(L’entier est une période de la suite ).

MATHÉMATIQUES I

On dit qu’une suite réelle est ultimement périodique lorsqu’elle est périodique à partir d’un certain rang, c’est-à-dire s’il existe

et tels que :

, .

(L’entier est une période de la suite ).

On note l’ensemble des suites ultimement périodiques de réels.

L’objet du problème est d’étudier quelques propriétés élémentaires de ces suites et le caractère ultimement périodique éventuel de suites simples.

Partie I -

I.A - Montrer que est un sous espace vectoriel de l’espace des suites réelles. Est-il de dimension finie ?

I.B - Soit un élément de et l’ensemble des entiers tels que la suite admette pour période à partir d’un certain rang.

I.B.1) Montrer qu’il existe un entier (que l’on appellera la période de ) tel que :

.

Que peut-on dire de la suite lorsque ?

I.B.2) Montrer qu’il existe un plus petit entier tel que : ,

Montrer que, pour tout , est le plus petit entier à partir duquel la suite devient -périodique. Combien de paramètres réels suffisent à définir parfaitement ?

I.C - Soit un élément de .

I.C.1) Montrer que est bornée et que le rayon de convergence de la série entière est strictement positif. À quelle condition nécessaire et suffi- sante est-il égal à ? Que vaut-il sinon ?

I.C.2) Montrer que la somme de cette série est une fraction rationnelle. Dans quel cas est-ce un polynôme ?

a = ( ) a _{n n ∈ IN}

n ₀ ∈ IN p ∈ IN∗

( R ) ∀ n ∈ IN n ≥ n ₀ ⇒ a _{n + p} = a _n

p ( ) a _{n n n}

≥

UP

UP IR ^IN

a = ( ) a _{n n ∈ IN} UP P ^{( ) a p} ≥ ¹

a p

T ≥ 1 a

P ^{( ) a} = ^IN∗T = { ^{kT k} , ∈ ^IN∗ }

T = 1

n ₀

∀ n ∈ IN n ≥ n ₀ ⇒ a _{n + T} = a _n p ∈ P ^{( ) a} n ₀ a _n

( ) _{n ∈ IN} p

a

a = ( ) a _{n n ∈ IN} UP

a R _a

a _n x ⁿ

R _a ∑ + ∞

Filière PC

I.D - Soit une série entière de rayon de convergence , dont la somme est la restriction à d’une fraction rationnelle.

La suite est-elle ultimement périodique ?

Partie II -

II.A - Exemple 1

On définit la suite par :

, et ,

et la suite par si est pair et sinon. La suite est-elle ultimement périodique ?

Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière . II.B - Exemple 2

On définit maintenant la suite par :

et , et .

II.B.1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière . On note sa somme.

II.B.2) Trouver une relation liant et . En déduire que, pour tout , ,

.

II.B.3) Étudier, pour donné dans ,

et en déduire que n’est pas ultimement périodique.

II.C - Exemple 3

Soit un rationnel strictement positif, donné sous forme irréductible.

On définit deux suites d’entiers et par : a _n x ⁿ

∑ ^{R > 0}

] – R , R [ a _n

( ) _{n ∈ IN}

F _n ( ) _{n ∈ IN}

F ₀ = 0 F ₁ = 1 ∀ n ∈ IN F _{n + 2} = F _{n + 1} + F _n a _n

( ) _{n ∈ IN} a _n = 0 F _n a _n = 1

a _n ( ) _{n ∈ IN}

a _n x ⁿ

∑

a _n ( ) _{n ∈ IN}

a ₀ = 1 ∀ n ∈ IN a _2n = a _n a _{2n + 1} = – a _n

a _n x ⁿ

∑

S

S x ( ) S x ( ² ) x x ∈ ] 1 – , 1 [

S x ( ) 1 x ²

( )

( – )

k = 0

∏ n n lim → +∞

=

n IN

S x ( ) 1 – x ( ) ⁿ ---

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

x → 1

lim

a _n ( ) _{n ∈ IN}

x = a b ⁄

r _n

( ) _{n ∈ IN} ( ) d _{n n ∈ IN}

• (partie entière) et est le reste de la division euclidienne de par .

• pour tout , (resp. ) est le reste (resp. le quotient) de la division euclidienne de par .

II.C.1) Dans cette question (uniquement), . Déterminer .

II.C.2) Montrer que la suite est ultimement périodique. Qu’en est-il

de ?

II.C.3) Montrer que, pour tout , . II.C.4) Établir l’égalité :

Partie III -

Le but de cette partie est de montrer que le réel n’est pas un élément de . est l’espace des fonctions de classe de dans lui-même.

Pour tout élément de , on note l’application de dans définie par : , .

III.A - L’application de qui à tout élément associe est notée . Vérifier que est une application linéaire de dans .

III.B - On considère dans cette question un élément de supposé borné sur

et on note .

III.B.1) Montrer que, pour tout de ,

III.B.2) On définit une suite d’éléments de par et, pour tout de , .

Montrer que, pour tout de et tout de , .

III.B.3) Soit un segment quelconque de . Montrer que pour tout , est

bornée sur et .

d ₀ = E x ( ) r ₀ a

b

n ≥ 1 r _n d _n 10 ⋅ r _{n – 1} b

x = 22 7 ⁄ d ₀ , , , d ₁ … d ₁₀

r _n ( ) _{n ∈ IN} d _n

( ) _{n ∈ IN}

n ∈ IN∗ 0 ≤ d _n ≤ 9

x E x ( ) d _n 10 ^{– n}

n = 1 +∞ ∑

+

=

π emb

E = C ^∞ ( IR IR , ) C ^∞ IR

f E F IR IR

x ∈ IR

∀ F x ( ) t f t ( ) d t

0

∫ x

=

E f F L

L E E

f E

IR M = f _{∞ , IR} = sup _{x ∈ IR} f x ( ) x IR

F x ( ) M x ² --- 2

≤

E f ₀ = f n IN

f _{n + 1} = L f ( _n )

n IN∗ x IR

f _n ( ) x x ²ⁿ 2.4 … 2n --- M

≤

I IR n f _n

I sup

x ∈ I f _n ( ) x

( )

n → lim +∞ = 0

III.C - On prend maintenant dans cette question et dans les suivantes , et on considère la suite de fonctions définie comme dans la question précédente.

III.C.1) Déterminer les fonctions et .

III.C.2) Montrer que, pour tout de et tout de , .

III.D - Pour , on note le sous-espace vectoriel de formé des fonc- tions polynômes de degré au plus .

III.D.1) On définit : :

Vérifier que est un automorphisme de .

III.D.2) On désigne par l’ensemble des fonctions paires de , par celui des fonctions impaires.

Montrer que .

III.D.3) On considère la suite de fonctions définie dans la question III.C. Montrer que pour tout de , il existe un couple unique de fonctions et de , paire et impaire, telles que :

, . Déterminer et pour .

III.D.4) Montrer que, pour tout et tout , .

En déduire que les fonctions sont des polynômes à coefficients entiers.

III.E - On suppose ici que le réel est élément de , ensemble des nombres rationnels.

Soit donc élément de et élément de tels que . III.E.1) Montrer que la suite

est une suite d’entiers. Quelle est sa limite ? III.E.2) En déduire que n’est pas rationnel.

f = sin

f ₁ f ₂

n IN∗ x IR

f _{n + 1} ( ) x = ( 2n + 1 ) f _n ( ) x – x ² f _{n – 1} ( ) x

p ∈ IN F _p E

p

H F _p × F _p → F _p × F _p P Q

( , ) a ( P ′ – Q , P + Q ′ )

H F _p × F _p

S F _p A

H S ( × A ) = A × S

f _n ( ) _{n ∈ IN}

n IN P _n

Q _n F _n P _n Q _n x ∈ IR

∀ f _n ( ) x = P _n ( ) x sin x + Q _n ( ) x cos x P _n Q _n n = 0 1 2 , ,

n ∈ IN∗ x ∈ IR P _{n + 1} ( ) x = ( 2n + 1 ) P _n ( ) x – x ² P _{n – 1} ( ) x

P _n

π emb

p ZZ q IN∗ π = p q ⁄

( ) 2q ⁿ P _n π 2 ---

⎝ ( ) ⎠

⎛ ⎞

n ∈ IN

π

Partie IV -

Soit la suite définie par, pour tout de , si , sinon.

Le but de cette partie est d’étudier si cette suite à valeurs entières est élément de .

IV.A - On suppose que cette suite est ultimement périodique.

IV.A.1) Montrer qu’il existe un entier et un entier strictement positif tels que, pour tout entier supérieur ou égal à , le signe de soit constant.

IV.A.2) En déduire que la suite est composée de réels stricte- ment positifs à partir d’un certain rang.

IV.B - Soit .

IV.B.1) Montrer que est un sous-groupe additif de . Existe-t-il tel

que ?

IV.B.2) On pose (ensemble des éléments strictement positifs de ). Montrer que possède une borne inférieure .

IV.B.3) On suppose . Montrer que .

IV.B.4) n’est donc pas élément de . Supposant , montrer que l’on peut trouver deux éléments et de tels que . En déduire

. IV.C -

IV.C.1) Montrer que, pour tout , il existe tel que . IV.C.2) Soit un réel.

Construire une suite d’éléments de convergeant vers . IV.D -

IV.D.1) Montrer l’existence d’une suite d’entiers positifs telle que la

suite converge vers .

Montrer que l’ensemble des termes de cette suite n’est pas de cardinal fini.

IV.D.2) Construire alors une suite strictement croissante extraite de telle que la limite de soit .

IV.D.3) La suite est-elle ultimement périodique ?‘

••• FIN •••

a _n

( ) _{n ∈ IN} n IN a _n = 1 sin n > 0 a _n = 0

UP

N T

k N sin ( kT )

( kT ) ( cos ) k ∈ IN

G = ZZT + 2 π ZZ = { nT + 2k π , ( , ) n k ∈ ZZ ² }

G IR a ∈ IR

G = aZZ

G ⁺ = G ∩ IR ^+*

G G ⁺ a

a ∈ G ⁺ G = aZZ

a G ⁺ a > 0

g g ′ G ⁺ a < g ′ < < g 2a a = 0

n ∈ IN g _n ∈ G 0 < g _n < 10 ^{– n} x

G x

k _n ( ) _{n ∈ IN} k _n T

( )

( cos ) _{n ∈ IN} - 1 2 ( ⁄ ) k _n T

( )

cos n ∈ IN

{ , }

y _n ( ) _{n ∈ IN} k _n

( ) _{n ∈ IN} ( cos ( y _n T ) ) _{n ∈ IN} - 1 2 ( ⁄ ) a _n

( ) _{n ∈ IN}