Des diagrammes électriques

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Submitted on 1 Jan 1878

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Des diagrammes électriques

E. Bouty

To cite this version:

E. Bouty. Des diagrammes électriques. J. Phys. Theor. Appl., 1878, 7 (1), pp.264-273.

�10.1051/jphystap:018780070026401�. �jpa-00237425�

264

corps mauvais conducteurs. L’action de ^cette électricité

qui

^se

trouve sur les

parois

^doit certainement se faire sentir ^sur le tour-

niquet.

^{Alors il} arrivera que ^si l’on

approche

^la

^main,

^{ou en}

^général

un corps bon conducteur

communiquant

^{avec le}

^sol,

^{il se}

produira

le

phénomène

de condensation ordinaire. Comme

conséquence nécessaire,

le débit du

tourniquet

^sera

augmenté

et, par

suite,

^le

mouvement de rotation ^sera

plus rapide.

En tenant

compte

^{de cette} remarque ^et de celles faites par M. Mascart dans son

Traité d’électricité (p. I75

^et

suivantes),

^{on se}

rendra

parfaitement compte

^{de toutes les}

particularités

^{relatives au}

tourniquet électrique.

Il y

^a encore une

expérience

que

je

^veux

^citer, qui

^{montre bien}

la difficulté que l’on

éprouve

pour faire

pénétrer

directemzent l’électricité dans les corps mauvais conducteurs. On

prend

^un

vase

cylindrique

^{en verre}

rempli

d’essence de

térébenthine,

^dans

lequel on

^{met un}

tourniquet électrique.

^Ce

tourniquet

^commu-

nique

^avec la machine au moyen d’un fil de cuivre

qui

^{traverse la}

paroi

^{du vase à sa}

partie

inférieure. Dans ces

conditions,

^{le tour-}

niquet

^ne fonctionne pas. L’électricité ^se

répand

^{sur les}

parois

extérieures du vase. On

réussira,

^au

contraire,

très-bien l’ex-

périence

^en

plaçant

^{dans le même vase le}

tourniquet

^soutenu par

son

pied

^en

^soufre,

^{et en}

approchant

^de

^lui,

par ^la

partie supérieure

ouverte du _vase, l’extrémité d’un fil

métallique parfaitement ^isolé,

en communication avec la machine

électrique.

DES DIAGRAMMES

ÉLECTRIQUES;

PAR M. E. BOUTY.

1. On sait que la recherche des actions ^exercées par ^un

système

de corps électrisés ^{se ramène au} calcul du

potentiel

V correspon- dant. Celui-ci est une fonction des ^masses

agissantes,

^{de leurs}

coordonnées et des coordonnées d’un

point quelconque

^{de l’es-}

pace.

Quand

^le

système électrique

^est

^donné,

^le

potentiel

^{se calcule}

par ^une

intégration,

^{et sa valeur en tout}

point

^de

l’espace

^{est com-}

plétement

déterminée.

Réciproquement, quand

^le

potentiel

^est

connu, la densité

électrique

^{en un}

point quelconque

^{est déter-}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018780070026401

265 minée sans

ambiguïté

par ^une

équation

^aux différences

partielles

de V .

2. La considération du

potentiel, analytiquement équivalente

^à

celle des ^masses

électriques,

^est d’une utilité

plus

immédiate pour la solution des

problèmes

d’électricité. On

peut

d’ailleurs

envisagerle potentiel

^{à un}

point

^{de vue}

plus général,

c’est-à-dire

indépendam-

ment de son

origine,

^{comme étant une}

propriété

purement ^numé-

rique

^{afférente à}

chaque point

^de

l’espace,

^{si l’on veut, une} qua- trième coordonnée

(1);

^et

puisque

^les

équations qui

^se

rapportent

à l’électricité en

équilibre

^sont

identiques, quant

^{à la}

forme,

^à

celles de la

propagation

^{de la chaleur ou de} l’électricité dans les milieux conducteurs

(2),

etc., ainsi ^on pourra ^traiter simultané-

ment des

problèmes d’espèce différente ;

^il

n’y

^aura

qu’à

^inter-

préter d’après

^certaines

règles

fixes les résultats abstraits obtenus.

3. Les

diagrammes

^dont nous avons à nous occuper résultent de la considération des

surfaces

^{de niveau et des}

lignes

^de

force.

Étant

donnée ^une fonction

numérique

V des coordonnées d’un

point

^de

l’espace,

les surfaces de niveau sont définies par

l’équa-

tion

( 1 ) V -

a étant ^une constante

quelconque ;

^les

lignes

^{de force ou de flux}

sont leurs

trajectoires orthogonales.

^On

appelle

^aussi

lignes

^de

force

^les

trajectoires orthogonales

des sections déterminées dans les surfaces

(I)

par ^un

plan

^{ou une} surface déterminée. On

peut

construire les

diagrammes

^sans

spécifier

^{le sens} que l’on attache à la fonction V.

L’interprétation qu’on

^{leur donnera sera différente}

suivant les conventions que l’on ^aura faites à cet

égard.

4.

Quand

^V

représente

^le

potentiel électrique,

^ce que ^nous supposerons

désormais,

^on sait que la force

électrique, rapportée

à l’unité de masse, ^a pour

expression 2013dV dn·Sa

^{direction est celle}

(1) ^M. Maxwell, qui ^est porté à considérer les actions à distance comme propagées

par ^un milieu approprié, considère le potentiel ^{comme une} quantité caractérisant, pour chaque point ^de l’espace, ^l’état élastique ^{de ce} milieu universel.

(’) ^{Consulter les articles de MM.} Potier, Cornu, Blavier, dans les volumes précé-

dents de ce Journal.

266

des

potentiels

décroissants sur la

ligne

^{de force}

qui

passe ^au

point

considéré;

^sa

grandeur

^{est en} raison inverse du segm ent ^déterminé

sur cette

ligne

par ^deux surfaces de niveau infiniment

voisines,

pour

lesquelles

^le

potentiel

diffère de la

quantité

^{fxe dV.}

Quand

^V

représente

^la

température

d’un corps

conducteur,

^le

flux de chaleur

rapporté

^à l’unité de surface ^a aussi pour

expression

2013dV dn·Sa

^{direction et sa}

^grandeur

^se déterminent comme pour la force

électrique.

On

peut,

^{sur une} surface de

niveau,

^{limiter une certaine éten-}

due par des

lignes

de force formant ^une sorte de tube continu

(1).

Ce tube

découpe

^{sur les autres surfaces des zones} correspon-

dantes ;

et, ^en

désignant par d03C3

^{un élément}

intercepté

^{sur une sur-}

face tracée

arbitrairement,

par dn l’élément de normale ^{à cette}

surface,

^la

quantité2013 dV an d03C3 (1)

est constante. Dans le cas de la conductibilité

thermique,

^cette

intégrale représente

le flux de cha- leur

qui parcourt

^le

tube ;

^{dans le cas} de l’électricité en

équilibre,

M. Maxwell

désigne

^la

quantité correspondante

^{sous le nom d’iiz-}

duction

électrique.

Nous ^nous bornons à

rappeler

ces’diverses

notions, qui

^doivent

être familières au lecteur.

5. Les

diagrammes

^ont pour

objet principal

^de

représenter

^aussi

complétement

que

possible

^{toutes les}

particularités

^du

champ

^élec-

trique.

^{Pour être}

parfaits,

ils devraient donner la valeur du

poten- tiel,

^la

grandeur

^et la direction de la force en un

point quelconque de l’espace

^{et enfin}

permettre

de déterminer la valeur de l’induction à travers une surface

quelconque.

Ce n’est toutefois que dans des

cas

particuliers

que l’on sait réaliser ^{toutes ces} conditions.

Nous en fournirons

quelques exemples d’après

M. Maxwell,.

Dans tous les _cas, ces

diagrammes

^{sont formés de}

lignes équipo- tentielles, correspondant

^à des accroissements fixes et

très-petits

ôV du

potentiel,

^{et de}

lignes

^de force normales aux

précédentes.

Les deux

systèmes

^de

lignes

divisent le

plan

^du

diagramme

^en

petits quadrilatères

^dont les côtés sont sensiblement

rectilignes.

(1) Faraday ^{donnait à ces tubes le nom de} solénoïdes.

(2) Théorème ^de Green ; voir Tnnité d’électi-icité, ^{de M.} Mascart, ^t. 111, p. 227^·

267 6. La construction des

lignes équipotentielles

^{est, en}

^général,

assez facile. Il n’en est pas

toujours

^{de même} pour les

lignes

^de

force. On

s’appuie

^sur les théorèmes suivants : _

THÉORÈME

1. - Étant

dozzzzé un

système

^A

qui

résulte de la stc-

perposition

^{de deux}

systèmes

^{B et}

^C,

^le

potentiel

^{V de A est la}

somme des

potentiels ^Vj

^et

^V2

^{de B et de C.}

Pour s’en

convaincre,

il suffit de remarquer que, par

définition,

le

potentiel

^{est une fonction}

purement numérique.

THÉORÈME II. ^-

Quand

^un

système

^A résulte de lcc

secpenposi-

tion de deux

çystètnes

^{B et}

^Câ,

l’induction

produite

par le sys- tènle

A,

^{à travers uzze}

portion

donrzée d’ une

slllface quelconque,

est la ^somme des inductions

produites

par ^{B et} C.

On _a, en

effet,

d’où

7.

Diagrctmme correspondant

^{à un}

point unique.

^{- Le}

poten-

tiel ^a pour

expression

Les surfaces

équipotentielles

^{sont des}

sphères ayant

pour ^centre le

point

^électrisé

P ;

^les

lignes

^de

force,

des droites

partant

^{de ce}

point.

Un

plan passant

par le

point

^P coupe les surfaces

équipoten-

tielles suivant leurs

grands.

cercles. On tracera, par

exemple.,

^ceux

qui correspondent

^{aux valeurs i,}

^{2, 3, ...}

^du

potentiel ;

leurs rayons

sont

M, M 2,M 3,....

L’induction à travers une surface S

prise

^{sur une}

sphère équi- potentielle

^est

- , f£/

d03C3 = 2013

M R2S;

^{à travers la}

s hère

^entière

elle est

2013403C0 1B’1,

par

conséquent proportionnelle

^{à la}

charge

^{M du}

268

point

électrisé. Le nombre des

lignes

^{de force}

qui parLent

^du

point

P est aussi

proportionnel

^{à M.}

Menons arbitrairement

(fig. I)

^une droite XX’

passant

par le

point P,

^et divisons l’une des

sphères équipotentielles

^{en M zones}

égales, AA’, BB’, ...

_{par des}

plans perpendiculaires

^{à XV. Ces}

zones

correspondent

^à des valeurs

égales

de l’induction et les

- Fig. ^{t .}

droites

PA, PB, ... qui joignent

^{au centre les}

points

^{de division}

supérieurs

^{sont des}

lignes

^{de force au} nombre de M. Elles satis- font ^à la condition de limiter ^sur les surfaces

équipotentielles

des zones

correspondant à

^des inductions

égales.

Désignant

par

03B81,03B82...

^les

angles APX, BPX,...,

^{on a}

Si M est un nombre

entier,

^{la Miême}

ligne

^{de force se confond}

avec PX’.

Étant

^donnée la méridienne S d’une surface de révolution

quel-

conque, l’induction ^{à travers} la zone de cette surface limitée à une

ligne

^de

force,

_{PB par}

exemple,

^{dont le numéro d’ordre est} p, ^a pour valeur

2013403C0p.

8.

Diagramme

^du

sJFstème

^{de deux}

points.

^- Soient mainte-

269

nant deux

points

électrisés P et

P’, possédant

^les

charges

^{M et M’.}

Le

champ électrique

^à déterminer est de révolution autour de l’axe PP’

qui joint

^{les deux}

points.

Traçons

^{sur deux} feuilles distinctes

(1)

^de

papier transparent

^le

diagramme

^des

points

^{P et P’} considérés

isolément,

^et superposons les deux

feuilles,

^{de sorte} que les ^axes XX’ des

diagrammes partiels

coïncident avec l’axe du

système.

^{Sur une} troisième feuille super-

posée

^{aux deux}

premières,

^{on verra} par

transparence

^{les deux} sys- tèmes de cercles et de droites et leurs intersections.

Pour obtenir les méridiennes des surfaces

équipotentielles,

^il

suffit

(d’après

le théorème 1 du n°

6)

^de

joindre

par un trait continu les intersections des cercles dont les

potentiels ^V1

^et

^V2

^{ont une}

somme V constante. Ainsi la courbe dont le

potentiel

^est 7 passe par ^les intersections de

Pour obtenir les

lignes

de force du

système

^{des deux}

points,

^il

suffit

(d’après

le théorème II du ^n°

6)

^de

joindre

par ^un trait Fig. 2.

continu les

points

d’intersection des

lignes

^{de force de P et de}

^P’,

tels que la ^somme des ^numéros d’ordre _p

et p’

^{de ces}

lignes

^soit

constante. Ces ^numéros d’ordre doivent être

rangés à partir

^{de la}

direction PX de l’axe

(fin. 2)

^{dans un même sens,} par

exemple

inverse du mouvement des

aiguilles

^{d’une montre.}

(1) Pour n’avoir sur la même feuille qu’une épure très-simhle.

270

Considérons,

^en

effet,

^{à travers} la surface

équipotentielle passant

au

point

^A d’intersection de la

ligne

^{de force} p du

point

^P

et p’

de

P’;

^la

première

^{de ces}

lignes

^{limite sur} la surface une zone de

révolution, QAA’

^{à travers}

laquelle

l’induction du

point

^{P est}

- 41! p;

^{de même} l’induction de P’ est

2013 403C0p’.

L’induction totale

est

donc 2013 403C0(p+p’),

^{et le}

point

^A

appartient

^{à la}

ligne

^de

force du

système,

^{dont le numéro d’ordre est} p ^-t--

p’.

On vérifiera aisément que les

lignes

^{de force ainsi} construites

coupent. orthogonalement

les méridiennes des surfaces de niveau.

En

effet, l’équation

^{de ces dernières en} coordonnées

rectilignes

est, ^en

désignant par d

la distance

PP’,

Quant aLmlignes

^de

^l’orce,

^{elles sont} déterminées

par la

^condition

mais on sait que l’on ^a

(n° 7)

il en résulte que

ou

Telle est

l’équation

^des

lignes

^{de force en} coordonnées recti-

lignes. Égalant

^à zéroles dérivées des

premiers

^{membres de}

(I)

^{et de}

(2),

^{on reconnaît que le}

produit

des valeurs de

dy dx

_{ainsi obtenues}

est

égal

^{à - i .} C’est la condition pour que les deux

systèmes

^de

courbes

(1)

^et

(2)

^se

coupent

^à

angle

^droit.

9. Il doit être bien entendu que les surfaces

équipotentielles correspondant

^{à un}

point

^{dont la}

charge

^est

négative

^se

rapportent

à des valeurs

négatives

^du

potentiel ;

^{et de méme} que les

lignes

27I

de force sont affectées de numéros d’ordre

négatifs quand

^la

charge

^du

point

^{électrisé est}

négative.

^Il faut remarquer ^en effet que ^le

signe

^de

l’induction2013 dV dn

^da7

^change

^{avec le}

^signe

^{de V.}

10. Soient ⁱⁱ

points

éleclrisés

disposés

^en

ligne droite ;

^{la con-} struction

qui

^{nous a} servi dans le cas de deux

points

^nous per-

mettra de réduire successivement à n2013 1, ⁿ 2013 2,... le nombre de

diagrammes distincts ;

^et _par ^{n 2013 i}

opérations

^on obtiendra ainsi le

diagramme

^du

système.

11. On obtiendra de même le

diagramme correspondant

^{à un}

champ électrique

^constant troublé par l’introduction de ^{un ou}

plu-

sieurs

points

électrisés

P, P’, placés

^en

ligne ^droite,

pourvu que celle-ci coïncide avec la direction non troublée des

lignes

^{de force}

du

champ.

^En

^effet,

la droite PP’ est dans ce cas un axe de

symétrie.

Les surfaces

équipotentielles

^du

champ

^{constant sont des}

plans équidistants perpendiculaires

^à

^{l’axe ;}

^les

lignes

^de

force,

^des

paral-

lèles à

l’axe,

^{dont les distances à PP’} sont entre elles ^comme les rayons des

cylindres

de section _{I , 2,}

3,

c’est-à-dire comme les racines carrées des nombres entiers consécutifs. On combinera d’abord le

diagramme

^{C du}

champ

^{avec celui du}

point ^{P ;} puis

^le

diagramme

^{résultant avec celui du}

point ^P’,

^etc.

(1).

12. Dans tous ces

digrammes,

^les

lignes

^de force issues d’un

point

^électrisé

placé

^{à une} distance finie ou infinie se continuent

sans

interruption ;

^{elles se terminent sur des}

points

électrisés en sens

contraire,

^{ou se}

prolongent jusqu’à

1*’Infini. Le nombre de

ces dernières est

égal

^{à la somme}

algébrique

^{de toutes les}

charges électriques qui produisent

^le

champ.

Le

potentiel

^étant de la forme V ^{=03A3m r}

ni,

les surfaces de niveau

correspondant

^à de très-hautes valeurs

positives

^ou

négatives

^de

V ont autant de nappes distinctes

qu’il

y ^a de

points

^{P électrisés}

dans le sens considéré. Chacune de ces nappes ^se

rapproche

^d’au-

(1) ^{Étant donnés Il} points arbitrairement placés ^dans l’espace, ^il n’y ^{a aucune}

difficulté à construire par ^un procédé analogue ^aux précédents les sections faites par

un plan quelconque dans les surfaces équipotentielles ^du système. ^{Il suffit d’avoir}

déterminé les sections faites dans les sphères équipotentielles ^de chaque point. ^Mais

la forme des zones d’égale induction étant indéterminée, ^il n’y ^a plus ^{lieu dans ce}

cas-là de tracer sur le diagramme ^des lignes ^{de force en} nombre déterminé.

272

tant

plus

^{de la forme d’une}

sphère ayant

pour ^centre le

point

^P que la valeur absolue de V est

plus grande. Quand

^on faitdécroître

V,

le nombre des nappes distinctes

peut diminuer,

^{et alors une seule}

nappe finit par

envelopper plusieurs points

électrisés.

La surface de

potentiel

^{zéro a}

toujours

^une nappe

sphérique

située à l’infini. Si elle

possède

^{une autre} nappe,

l’équation

^de

celle-ci sera donc de deux

degrés

inférieure à celle des autres sur-

faces

équipotentielles.

^Ainsi

l’équation générale

^des

^surfaces, équipotentielles,

pour deux

points

électrisés en sens

contraire,

^est

Elle est du

quatrième degré.

^{Elle se réduit au second}

pour

^{= o.}

Elle

représente

^{alors une}

sphère

environnant le

point

^{dont la}

charge

^{absolue est la}

plus

faible. Si

M=M’,

^{le centre de cette}

sphère s’éloigne

^à

^l’infini,

^et

l’équation

^{r = r’}

représente

^un

plan perpendiculaire

^au anilieu de la

ligne qui joint

^{les deux}

points.

Quand, V

décroissant d’une manière

continue,

la surface v ⁼ oc

perd

^une nappe pour ^une valeur déterminée ao de la constante, la surface V ⁼ xo

présente

^{un noeud. Celui-ci}

correspond

^{à un}

point

où la dérivée de V est

indéterminée,

c’est-à-dire où la force est

nulle. On reconnaît que ^ces

points

^{sont des}

positions d’équilibre

instable pour ^une molécule

électrique placée

^{dans le}

champ.

13. Un des

principaux

usages des

diagrammes

^{consiste à obtenir}

la solution

rigoureuse

^ou

approchée

de divers

problèmes

^relatifs

à la distribution de l’électricité et à l’influence.

On ^se fonde ^{sur ce}

qu’on peut,

^sans modifier les actions exercées à

l’extérieur, remplacer

^une surface de niveau V ⁼ a par ^une surface conductrice de même forme maintenue ^au même

potentiel.

La densité

électrique

p ^en

chaque point

^est donnée par la formule

et

peut

^se déduire de mesures

prises

^{sur le}

diagrammes.

Si la surface de niveau considérée embrasse toutes les masses

électriques

^du

système

^sans

exception,

^la distribution

électrique

déterminée par la formule

précédente

^{sera en}

équilibre

^d’elle-

même. Si elle laisse en dehors un certain nombre de masses élec-

273

triques,

^cette distribution est celle

qui

résulte de l’influence de

ces masses sur le conducteur que l’on substitue ^à la surface de

niveau,

^ce conducteur étant ^en relation lointaine avec une source au

potentiel

^{a. Par}

exemple,

^on sait que la surface de

potentiel

zéro relative ^au

système

^{de deux}

points

électrisés en sens contraire

est ^une

sphère ;

^{on en déduira la} distribution

électrique produite

sur une

sphère

^en communication avec le

sol,

^sous l’influence d’un

point

électrisé extérieur.

Il n’est pas

nécessaire,

_pour ^{une solution}

approchée,

que la surface conductrice et la surface de niveau soient

représentées

par la mêlne

équation :

^il suffit que

l’analogie

de forme soit suffisam-

ment

accentuée, principalement

^{dans les}

parties

^où la courbure est

le

plus ^forte,

^pour

qu’on puisse pratiquement

^{confondre les distri-}

butions

électriques correspondantes.

GRAVURE SUR VERRE PAR

L’ÉLECTRICITÉ;

PAR M. G. PLANTÉ.

On recouvre la surface d’une lame de ^{verre ou} d’une

plaque

^de

cristal,

^{avec une solution} concentrée de nitrate de

potasse,

^{en ver-}

sant

simpLement

^le

liquide

^{sur la}

plaque, posée

horizontalement

sur une table ^ou dans une cuvette peu

profonde.

^D’autre

^paru,

^on

fait

plonger,

dans la couche

liquide qui

^{recouvre le verre, et le}

long

^{des bords de la}

^lame,

^{un fil de}

platine horizontal,

^communi-

quant

^{avec les}

pôles

^d’une batterie secondaire de 5o à 60

éléments ;

puis,

^{tenant à la} main l’autre électrode formée d’un fil de

platine