Filière PC

MATHÉMATIQUES I

MATHÉMATIQUES I Filière PC

Notations

On note le segment de et l’espace préhilbertien complexe des fonc- tions continues sur à valeurs complexes muni du produit scalaire :

.

Pour tout nombre complexe n’appartenant pas à l’intervalle , on note l’unique nombre réel appartenant à l’intervalle tel que

.

Pour et ,

Questions préliminaires

a) Déterminer le développement en série entière au point de la fonction : ,

et préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.

b) Pour , on pose . Montrer que la fonction :

: , est définie sur .

c) Montrer que est une racine carrée de la fonction

, autrement dit, pour tout , .

d) Montrer que :

, . Que vaut lorsque ?

On pourra dorénavant noter pour .

I [– 11, ] IR E

I f g

( , )a(f g) f t( )g t( )dt

∫

=

z ]–∞, ]0

Arg( )z ]–π,π[

z = z e^{iArg( )z} n p

( , )∈IN² p≤n C_n^p n

⎝ ⎠p

⎛ ⎞ n!

p!(n–p)! ---

= =

0 ]–∞,1[→IR ^{x 1}

1–x --- a

n∈IN a_n 1

2²ⁿ --- 2n

⎝ ⎠n

= ⎛ ⎞

ϕ CI →CI z a_nzⁿ

n=0

∑

a Δ = {z∈CI z <1} ϕ

Δ→CI z 1 1–z ---

a z∈Δ (ϕ( )z )² 1 1–z ---

=

∀z∈Δ ϕ( )z 1 1–z ---e

i 2--- – Arg 1( –z)

= ϕ( )x x∈] 1– ,1[

ϕ( )z = (1–z)^–1⁄2 z∈Δ

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e) Cette question est indépendante des précédentes.

Pour tout entier naturel , prouver l’existence d’une fonction polynomiale telle que, pour tout réel , on a .

Partie I -

I.A - Montrer que, pour tout , la fonction

: , définie par :

est l’unique solution sur d’une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients polynomiaux prenant la valeur en . On donnera cette équation différentielle :

(E) : où et sont des polynômes unitaires en . I.B -

I.B.1) Vérifier que pour et on a , puis

où est une combinaison linéaire à coefficients positifs d’applications de la forme où . Préciser la valeur de .

I.B.2) Montrer que pour et , on a où est

un polynôme à coefficients réels.

I.B.3) Montrer que pour et , on a , puis que pour

et , (1)

avec convergence normale sur où .

I.B.4) Montrer que la suite vérifie , et pour , (2) I.B.5) Déterminer pour tout le degré et la parité de . Déterminer le coefficient dominant de , ainsi que et .

n H_n

θ H_n(cosθ) = cosnθ

t∈I

ψ_t ] 1– ,1[→IR xaf t x( , ) ψ_t( )x = (1–2xt+x²)^–1⁄2 ] 1– ,1[

1 0

a t x( , )y′+b t x( , )y = 0 a b x

x∈]-1,1[ θ∈IR

Ψ_cosθ( )x = ϕ(xe^iθ)ϕ(xe^–iθ) Ψ_cosθ( )x G_n( )θ xⁿ

n=0

∑

=

G_n

θae^ikθ k∈ZZ G_n( )0

n∈IN θ∈IR G_n( )θ = P_n(cosθ) P_n

n∈IN θ∈IR G_n( )θ ≤G_n( )0 t∈[–1,1] x∈]-1,1[ f t x( , ) P_n( )t

n=0

∑

=

1 – ,1

[ ]×[–a,a] a∈]0 1[, P_n

( )_n≥0 P₀( )t = 1 P₁( )t = t n≥1 (2n+1)tP_n( )t = (n+1)P_n+1( )t +nP_n–1( )t

n∈IN P_n

P_n P_n( )1 P_n( )–1

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I.C -

I.C.1) Soit et deux éléments distincts de . Calculer et simplifier la dérivée de la fonction définie sur par :

:

après avoir vérifié qu’elle est bien définie.

En déduire la valeur de l’intégrale :

pour tout couple d’éléments de . I.C.2) Montrer que :

pour tout couple d’éléments de .

On admettra sans démonstration l’identité suivante :

I.C.3)

a) Pour tout couple d’éléments de établir que : .

b) On fixe dans l’intervalle . Montrer que, pour tout couple appar- tenant à :

la série convergeant normalement sur tout l’ensemble de la forme avec . Conclure que :

.

c) En écrivant que, pour tout , , prouver

que, pour tout :

. d) Conclure que

a b ]1 +, ∞[

1 [– 1, ] h t ln (a–t)+(b–t)

---2 – (a–t)(b–t) a

t d a–t ( )(b–t) ---

1 –

∫

f t x( , )f t y( , )dt

1 –

∫

1– xy ---

= ( , )x y

]0 1, [

2 xy(1–x)(1–y)–(x+y)(1+xy)+4xy = (1+ xy)²(2 xy–(x+y))

x y

( , ) ]0 1, [

1 xy

---ln 1+ xy

1– xy

--- 2

2n+1 ---xⁿyⁿ

n=0

∑

=

y ]0 1, [ ( , )t x

I×]0 1, [

f t x( , )f t y( , ) P_n( )t f t y( , )xⁿ

n=0

∑

=

I×]0, ]a a∈]0 1, [

P_n( )t f t y( , )dt

1 –

∫

t y

( , )∈I×]0 1, [ f t y( , ) P_m( )t y^m

m=0

∑

= n∈IN

P_n( )t P_m( )t dt

1 –

∫

⎝ ⎠

⎛ ⎞y^m

m=0

∑

P_n( )t P_m( )t dt

∫

où est le symbole de Kronecker : si et sinon.

Interpréter le résultat obtenu.

I.D - Soit un entier supérieur ou égal à et un zéro de (a priori dans ). On note la fonction polynôme telle que, pour , . I.D.1) Calculer .

I.D.2) En déduire que est réel et que . I.D.3) Montrer que est une racine simple de . I.E -

I.E.1) En utilisant (2), établir que, pour tout entier naturel et tout couple de nombres complexes distincts :

. (3)

I.E.2) En déduire que, pour tout :

(4) I.E.3) Déduire de cette dernière formule que tout zéro de est strictement compris entre deux zéros consécutifs de .

I.F - Pour toute fonction de classe sur , on note la fonction de dans définie par :

Prouver que, pour tout couple de fonctions de classe sur , .

En déduire que, pour tout et tout entier , , . En déduire que est solution de l’équation différentielle :

. (5)

Partie II -

II.A -

II.A.1) On associe à et à le coefficient . Montrer que la série de terme général

est convergente.

δn m, δn m, = 1 m = n δn m, = 0

n 1 z P_n

CI R_n t≠z R_n( )t P_n( )t

t–z ---

= R_n P_n

( )

z z <1

z P_n

n x y

( , )

2k+1

( )P_k( )x P_k( )y

k=0 n

∑

2k+1

( )(P_k( )x )²

k=0 n

∑

P_n P_n+1

f

C

CI

Af t( ) d t

d---[(1–t²)f′( )t ]

=

f g

( , )

C

(Af g) = (f Ag)

n≥1 k 0≤ ≤k n–1 (P_k AP_n) = 0 P_n

1–t²

( )y″–2ty′+n n( +1)y = 0

n∈IN f ∈E c_n( )f = (P_n f)

n 1 2---

⎝ + ⎠

⎛ ⎞ c_n( )f ²

MATHÉMATIQUES I Filière PC II.A.2) Montrer, à l’aide de I.F - que si est de classe sur , alors la série est convergente.

En déduire que la série est convergente.

II.B -

II.B.1) Pour tout , on définit dans par : .

Montrer que si est telle que, pour tout , alors est nulle.

II.B.2) Supposant de classe sur , montrer que l’expression : définit sur une fonction continue . II.B.3) Montrer que est nulle.

II.B.4) Déduire de ce qui précède une condition suffisante pour que la série de fonctions

converge normalement sur et ait pour somme . II.C - Pour tout et tout , vérifier que la fonction est intégrable sur le segment .

Établir que, pour tout , la fonction définie par :

est une fonction polynôme de degré et que la suite vérifie les conditions initiales , et la même relation de récurrence que la suite à partir du rang .

II.D - Soit fixé. On note les zéros de écrits dans l’ordre croissant, i.e. .

II.D.1) Montrer que où

est une base de .

II.D.2) Soit où : , . Montrer que

est une base de l’espace vectoriel des formes linéaires sur .

f ∈E

C

n⁵c_n( )f ²

∑

n c_n( )f

∑

n∈IN f_n E f_n tatⁿ

f ∈E n∈IN (f_n f) = 0 f

f ∈E

C

g t( ) f t( ) n 1 2---

⎝ + ⎠

⎛ ⎞c_n( )f P_n( )t

n=0

∑

–

= I g

g

n 1 2---

⎝ + ⎠

⎛ ⎞c_n( )f P_n

∑

n∈IN x∈IR t P_n( )t –P_n( )x

t–x --- a

I

n∈IN xaQ_n( )x Q_n( )x P_n( )t –P_n( )x

t–x --- dt

1 –

∫

=

n–1

( ) (Q_n)_n∈IN

Q₀ = 0 Q₁ = 2 P_n

( )_n∈IN n = 1

n∈IN∗ a₁, ,… a_n P_n

1

– <a₁<…<a_n<1

B

a_i–a_j ---

j= 1 j ≠ i n

∏

= R_n–1[ ]X

C

C

R_n–1[ ]X

II.D.3) En déduire qu’il existe une suite de nombres réels et une seule telle que :

, .

II.D.4) Montrer, en utilisant éventuellement une division euclidienne par :

, . (6)

II.D.5) Montrer que les sont éléments de et que II.E -

II.E.1) Montrer que si est le polynôme défini en II.C alors, avec les nota- tions de II.D, on a :

.

On pourra commencer par examiner le cas où .

II.E.2) En déduire que les zéros de sont situés strictement entre les zéros de .

II.F -

II.F.1) Montrer, pour , que :

.

II.F.2) En déduire que, pour tout , la suite de fonctions

approche uniformément la fonction

sur l’intervalle .

••• FIN •••

λ1, ,… λn

( )

∀P∈R_n–1[ ]X P t( )dt

1 –

∫

n

∑

=

P_n

∀P∈R_2n–1[ ]X P t( )dt

1 –

∫

n

∑

=

λi IR^*+ λi

i=1 n

∑

Q_n

Q_n( )x = P_n( )x λi

x–a_i ---

i=1

∑

x>1 n–1

( ) Q_n

P_n

x>1 Q_n( )x

P_n( )x

--- ln x+1 x–1 ---

⎝ ⎠

⎛ ⎞

– λ_i

x–a_i --- a_i

---x

⎝ ⎠⎛ ⎞²ⁿ

i=1 n

∑

1 –

∫

–

=

α>0 Q_n

P_n ---

⎝ ⎠

⎛ ⎞

n∈IN

x ln x+1 x–1 ---

⎝ ⎠

⎛ ⎞

a [1+α, ∞+ [