGHEDVH2QREWLHQWDLQVLODIRUPHGLVFUpWLVpHGXSUREOqPH n n n t t ∂ ∂ 2 t ∂ Q S S t, j, j , k l Q S S t, j, j HW /HVH[SUHVVLRQVGHVGpULYpHV P S S t, j, j RQWpWpREWH n l n n l l ∂ω ∂ω ∂ω QXHVSDUFDOFXOIRUPHOMXVTX¶jO¶RUGUH>@/HVH[SUHVVLRQVFURLVVHQWHQFRPSOH[LWpPDLVODVLQJX ODULWp GHV QR\DX[ GpULYpV QH SHXW rWUH SOXV IRUWH TXH FHOOH QR\DX RULJLQHO /H WUDLWHPHQW GHV VLQJXODULWpVQpFHVVDLUHDXFDOFXOQXPpULTXHGHVLQWpJUDOHVSHXWrWUHUHSULVGDQVOHSURJUDPPHRULJL QDOPDLVOHVWHUPHVUpJXOLHUVQpFHVVLWHQWGHVGpYHORSSHPHQWVVSpFLILTXHV1RXVDYRQVPRQWUp>@ TXH OHV FRXUDQWV GpULYpV VRQW VROXWLRQV GHV pTXDWLRQV GpULYpHV SDU DGDSWDWLRQ GX WKpRUqPH GHV IRQFWLRQV LPSOLFLWHV V¶DSSX\DQW VXU O¶LVRPRUSKLVPH GH &ROWRQ.UHLVV TXL QpFHVVLWH GHV IURQWLqUHV j FRXUEXUHFRQWLQXH7RXWHIRLVOHVpTXDWLRQVGpULYpHVVRQWWRXMRXUVELHQSRVpHVO¶RSpUDWHXUpWDQWOH PrPHTXHFHOXLGXSUREOqPHLQLWLDO. Analyse 1RXVDYRQVFKRLVLGHUpDOLVHUXQHLQWHUSRODWLRQGHW\SHSRO\QRPLDO(OOHFRQVLVWHjFKHUFKHU XQH YDOHXU DSSURFKpH G XQH IRQFWLRQ FRQWLQXH I [
(5) HQ WRXW SRLQW [ ORUVTX RQ OD FRQQDvW VHXOHPHQW VRXV IRUPH G XQH GLVWULEXWLRQ I [L
(6) DYHF OD FRQQDLVVDQFH GHV YDOHXUV GHV GpULYpHV VXFFHVVLYHV DX[ SRLQWV[L&HVGpULYpHVG¶RUGUHHWVRQWFDOFXOpHVGLUHFWHPHQWjSDUWLUGHVpTXDWLRQVGpFULYDQWOH SKpQRPqQHSK\VLTXHG¶RXQJDLQG¶LQIRUPDWLRQjODIRLVRULJLQDOHWVU *pQpUDOHPHQW XQH IRQFWLRQ GRQW OHV GpULYpHV FKDQJHQW UDSLGHPHQW RX TXL SUpVHQWHQW GHV GLVFRQWLQXLWpVGDQVVHVGpULYpHVG RUGUHIDLEOHHVWPLHX[GpFULWHSDUXQSRO\Q{PHGHGHJUpIDLEOH/D PDWULFHVHUYDQWjFDOFXOHUOHVGpULYpHVGHVIOX[HVWLGHQWLTXHjODPDWULFHGXSUREOqPHHOOHHVWIDFWR ULVpHXQHVHXOHIRLV 1RXVFKHUFKRQVDLQVLXQHDSSUR[LPDWLRQGHODIRUPH DD [D [D [D [D [ HWQRXVVRPPHVFRQGXLWVjUpVRXGUHXQV\VWqPHGHODIRUPH $; %R$HVWODPDWULFHGHV YDOHXUVGHVDEVFLVVHV[LHWVHVSXLVVDQFHVODPDWULFH%HVWFRQVWLWXpHGHVYDOHXUVGHODTXDQWLWpHW GHVHVGpULYpHVG RUGUHVHWDX[SRLQWVGHWHVW;UHSUpVHQWHOHYHFWHXUGHVFRHIILFLHQWVDL 1RXVSUpVHQWRQVGHVUpVXOWDWVGHFDOFXOGDQVOHFDVG¶XQHVSKqUHPpWDOOLTXHHQXWLOLVDQWGHV GpYHORSSHPHQWVOLPLWpVDX[HUHWqPHRUGUH,OVMXVWLILHQWTXHODSULVHHQFRPSWHGHVGpULYpHVGHV IOX[GHFRXUDQWSHUPHWG¶REWHQLUGHVUpVXOWDWVWUqVVDWLVIDLVDQWV1RXVDYRQVDXVVLWHVWpXQHVRXUFH.
(7) GRQWOHVFDOFXOVRQWpWpHIIHFWXpVj HW*+]/¶LQWHUSRODWLRQSRO\Q{PLDOHj *K]GRQQHGHWUqV ERQVUpVXOWDWVFRPSDUDLVRQVjFHX[FDOFXOpVSDU65'8QHpYDOXDWLRQGHO¶HUUHXUFRPPLVHGDQVOH FDVG¶XWLLOLVDWLRQGHGHYHORSSHPHQWVOLPLWpVHWGHO¶LQWHUSRODWLRQPRQWUHTXHFHWWHGHUQLqUHHVWWUqV SHUIRUPDQWHHWPpULWHG¶rWUHH[SORLWpH . FDOFXOj *+]. *+]. *+]. GpYHORSSHPHQWDXHURUGUH. GpYHORSSHPHQWDX qPHRUGUH. 6SKqUHPpWDOOLTXHIUpTXHQFHGHFDOFXO *+]. FDOFXOpj *+]. LQWHUSROpj *+]. 6RXUFHDX[IUpTXHQFHVGHFDOFXO HW*+] GHJUpVGHOLEHUWp
(8). 2 10 ∆I ⁄ I. 2 10 ∆I ⁄ I premier ordre deuxième ordre. 2 10 ∆f ⁄ f. Erreur quadratique relative sur le tableau des courants LQWHUSRODWLRQ. 2 10 ∆f ⁄ f. Erreur quadratique relative sur le tableau des courants GpYHORSSHPHQWOLPLWp.
(9) Conclusion 1RXV DYRQV SUpVHQWp XQH WHFKQLTXH RULJLQDOH G LQWHUSRODWLRQ SRO\QRPLDOH EDVp VXU OD FRQ QDLVVDQFHIRUPHOOHGHVGpULYpHVGHVIOX[GHFRXUDQWjODVXUIDFHG XQHDQWHQQH&HFLDPRQWUpGH WUqVERQVUpVXOWDWV8QSHWLWQRPEUHGHIUpTXHQFHVHVWDORUVVXIILVDQW/HVH[SUHVVLRQVSRO\QRPLDOHV REWHQXHVSHXYHQWrWUHLQFOXVHVGDQVXQPRGqOHGHFRQFHSWLRQG DQWHQQHV 5pIpUHQFHV >@. -30DUPRUDW-3=ROpVLR5DSSRUW&RQWUDW)UDQFH7HOHFRP5 'VHSWHPEUH. >@. 3 'XERLV 'pULYDWLRQV GHV IOX[ pOHFWULTXHV HW PDJQpWLTXHV SDU UDSSRUW j OD SXOVDWLRQ (FROH GHV 0LQHV GH 3DULV 6RSKLD $QWLSROLV(6,/9. >@. 3 5DWDMF]DN 3 %UDFKDW -/ *XLUDXG 5LJRURXV DQDO\VLV RI WKUHHGLPHQVLRQDO VWUXFWXUHV LQFRUSRUDWLQJ GLHOHFWULFV ,((( 7UDQV YRO$3QSS. >@. -3 'DPLDQR * *KLR ³&RPSXWHU $OJHEUD 6\VWHPV DSSOLHG WR VRPH HOHFWURPDJQHWLF SUREOHPV´ $QQDOHV GHV 7pOpFRPPXQLFDWLRQV YROQSS. >@. $ =DNKRU * $OYVWDG ³7ZRGLPHQVLRQDO SRO\QRPLDO LQWHUSRODWLRQ IURP QRQXQLIRUP VDPSOHV´ ,((( 7UDQVDFWLRQV RQ 6LJQDO 3URFHVVLQJ 9ROQ . >@. '+:HUQHU5-$OODUG7KH6LPXOWDQHRXV,QWHUSRODWLRQRI$QWHQQD5DGLDWLRQ3DWWHUQVLQ%RWKWKH6SDWLDODQG)UHTXHQF\ 'RPDLQV8VLQJ0RGHO%DVHG3DUDPHWHU(VWLPDWLRQ,(((7UDQVDFWLRQVRQ$QWHQQDVDQG3URSDJDWLRQYROQR . >@. 6 1DUD\DQD 7 . 6DUNDU 5 $GYH 0 :LFNV 9 9DQQLFROD $ &RPSDULVRQ RI 7ZR 7HFKQLTXHV IRU WKH ,QWHUSRODWLRQ ([WUDSRODWLRQRI)UHTXHQF\'RPDLQ5HVSRQVHV'LJLWDO6LJQDO3URFHVVLQJYROQ
(10) . >@. 60 1DUD\DQD * 5DR 5 $GYH 7. 6DUNDU 9& 9DQQLFROD 0& :LFNV 6$ 6FRWW ,QWHUSRODWLRQ([WUDSRODWLRQ RI )UHTXHQF\'RPDLQ5HVSRQVHV8VLQJWKH+LOEHUW7UDQVIRUP,(((7UDQVDFWLRQVRQ0LFURZDYH7KHRU\DQG7HFKQLTXHV YROQ. > @. &-5HGG\0''HVKSDQGH³)UHTXHQF\UHVSRQVHFDOFXODWLRQVRILQSXWFKDUDFWHULVWLFVRIFDYLW\EDFNHGDSHUWXUHDQWHQQDV XVLQJ$:(ZLWKK\EULG)(00R0WHFKQLTXH´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³8VH RI IUHTXHQF\GHULYDWLYH LQIRUPDWLRQ LQ WZRGLPHQVLRQDO HOHFWURPDJQHWLF VFDWWHULQJ SUREOHPV´ ,(( 3URFHHGLQJV3DUW+ YROQ$XJXVW .
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