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A. Poux
To cite this version:
A. Poux. Conditions limites de sortie pour les méthodes de time-splitting appliquées aux équations Navier-Stokes. Mécanique des fluides [physics.class-ph]. Université de bordeaux, 2012. Français. �tel-01597562�
Numéro d’ordre : 4656
THÈSE
PRÉSENTÉE À
L’UNIVERSITÉ BORDEAUX I
ÉCOLE DOCTORALE
DES SCIENCES PHYSIQUES ET DE L’INGÉNIEUR
par Alexandre POUX
POUR OBTENIR LE GRADE DE
DOCTEUR
SPÉCIALITÉ : MÉCANIQUE
Conditions limites de sortie pour les méthodes de time-splitting appliquées aux équations
de Navier-Stokes
Soutenue :07 décembre 2012 Après avis de : M. M. Jean-Luc Guermond Marc MedaleProfesseur, Texas A&M University Professeur, IUSTI, Marseille
Rapporteur Rapporteur Devant la Commission d’examen formée de :
M. M. M. M. M. M. M. Mejdi Azaïez Charles-Henri Bruneau Stéphane Glockner Jean-Luc Guermond Marc Medale Xavier Nicolas Richard Pasquetti
Professeur, I2M, Bordeaux Professeur, IMB, Bordeaux
Ingénieur de Recherche, I2M, Bordeaux Professeur, Texas A&M University Professeur, IUSTI, Marseille
Maître de Conférences, LETEM, Marne-La-Vallée Directeur de Recherche du CNRS, Nice
Directeur Examinateur Co-Directeur Rapporteur Rapporteur Examinateur Examinateur
3
Remerciements
Je tiens dans un premier temps à remercier ceux sans qui, grâce à la confiance qu’ils m’ont ac-cordé, ce travail n’existerait pas : mes encadrants de thèse aux cotés desquels j’ai beaucoup appris. Je suis reconnaissant envers mon directeur de thèse Mejdi Azaïez, professeur à l’I2M, pour son attention de tout instant sur mes travaux, ses conseils et sa franchise. J’adresse aussi toute ma gratitude à mon co-directeur de thèse, Stéphane Glockner, ingénieur de recherche à l’I2M, pour le temps conséquent qu’il m’a accordé et ses conseils avisés quasi-quotidiens.
Ce travail a été réalisé au sein de l’UMR TREFLE (Transferts Écoulements Fluides Énergétique) qui maintenant est un département de l’I2M (Institut de Mécanique et d’Ingénierie de Bordeaux). Je souhaite remercier le directeur d’alors et de maintenant, Éric Arquis, professeur à l’I2M, qui m’a ouvert les portes de ce laboratoire.
Je tiens à remercier Jean-Luc Guermond, professeur à l’université du Texas, et Marc Médale, pro-fesseur à l’IUSTI, d’avoir acceptés d’être les rapporteurs de ce travail. J’associe à ces remerciements Charles-Henri Bruneau, professeur à l’IMB, Xavier Nicolas, maître de conférences au LETEM, et Richard Pasquetti, directeur de recherche à Nice, pour avoir accepté d’examiner mon travail.
J’aimerais remercier Marc Duruflé, maître de conférence à l’INRIA, et Marie Touzet-Cortinat, maître de conférence à l’I2M, pour m’avoir permis de m’initier aux plaisirs de l’enseignement durant ces trois années, aux joies de la correction de copies ainsi qu’à l’immense gratitude des étudiants.
Je désire en outre remercier toutes les personnes du département TREFLE pour leur sympathie, leur amitié. J’ai eu beaucoup de plaisir à travailler avec eux. Le cadre de travail était idéal.
Je remercie tout particulièrement Cédric Lebot, maître de conférence, qui a su me supporter dans son bureau pendant ces trois années et dont l’implication qu’il met à enseigner à ses étudiants, qui, pourtant, ne sont pas tous des flèches, est exemplaire. Flèches qu’il a par ailleurs l’habitude de tirer, activité que j’ai eu le plaisir de partager avec lui lors d’une courte initiation.
Je tiens à remercier chaleureusement tous les doctorants du TREFLE, et en particulier Jérémy Le-boi avec qui j’ai pu partager de longues conversations geek, Adrien Etcheverlepo et sa femme Johana Pinilla avec qui j’ai partagé de nombreuses bières, Louiza Benazzouk avec qui je n’ai pas partagé de bières mais qui prouve tous les jours que si la France est un pays de râleurs, alors l’Algérie lui ressemble beaucoup, et Antoine Lemoine qui m’a fait le plaisir de partager mes convictions quand il s’agit de refaire le monde autour d’un café.
Enfin je remercie toute ma famille et en particulier ma compagne Clémentine Aubry, de m’avoir soutenu durant ces trois ans, malgré mon moral vacillant ainsi que d’avoir participé à l’une des tâches les plus difficiles de cette thèse : la correction des fautes d’orthographe dans mon manuscrit, dont je suis sûr que certaines seront passées inaperçues malgré toutes les relectures.
Toutefois, je ne remercie pas les membres de la communauté des logiciels libres ainsi que des libres penseurs comme certains démocrates, en raison de leurs travaux passionnants et enrichissants qui m’ont, par moment, empêché de m’investir à cent pour cent dans ce travail.
5
Table des matières
Remerciements 4
Table des matières 5
Table des figures 7
Liste des tableaux 11
Nomenclature 13
Introduction 17
1 Méthodes de splitting 19
1.1 Les schémas de résolution du problème de Navier-Stokes . . . 22
1.1.1 Méthodes exactes . . . 23 1.1.2 Correction de pression . . . 28 1.1.3 Correction de vitesse . . . 34 1.2 Extensions . . . 40 1.3 Implémentation et résolution . . . 42 1.3.1 Discrétisation spatiale . . . 42
1.3.2 Résolution des systèmes linéaires . . . 45
1.4 Expérimentation sur les schémas . . . 54
1.4.1 Vérification sur une solution analytique . . . 56
1.4.2 Validation sur un cas physique : la convection naturelle . . . 60
2 Conditions limites ouvertes et de traction 63 2.1 Implémentation des conditions limites ouvertes et de traction . . . 66
2.1.1 Correction de pression . . . 66
2.2 Expérimentations numériques . . . 74
2.2.1 Résultats numériques pour le problème de Stokes . . . 75
2.2.2 Résultats numériques pour des écoulements de Navier-Stokes . . . 87
3 Condition limite d’Orlanski 107 3.1 Condition limite d’Orlanski . . . 110
3.2 Schémas pour la résolution de Navier-Stokes . . . 113
3.2.1 Lagrangien augmenté . . . 113
3.2.2 Correction de pression . . . 115
3.2.3 Correction de vitesse . . . 118
3.3 Écoulement de Poiseuille-Rayleigh-Bénard . . . 121
3.3.1 Cas 1 : Re=10, Ra=104 et Pr=2/3 en 2D . . . 124
3.3.2 Cas 2a : Re=0.1, Ra=2500 et Pr=7 en 2D . . . 135
3.3.3 Cas 2b : Re=0.1, Ra=2500 et Pr=7 en 3D . . . 141
3.3.4 Conclusion sur la condition limite d’Orlanski . . . 148
Conclusion et perspectives 149
Annexes 151
A Méthode générale pour l’obtention une condition limite sur ϕ 153
7
Table des figures
1.1 Grille de type MAC telle qu’on l’utilise. . . 42
1.2 Gros plan sur la discrétisation à la limite droite. . . 43
1.3 Gros plan sur la discrétisation à la limite droite dans le cadre d’une grille MAC standard. 44 1.4 Effet de la méthode avec laquelle nous traitons le noyau de l’étape de poisson sur le nombre d’itération de BICG . . . 46
1.5 Effet de la perturbation ε sur la divergence. . . . 49
1.6 Effet de la perturbation ε sur la stabilité du schéma de correction de pression. . . . . 49
1.7 Effet du non respect de la condition de compatibilité sur la résolution avec BICG . . 51
1.8 Effet du non respect de la condition de compatibilité sur la résolution avec un solveur direct . . . 51
1.9 Convergence spatiale en correction de pression avec uniquement des conditions li-mites de Dirichlet . . . 57
1.10 Convergence spatiale en correction de vitesse avec uniquement des conditions limites de Dirichlet . . . 57
1.11 Convergence temporelle en correction de pression avec uniquement des conditions limites de Dirichlet . . . 58
1.12 Convergence temporelle en correction de vitesse avec que des conditions limites de Dirichlet . . . 58
1.13 Répartition spatiale de l’erreur en pression en correction de pression. . . 59
1.14 Champ de pression et lignes de courants obtenus sur la convection naturelle. . . 61
1.15 Convergence spatiale sur le cas de la convection naturelle. . . 62
1.16 Effet de la méthode avec laquelle nous traitons le noyau de l’étape de poisson sur le nombre d’itération de BICG . . . 62
2.1 Convergence spatiale avec la correction de pression et une condition limite ouverte standard . . . 76
2.2 Convergence spatiale avec la correction de vitesse en volumes finis et une condition
limite ouverte standard . . . 77
2.3 Convergence spatiale avec la correction de vitesse en méthode spectrale et une
condi-tion limite ouverte standard . . . 77
2.4 Convergence temporelle avec la correction de pression et une condition limite ouverte
standard . . . 78
2.5 Convergence temporelle avec la correction de vitesse en volumes finis et une
condi-tion limite ouverte standard . . . 78
2.6 Convergence temporelle avec la correction de vitesse en méthode spectrale et une
condition limite ouverte standard . . . 79
2.7 Convergence spatiale avec la correction de pression et la condition limite ouverte
proposée . . . 80
2.8 Convergence spatiale avec la correction de vitesse en volumes finis et la condition
limite ouverte proposée . . . 80
2.9 Convergence spatiale avec la correction de vitesse en méthode spectrale et la condition
limite ouverte proposée . . . 81
2.10 Convergence temporelle avec la correction de pression et la condition limite ouverte
proposée . . . 82
2.11 Convergence temporelle avec la correction de vitesse en volumes finis et la condition
limite ouverte proposée . . . 82
2.12 Convergence temporelle avec la correction de vitesse en méthode spectrale et la
condi-tion limite ouverte proposée . . . 83
2.13 Effet d’un maillage grossier sur la convergence spatiale avec la condition limite
pro-posée. . . 84
2.14 Comparaison des convergences temporelles entre le schéma incrémental rotationnel
et le schéma incrémental standard. . . 85
2.15 Effet de la condition limite proposée sur la stabilité de la correction de pression. . . . 86
2.16 Champ de pression et lignes de courant de l’écoulement en aval d’une marche
des-cendante. . . 88
2.17 Convergence spatiale de l’écoulement en aval d’une marche descendante. . . 89
2.18 Pression et contrainte de cisaillement le long des bords horizontaux d’un canal en aval
d’une marche descendante. . . 91
2.19 Composantes horizontale et verticale de la vitesse à travers le canal en aval d’une
marche descendante. . . 91
TABLE DES FIGURES 9 2.21 Contraintes longitudinale et de cisaillement à travers le canal en aval d’une marche
descendante. . . 92
2.22 Champ de pression et lignes de champ dans le cas de la bifurcation. . . 94
2.23 Convergence spatiale dans la bifurcation. . . 96
2.24 Etat stationnaire dans la bifurcation pour différents Reynolds. Pression et lignes de
courants. . . 97
2.25 Convergence spatiale d’apparition des tourbillons dans la bifurcation. . . 98
2.26 Évolution de la vorticité autour du cylindre à section carrée. . . 101 2.27 Convergence temporelle de l’écoulement autour d’un cylindre de section carrée. . . . 103 2.28 Effet sur l’écoulement de la distance entre la condition limite et le cylindre de section
carrée. . . 104 2.29 Effet sur la vorticité de la distance entre la condition limite et le cylindre de section
carrée. . . 105 3.2 Champ de pression et lignes de courant pour le cas 1. . . 121 3.3 Géométrie pour les cas tests de Poiseuille-Rayleigh-Bénard. . . 122 3.4 Cas 1 : Évolution des lignes de courants et du champ de température au cours d’une
période . . . 124 3.5 Effet de l’implémentation de la condition limite sur une coupe transversale du canal . 126 3.6 Effet de la vitesse d’advection sur une coupe transversale du canal . . . 127 3.7 Effet de la vitesse d’advection sur une coupe longitudinale du canal . . . 128 3.8 Effet des différents choix sur la vitesse horizontale le long une coupe longitudinale
du canal . . . 129 3.9 Effet de la vitesse d’advection sur l’enveloppe des extremums le long du canal . . . . 130 3.10 Effet de l’implémentation sur la pression en correction de pression sur une coupe
transversale du canal . . . 131 3.11 Effet de l’implémentation sur la vitesse en correction de pression sur une coupe
trans-versale du canal . . . 132 3.12 Effet de l’implémentation sur la pression en correction de pression sur une coupe
longitudinale du canal . . . 132 3.13 Effet de l’implémentation sur la pression en correction de vitesse sur une coupe
trans-versale du canal . . . 133 3.14 Effet de l’implémentation sur la vitesse en correction de vitesse sur une coupe
3.15 Effet de l’implémentation sur la pression en correction de pression sur une coupe
longitudinale du canal . . . 134
3.16 Cas 2 2D : Évolution des lignes de champ et de la température au cours d’une période 135 3.17 Effet de l’implémentation de la condition limite sur une coupe transversale du canal . 137 3.18 Effet de la vitesse d’advection sur une coupe transversale du canal . . . 137
3.19 Effet de la condition limite sur l’enveloppe de la solution le long d’une coupe longi-tudinale du canal . . . 138
3.20 Effet de la condition limite avec une méthode de time-splitting sur l’enveloppe de la solution le long d’une coupe longitudinale du canal . . . 139
3.21 Effet de la condition limite avec une méthode de time-splitting avec une "grand" pas de temps sur l’enveloppe de la solution le long d’une coupe longitudinale du canal . . 140
3.22 Evolution du champ de vitesse longitudinale au cours d’une période . . . 142
3.23 Evolution du champ de vitesse verticale au cours d’une période . . . 143
3.24 Evolution du champ de vitesse transversale au cours d’une période . . . 144
3.25 Evolution du champ de température au cours d’une période . . . 145
3.26 Evolution des structures tourbillonnaires au cours d’une période . . . 146
11
Liste des tableaux
1.1 Ordres de convergence temporelle démontrés pour le schéma de correction de pression. 31
1.2 Ordres de convergence temporelle démontrés pour le schéma de correction de vitesse. 38
1.3 Effet du traitement effectué pour le noyau de l’étape de correction sur les erreurs en
vitesse, pression et divergence en stationnaire. . . 47
1.4 Effet du traitement effectué pour le noyau de l’étape de correction sur les erreurs en vitesse, pression et divergence en instationnaire. . . 48
1.5 Caractéristiques physiques de l’air. . . 60
1.6 Paramètres de similitude pour la convection naturelle. . . 60
1.7 Énergie cinétique et Nusselt pour le cas de la convection naturelle. . . 61
1.8 Valeurs extrapolées en espace de l’énergie cinétique et du nombre de Nusselt. . . 61
2.1 Détails de quelques paramètres dans l’écoulement en aval d’une marche descendante pour différents maillages. Ordres de convergence et valeurs extrapolées. . . 90
2.2 Détails des caractéristiques des tourbillons dans le cas de l’écoulement en aval d’une marche descendante pour différents maillages. . . 90
2.3 Positions, valeurs et ordres de convergence de quelques extrema des coupes dans le canal en aval d’une marche descendante. . . 93
2.4 Détails de quelques paramètres dans la bifurcation pour différents maillages. . . 95
2.5 Extrapolation de quelques paramètres dans la bifurcation. . . 95
2.6 Détails des caractéristiques des recirculations dans la bifurcation pour différents maillages. 96 2.7 Reynolds critique d’apparition des recirculations dans la bifurcation pour différents maillages. . . 97
2.8 Détails de quelques paramètres dans la bifurcation pour plusieurs Reynolds. Valeurs extrapolées. . . 98
2.9 Ordres d’extrapolation des paramètres dans la bifurcation pour différents Reynolds. . 98
2.10 Détails des caractéristiques des recirculations dans la bifurcation pour différents Rey-nolds avec le maillage le plus fin. . . 99
2.11 Comparaison des paramètres obtenus dans l’écoulement autour d’un cylindre de
sec-tion carrée. . . 102
2.12 Convergence temporelle des paramètres obtenus dans l’écoulement autour d’un cy-lindre de section carrée. . . 102
3.1 Détails des caractéristiques des cas tests. . . 122
3.2 Conditions limites et conditions initiales. . . 122
13
Nomenclature
Lettres latines
C Vitesse d’advection . . . m/s
CD Coefficient de traînée : ρu2F∞x1H
CL Coefficient de portance : ρu2F∞x2H
Cp Capacité calorifique ec Énergie cinétique p Pression . . . P a St Nombre de Strouhal : f H U∞ T Température . . . K t Temps. . . .s Lettres grecques βp Dilatation ∆h Perte de charge
Γ Frontière du domaine de calcul
λ Conductivité thermique
µ Viscosité cinématique
Ω Domaine de calcul ω Vorticité φ Incrément de pression . . . P a ρ Masse volumique . . . Kg/m3 Vecteurs g Vecteur gravité . . . m/s2
n Vecteur normal unitaire à une frontière dirigée vers l’extérieure . . . m
u Vecteur vitesse . . . m/s
Tenseurs
σ Tenseur des contraintes
Id Tenseur identité Opérateurs mathématiques ∆ Opérateur laplacien ∇ Opérateur gradient ∇ · Opérateur divergence ∇× Opérateur rotationnel
∂ Opérateur dérivée partielle
Indices et exposants
D Condition limite de Dirichlet
NOMENCLATURE 15
k Relatif aux itérations du lagrangien augmenté
N Condition limite de sortie
n Relatif au pas de temps
T Transposé Paramètres de similitude N u Nusselt : φconv φcond P r Prantdl : µCp λ Ra Rayleigh : gβδT Lνa 3 Re Reynlolds : ρLVref ν
17
Introduction
La simulation d’écoulements incompressibles pose de nombreuses difficultés, comme le traite-ment de la non-linéarité du terme inertiel ou la prise en compte de multiples phases. Nous nous intéresserons ici à deux autres difficultés. La première consiste à savoir comment traiter la contrainte d’incompressibilité et le couplage vitesse/pression afin d’obtenir une solution précise à moindre coût. Pour cela nous nous intéresserons en particulier à deux méthodes de time-splitting : la correction de pression et la correction de vitesse. Elles permettent de réduire significativement le temps de cal-cul nécessaire pour obtenir une solution satisfaisant la contrainte d’incompressibilité, au prix d’une certaine dégradation de la précision. Ces méthodes consistent à découper le problème en deux, en ré-solvant la vitesse et la pression de manière successive. Étant très largement utilisées, de nombreuses études théoriques et numériques discutent de leurs stabilités et de leurs précisions. Leur principal dé-faut provient de la nécessité d’introduire une condition limite sur la pression qui n’est pas donnée a priori par la physique. Un mauvais choix sur cette condition limite peut engendrer un perte importante de précision.
La seconde difficulté à laquelle nous nous intéresserons porte sur des conditions limites de sortie. En effet, dans de nombreuses situations l’écoulement est amené à sortir du domaine de calcul. Il est alors nécessaire d’utiliser des conditions limites qui ne sont pas données par la physique et qui ne doivent pas perturber l’écoulement amont. Une grande variété de ce type de condition limite existe, nous nous sommes intéressés ici à l’implémentation, dans le cadre des méthodes de splitting, de deux d’entre elles : la condition limite de traction et la condition limite d’Orlanski ou condition limite non-réflective. Ces conditions limites de sortie ont été très peu étudiées dans le cadre des schémas de time-splitting et un certain nombre de questions restent ouvertes, en particulier avec la correction de vitesse.
Dans le premier chapitre de cette thèse, nous détaillerons, dans le cadre de conditions limites de Dirichlet uniquement, les méthodes de time-splitting. Nous détaillerons les difficultés pouvant appa-raître lors de leurs implémentations, en particulier lors de l’étape sur la pression. Nous terminerons
par un certain nombre d’expériences numériques afin de mettre en évidence l’importance des choix d’implémentation, et les caractéristiques numériques des schémas.
Le second chapitre de cette thèse sera consacré à la condition limite de traction. Nous proposons une nouvelle implémentation de cette condition limite dans le cadre de la correction de pression et de la correction de vitesse. Nous montrerons qu’elle permet d’obtenir, pour la vitesse et la pression, des ordres de convergence de deux, se rapprochant ainsi des ordres de convergence formels des méthodes utilisées. Nous poursuivrons par l’étude de trois cas physiques mettant en œuvre cette condition limite. Les deux premiers sont des écoulements 2D laminaires stationnaires dans des canaux. Le premier se situe en aval d’une marche descendante, le second se situe au niveau d’une bifurcation. Le dernier cas est un écoulement 2D instationnaire autour d’un obstacle dans un environnement ouvert.
Dans le troisième et dernier chapitre, nous nous intéresserons à la condition limite d’Orlanski. Celle-ci prend la forme d’une équation de transport sur les composantes de la vitesse et sur la tem-pérature. Cette équation nécessite la définition d’une certaine vitesse d’advection C dans la direction normale à la limite. Nous proposons ici une nouvelle manière de calculer cette vitesse d’advection C et nous nous comparerons à différentes définitions issues de la littérature dans le cadre de différentes implémentations de cette condition limite. Nous effectuons cette comparaison sur trois écoulements de Poiseuille-Rayleigh-Bénard : le premier en 2D à Reynolds modéré (Re=10), puis à bas Reynolds (Re=0,1) en 2D et en 3D.
19
Chapitre 1
Méthodes de splitting
Une difficulté majeure dans l’obtention de solutions numériques des équations de Navier-Stokes incompressibles, en dehors du traitement des non-linéarités, vient de Stokes, et plus particulièrement de la manière dont le champ de pression assurant une vitesse à divergence nulle est déterminé. La question est de savoir comment découpler la vitesse et la pression afin d’obtenir une solution précise du problème de Stokes instationnaire à moindre coût.
Historiquement, l’idée initiale a été proposée par Uzawa [5, 24] et a été utilisée dans de
nom-breux contextes [17,26]. Il s’agit d’une méthode sûre et efficace pour l’approximation numérique du
problème de Stokes qui consiste en un découplage analytique exact de la vitesse et de la pression. Malheureusement, dans le cas de géométries complexes ou de domaines en 3D, cette méthode se ré-vèle inappropriée, son coût numérique devenant trop important. La méthode du lagrangien augmenté
est une alternative itérative décrite par Fortin et Glowinski dans [24]. Cette méthode permet aussi de
calculer la solution exacte, mais s’avère être aussi très coûteuse. Cependant, une solution relativement précise peut être obtenue avec un nombre restreint d’itérations. Cela permet de gagner largement en temps de calcul, au prix d’une incompressibilité non satisfaite exactement. Elle peut être ensuite
com-plétée par une étape de projection vectorielle [13] afin de satisfaire la contrainte. Une autre classe de
méthodes approximatives, à laquelle appartient la méthode qui nous intéresse, consiste à découpler la pression et la vitesse numériquement au moyen d’un schéma à pas fractionnaires. Ces schémas permettent de réduire significativement le temps de calcul pour obtenir une solution satisfaisant la contrainte d’incompressibilité, au prix d’une certaine dégradation de la précision.
Cette méthode étant très utilisée, de nombreuses études théoriques et numériques ont été réa-lisées discutant de la stabilité, de la précision et de leur gain de temps de calcul important. L’état
Les plus utilisées d’entre-elles sont les méthodes de correction de pression. Elles ont été introduites
par Chorin-Temam [14, 74], puis ont été améliorées par Goda [27] (schéma incrémental standard),
et plus récemment par Timmermans [75] (schéma incrémental rotationnel). Lors de chaque pas de
temps, la résolution est scindée en deux étapes. La pression est explicitée dans un premier temps de façon à prédire la vitesse. Ensuite, en projetant cette vitesse dans un espace adapté lors d’une seconde étape, la vitesse solénoïdale et la pression sont calculées. L’équation à résoudre sur la pression, ou l’incrément de pression, est une équation de Poisson obtenue à partir de l’équation de la quantité
de mouvement et de la contrainte d’incompressibilité. Dans [72] et [31], les auteurs ont démontré
la stabilité et les ordres de convergence que l’on peut espérer avec de telles approches. Le schéma
de correction de vitesse est une alternative moins connue, développée par Orszag dans [56] (schéma
standard incrémental) et Karniadakis dans [38] (schema rotationnel incrémental) et plus récemment
par Guermond et Shen dans [33]. Elle consiste à échanger les deux étapes. Ces deux schémas ont
des caractéristiques numériques très proches, mais, des indices numériques montrent dans [38] que
le schéma de correction de vitesse serait plus stable. Cela a été remarqué pour des discrétisations
temporelles d’ordre élevé dans [38] et avec les équations de Navier-Stokes dans [18]. Dans ce dernier
article, les auteurs proposent un schéma inconditionnellement stable grâce à une implémentation ori-ginale du terme d’inertie.
Dans ce chapitre, nous allons présenter les méthodes que sont la correction de pression et la correction de vitesse dans le cadre des conditions limites de Dirichlet. Nous détaillerons ensuite les difficultés pouvant apparaître lors de leurs implémentations, en particulier lors de l’étape de Poisson. Nous terminerons par un certain nombre d’expériences numériques afin de mettre en évidence l’im-portance des choix d’implémentation, et les caractéristiques numériques des schémas. Enfin, nous conclurons par un cas physique.
1. MÉTHODES DE SPLITTING 21
Dans un premier temps, introduisons quelques notations. L’espace de Lebesgue des fonctions aux
carrés intégrables L2(Ω) est pourvu du produit scalaire :
(φ, ψ) = Z Ωφψ dx et de la norme induite : kψkL2(Ω) = Z Ω|ψ(x)| 2 1 2 .
Nous découpons l’intervalle de temps [0, t∗] en N subdivisions de longueur ∆t = t∗
N, appelées
pas de temps, et nous définissons tn= n∆t, pour tout n, 0 ≤ n ≤ N . Soit ϕ0, ϕ1, ..., ϕN une suite de
fonctions de E = L2. Nous notons cette suite ϕ∆t, et nous définissons la norme discrète suivante :
||ϕ∆t||l2(E) = ∆t N X k=0 ||ϕk||2E ! 1 2 (1.0.1) En pratique, l’estimation d’erreur suivante peut être utilisée :
||ϕ||2E(t∗
) = ||ϕ( · , t∗||E (1.0.2)
Enfin, les lettres latines écrites en gras telles que u, w, f, etc, représentent des quantités vecto-rielles, tandis que les majuscules (ex. X, etc) sont des fonctions sur des champs vectoriels.
1.1 Les schémas de résolution du problème de Navier-Stokes
Nous considérons un domaine Lipschitzien Ω ⊂ IRd, (d=2 ou 3), n la normale unitaire à la
frontière Γ = ∂Ω dirigée vers l’extérieur et un point quelconque de Ω sera noté x. Notre étude
consiste, pour un intervalle de temps donné [0, t∗] et une condition initiale nulle : u(., 0), à calculer
les champs de vitesse u = u(x, t) et de pression p = p(x, t) vérifiant :
ρ (∂tu+ (u · ∇)u) − ∇ · µ
∇u + ∇uT+ ∇p = f dans Ω×]0, t∗] (1.1.3)
∇· u = 0 dans Ω×]0, t∗] (1.1.4)
u= g sur Γ×]0, t∗] (1.1.5)
où ρ et µ sont respectivement la masse volumique et la viscosité dynamique de l’écoulement. La force volumique f = f(x, t) et la condition limite g = g(x, t) sont connues. Dans un souci de simplicité, nous choisissons g = 0 et les caractéristiques du fluide constantes en temps et en espace. Nous négligeons aussi le terme d’inertie réduisant ainsi le système aux équations de Stokes instationnaire. Finalement le problème qui nous intéresse peut s’écrire :
ρ∂tu− µ∆u + ∇p = f dans Ω×]0, t∗] (1.1.6)
∇· u = 0 dans Ω×]0, t∗] (1.1.7)
u= 0 sur Γ×]0, t∗] (1.1.8)
Il est intéressant de noter que les termes ∆u et ∇·
∇u + (∇u)Tne sont parfaitement
équiva-lents que lorsque la contrainte d’incompressibilité est satisfaite :
∇ · ∇u + (∇u)T= ∆u + ∇(∇ · u)
Pour résoudre ce problème (1.1.6)-(1.1.8), Nous commençons par "casser" la continuité en temps
des quantités u et p, solutions de ce problème, en ne cherchant à en déterminer leurs valeurs (u(., tn))
0≤n≤N
et (p(., tn))
0≤n≤N uniquement sur le découpage temporel en utilisant un schéma temporel classique.
Ainsi, une première approximation consistera à calculer deux suites (¯un)0≤n≤N et (¯pn)0≤n≤N d’une
manière itérative solutions de la version semi-discrète suivante :
ρα¯u n+1+ β ¯un+ γ ¯un−1 ∆t − µ∆¯u n+1+ ∇¯pn+1 = fn+1 dans Ω, (1.1.9) ∇.¯un+1 = 0 dans Ω, (1.1.10) ¯ un+1 = 0 sur Γ (1.1.11)
1.1. LES SCHÉMAS DE RÉSOLUTION DU PROBLÈME DENAVIER-STOKES 23
La valeur des paramètres α, β, γ dépend du schéma temporel utilisé, ici : – α = 1, β = −1, γ = 0 pour le schéma d’Euler du premier ordre ;
– α = 3
2, β = −2, γ =
1
2 pour la différence rétrograde du second ordre.
Ce système est particulièrement coûteux à résoudre en raison de la contrainte d’incompressibi-lité et du couplage vitesse-pression. Plusieurs méthodes existent pour découpler ce système parmi lesquels : la méthode d’Uzawa qui consiste en un découplage algébrique exact, la méthode du lagran-gien augmenté qui est une méthode itérative exacte, et les méthodes de time-splitting : la correction de vitesse et la correction de pression. Nous présentons ici rapidement les méthodes exactes, et en particulier la méthode de lagrangien augmenté que nous utiliserons dans le chapitre 3. Ensuite, nous présenterons plus en détails les méthodes de splitting qui nous intéressent plus particulièrement.
1.1.1 Méthodes exactes
Cette section a pour but de présenter la théorie garantissant l’existence et l’unicité des solutions du problème de Stokes (1.1.12)-(1.1.12) et introduire quelques algorithmes pour découpler la vitesse et la pression présentes dans le problème de Stokes. Toujours dans un but de simplicité, nous allons réduire les équations de Stokes instationnaire à celles de Stokes stationnaire : trouver u et p solutions de
−µ∆ u + ∇p = f dans Ω, (1.1.12)
∇ · u = 0 dans Ω. (1.1.13)
Une fois discrétisé par la méthode d’approximation de notre choix, le problème de Stokes se présente sous forme d’un système algébrique
[K] u + [C] p = [M ] f , (1.1.14)
[C]Tu= 0. (1.1.15)
Les matrices de rigidité [K] et de masse [M ] sont carrées de IRN,N, la matrice du gradient [C] est
une matrice rectangulaire de IRN,M et la matrice [C]T représente la divergence discrète. La donnée
f est un vecteur de IRN et les inconnues sont les vecteurs u de IRN et p de IRM avec N et M deux
entiers. On notera que les matrices sont écrites en gras quand le résultat de leur application est un champ vectoriel.
Le système (1.1.14)-(1.1.15) est bien posé et admet une solution unique continue par rapport aux données (donc stable) si :
1. la matrice [K] est symétrique, définie positive sur IRN,
2. la matrice [C] est injective (son noyau est réduit au vecteur nul). 1.1.1.1 Méthode d’Uzawa
On montre que le système (1.1.14)-(1.1.15) admet une solution unique que l’on peut obtenir en découplant la vitesse et la pression en résolvant d’abord
[S] p = b, (1.1.16) avec [S] = [C]T[K]−1[C], (1.1.17) b = [C]T[K]−1[M ] f , (1.1.18) et ensuite [K] u = [M ]f − [C] p. (1.1.19)
Il est rare d’inverser la matrice [C]T[K]−1[C] pour calculer la pression, notament pour le cas
tridimensionnel où les calculs deviennent rapidement impossibles. On préfère résoudre itérativement
le système (1.1.16) en profitant du caractère symétrique et défini positif de la matrice [S] [24]. Une
méthode itérative du type gradient se prête bien à cette classe de problèmes. En effet, on sait que résoudre (1.1.16) revient de manière équivalente à minimiser la fonctionnelle
J (q) = 1
2
1.1. LES SCHÉMAS DE RÉSOLUTION DU PROBLÈME DENAVIER-STOKES 25
Par ailleurs on introduit la fonctionnelle :
K(q) = 1
2
[K] u(q), u(q). (1.1.21)
Les deux fonctionnelles J et K sont égales à une constante additive près : elles admettent donc le même minimum. La solution de (1.1.16) est l’unique p caractérisée par
K(p) = inf
q∈IRMK(q) avec [K] u(q) = [M ]f − [C] q. (1.1.22)
Algorithme d’Uzawa
Pour résoudre le problème de minimisation (1.1.22), on part d’un vecteur donné p0 ∈ IRM, d’une
suite de vecteurs appelés directions, wm ∈ IRmà choisir, et on construit la suite des itérés pm ∈ IRM
tels que
pm+1 = pm− ρmwm, (1.1.23)
où le scalaire ρm ∈ IR minimise K(pm− ρwm) par rapport à ρ :
K(pm− ρmwm) = inf
ρ∈IRK(p
m− ρwm). (1.1.24)
Les algorithmes varient par le choix des vecteurs de directions wm ∈ IRm. L’algorithme d’Uzawa [5]
correspond au choix wm = g
m, où gmdésigne le gradient de K(p
m). Il s’énonce : à partir du vecteur
p0 ∈ IRM on calcule u0 ∈ IRN tel que
[K] u0 = ρf − [C] p0.
Ensuite, pour tout m ≥ 0, connaissant um ∈ IRN et pm ∈ IRM, une itération en vitesse-pression
s’écrit : gm = −[C]Tum, [K] zm = [C] gm, ρm = kg mk2 ([C] gm, zm), pm+1 = pm− ρmwm, um+1 = um+ ρmzm.
1.1.1.2 Lagrangien augmenté
On peut interpréter le système (1.1.14)-(1.1.15) comme étant un problème de point-selle. On
in-troduit le lagrangien (Fortin [24]) défini sur IRN × IRM par :
L(w, q) = 1
2([K] w, w) +
[C]Tw, q+f, w. (1.1.25)
Le système (1.1.14)-(1.1.15) est équivalent à chercher le point selle (u, p) de la fonctionnelle L :
∀w ∈ IRN, ∀q ∈ IRM, L(u, q) ≤ L(u, p) ≤ L(w, q) (1.1.26)
Le choix du lagrangien n’est pas unique, on peut définir toute une famille. Par exemple, pour
r ≥ 0, on peut choisir : Lr(w, q) = 1 2([K] w, w) + r 2k[C] Twk2+ [C]Tw, q+f, w.
Toutes ces fonctionnelles, appelées lagrangien augmenté, ont le même point-selle. Le paramètre
r joue un rôle important dans l’accélération de la convergence des algorithmes itératifs pour résoudre
(1.1.16) (voir [24]).
Le point-selle de la fonctionnelle Lr(w, q) est l’unique solution du problème
−µ∆ u + ∇(p − r ∇ · u) = f dans Ω,
∇ · u = 0 dans Ω.
Ce dernier problème est aussi appelé formulation pénalisée du problème de Stokes. Notons que cette formulation n’est efficace que pour des paramètres r très élevés, ce qui a pour conséquence l’augmentation du nombre de condition du système à résoudre. Elle n’est pas recommandable pour les problèmes instationnaires.
Ce système est ensuite résolu par un processus itératif, là aussi appelé algorithme d’Uzawa : on cherche une suite de vecteur
−µ∆u(k+1)− r∇∇ · u(k+1)= −∇p(k)+ f dans Ω. (1.1.27)
p(k+1)+ dp∇ · u(k+1) = p(k) dans Ω. (1.1.28)
1.1. LES SCHÉMAS DE RÉSOLUTION DU PROBLÈME DENAVIER-STOKES 27
où l’indice k correspondant aux itérations nécessaires pour la convergence du processus itératif. Le nouveau paramètre dp permet lui aussi d’accélérer la convergence. Il est généralement choisi égal à r. La solution du problème (1.1.9)-(1.1.11) est obtenue à convergence de ce processus, c’est à dire que
lorsque ∇· uk+1 < ε on a u = uk+1et p = pk+1.
Remarques
On pourra remarquer que la méthode de lagrangien augmenté avec dp = r est équivalente à un
algorithme d’Uzawa dans lequel on aurait fixé ρm = r = dp.
Ces méthodes sont tout aussi valables en instationnaire, la diagonale de [K] étant simplement
alourdie d’un terme α
∆t, ses propriétés sont inchangées.
De même, il est possible d’utiliser ces méthodes en multiphasique. Dans ce contexte, il peut être
1.1.2 Correction de pression
Le schéma de correction de pression consiste à décomposer les équations (1.1.9)-(1.1.11) en deux sous-problèmes. Le premier étant un problème de prédiction-diffusion qui va calculer une prédic-tion du champ de vitesse qui contiendra toute la physique de l’écoulement sans tenir compte de la
contrainte d’incompressibilité et en explicitant la pression : chercher u∗,n+1tel que :
ραu
∗,n+1+ βun+ γun−1
∆t − µ∆u
∗,n+1+ ∇p∗ = fn+1 dans Ω (1.1.30) u∗,n+1= 0 sur Γ (1.1.31)
La pression explicite p∗permet de passer du schéma non-incrémental (p∗ = 0) introduit par
Cho-rin et Témam au schéma incrémental (p∗ = pn) proposé par Goda.
La deuxième étape est une correction de l’erreur commise obtenue en soustrayant l’étape précé-dente au système (1.1.9)-(1.1.11). Elle permet de calculer la pression et de corriger la vitesse pour
rendre cette dernière solénoïdale : chercher (un+1, ϕn+1) tels que :
ρα ∆t un+1− u∗,n+1+ ∇ϕn+1 = 0 dans Ω, (1.1.32) ∇· un+1 = 0 dans Ω, (1.1.33) un+1· n = 0 sur Γ (1.1.34)
Où ϕ est défini par :
ϕn+1 = pn+1− p∗ + χµ∇ · u∗,n+1 (1.1.35)
Le paramètre χ est utilisé pour choisir entre la forme standard (χ = 0) qui néglige l’erreur com-mise sur le terme de viscosité et la forme rotationnelle (χ = 1) proposée par Timmermans et al.. Pour comprendre le terme rotationnel dans (1.1.35), nous remarquons qu’en appliquant deux fois l’opéra-teur rotationnel sur l’équation (1.1.32), nous avons :
∇ × ∇ × u∗,n+1 = ∇ × ∇ × un+1+ ∇ × ∇ × ∆t
ρα∇ϕ
n+1
= ∇ × ∇ × un+1
1.1. LES SCHÉMAS DE RÉSOLUTION DU PROBLÈME DENAVIER-STOKES 29
Ainsi, en prenant la somme des équations (1.1.30) et (1.1.32), nous obtenons :
ραu
n+1+ βun+ γun−1
∆t − µ∆u
n+1+ ∇pn+1= fn+1+ µ(1 − χ)∇(∇.u∗,n+1) (1.1.37)
Le schéma rotationnel est donc consistant avec (1.1.9) en annulant le terme µ∇(∇.u∗,n+1). Il
per-met donc de réduire les erreurs commises en améliorant parfois l’ordre de convergence. Cependant, ce terme n’a de sens que si ρ et µ sont constants, ce schéma n’est donc pas toujours utilisable, en particulier, avec des écoulements multiphasiques.
Nous pouvons réécrire la deuxième étape (1.1.32)-(1.1.34) sous la forme équivalente d’une
équa-tion de Poisson sur ϕn+1 obtenue en appliquant l’opérateur divergence sur l’équation (1.1.32) :
chercher(ϕn+1) tel que :
∆t
αρ∆ϕ
n+1 = ∇ · u∗,n+1 dans Ω, (1.1.38)
C.L.(ϕn+1) sur Γ (1.1.39)
La vitesse et la pression sont donc mises à jour avec les relations (1.1.32) et (1.1.35), c’est à dire :
pn+1 = pn+ ϕn+1− χµ∇.u∗,n+1 (1.1.40)
un+1 = u∗,n+1− ∆t
ρα∇ϕ
n+1 (1.1.41)
Cette nouvelle forme de l’étape de correction met en évidence la nécessité de définir une
condi-tion limite C.L.(ϕn+1) sur l’incrément de pression qui n’est, a priori, pas donnée par la physique.
L’approche classique consiste à utiliser les conditions limites issues de la décomposition de Hodge-Helmholtz (1.1.50), ce qui amène à utiliser des conditions de type Neumann homogène, là où une condition de type Dirichlet est imposée sur la vitesse. Cette condition limite n’est évidement pas phy-sique. En particulier, si l’on considère le schéma incrémental standard, elle revient à imposer d’après (1.1.35) :
Elle provoque donc une couche limite sur la pression qui est une source des erreurs de splitting. Le schéma incrémental rotationnel améliore la situation puisque, cette fois-ci, la condition limite amène à (1.1.43) (toujours via (1.1.35)) qui est une condition limite consistante sur la pression. L’erreur de
splitting se manifeste donc maintenant uniquement sur la composante tangentielle de la vitesse un+1.
∂npn+1|Γ =
fn+1− µ∇ × ∇ × un+1 · n|Γ (1.1.43)
En conclusion, la résolution se fera en trois étapes :
– Prédiction-diffusion : chercher u∗,n+1 tel que :
ραu
∗,n+1+ βun+ γun−1
∆t − µ∆u
∗,n+1+ ∇p∗ = fn+1 dans Ω (1.1.44) u∗,n+1= 0 sur Γ (1.1.45)
– Correction : chercher ϕn+1 tel que :
∆t αρ∆ϕ n+1 = ∇.u∗,n+1 dans Ω, (1.1.46) ∂nϕn+1 = 0 sur Γ (1.1.47) – Conclusion : calculer (un+1, pn+1) : pn+1 = p∗+ ϕn+1− χµ∇.u∗,n+1 (1.1.48) un+1 = u∗,n+1− ∆t ρα∇ϕ n+1 (1.1.49)
1.1. LES SCHÉMAS DE RÉSOLUTION DU PROBLÈME DENAVIER-STOKES 31
Ce schéma a fait l’objet de nombreuses études mathématiques. Spatialement, la seule source d’er-reur se trouve dans la condition limite sur la pression ou son incrément. Dans le cas de Dirichlet sur la vitesse, la condition de Neumann sur la pression ou son incrément est imposée de manière "faible" (voir section (1.3.1)). On observe que la couche limite artificielle en pression ne pollue pas la
pré-cision spatiale (voir [30]) de la discrétisation qui, dans notre cas, est d’ordre deux en vitesse et en
pression. Il est inconditionnellement stable et assure une divergence nulle à la précision machine. De
plus, les ordres de convergence temporels notés dans le tableau 1.1 ont été démontrés (voir [30]).
Schéma Vitesse Pression
Non-incrémental standard 1 1/2
Incrémental standard 2 1
Incrémental rotationnel 2 3/2
Tableau 1.1 – Ordres de convergence temporelle démontrés pour le schéma de correction de pression.
Des expériences numériques [32] permettent de penser que l’ordre 1 en pression avec le schéma
incrémental standard est principalement dû à la condition limite ∂np = 0 tandis que l’ordre 3/2 avec
le schéma rotationnel est, lui, dû aux singularités des coins. Cela a été illustré par les auteurs en ob-servant que les erreurs par rapport à une solution analytique étaient principalement réparties sur le bord avec le schéma standard et dans les coins avec le schéma rotationnel. Avec une discrétisation polaire, on voit clairement que le niveau d’erreur sur le bord du domaine avec la version rotationnelle et du même ordre de grandeur que dans le domaine, et l’ordre de convergence mesuré est bel et bien de deux.
Dans [44] les auteurs proposent une version de la correction de pression non incrémentale qui per-met d’obtenir des ordres de convergence plus élevés (3 pour la vitesse et la pression), tout en restant inconditionnellement stable. Pour cela, ils proposent de tenir compte de l’incrément de pression pour écrire la condition limite sur la vitesse prédite :
u∗,n+1= g + ∆t
ραϕ
∗
où ϕ∗ est une extrapolation de ϕn+1. Ainsi, lorsque l’on corrige la vitesse avec la relation (1.1.49),
l’erreur sur la composante tangentielle :
un+1= g − ∆t
ραϕ
n+1
est réduite et devient :
un+1= g − ∆t
ρα(ϕ
n+1− ϕ∗)
Toutefois, utilisant une discrétisation spatiale d’ordre 2, nous ne nous sommes pas intéressés plus en détails à cette proposition, nous limitant donc à l’ordre 2 en temps. De plus, par la suite, nous ne traiterons pas du schéma non-incrémental, celui-ci n’ayant aucun avantage face à la version
1.1. LES SCHÉMAS DE RÉSOLUTION DU PROBLÈME DENAVIER-STOKES 33
Lien avec la décomposition de Hodge-Helmholtz On définit H l’espace fonctionnel suivant :
H = {u ∈ H(div, Ω) : ∇ · u = 0, u · n = 0}
On peut démontrer (voir la démonstration complète dans [26]) que :
H⊥ =n∇ϕ : ϕ ∈ H1(Ω)o
Ainsi, on nommera décomposition de Hodge-Helmholtz la décomposition suivante :
L2(Ω) = H ⊕ H⊥ (1.1.50)
En termes de fonctions, si u ∈ L2(Ω), cette décomposition nous permet d’affirmer qu’il existe,
v ∈ H et ϕ ∈ H1(Ω)/IR tels que :
u= v + ∇ϕ dans Ω, (1.1.51)
En appliquant l’opérateur divergence sur cette équation, on peut trouver une équation permettant de trouver ϕ en utilisant une condition limite obtenue directement à partir de (1.1.51) (dans le cas où
u · n =0) :
∆ϕ = ∇ · u dans Ω, (1.1.52)
∂nϕ = 0 sur Γ (1.1.53)
Ce système possède une et unique solution.
On peut faire un parallèle avec la correction de pression en remarquant que l’étape de correction
(1.1.32) est une décomposition de Hodge-Helmholtz de la vitesse u∗,n+1 ∈ L2(Ω) en un+1 ∈ H et
∇∆tραϕn+1 ∈ H⊥. On pourra remarquer que ce parallèle n’est possible que si la masse volumique est
1.1.3 Correction de vitesse
Ce schéma est très proche du schéma précédent puisqu’il consiste à inverser les deux sous-étapes. Nous partons donc de la version semi-discrète du problème de Stokes instationnaire (1.1.9)-(1.1.11) :
chercher(¯un+1, ¯pn+1) tels que :
ρα¯u n+1+ β ¯un+ γ ¯un−1 ∆t − µ∆¯u n+1+ ∇¯pn+1 = fn+1 dans Ω, (1.1.54) ∇.¯un+1 = 0 dans Ω, (1.1.55) ¯ un+1 = 0 sur Γ (1.1.56)
Où la valeur des paramètres α, β, γ dépend du schéma temporel utilisé, ici : – α = 1, β = −1, γ = 0 pour le schéma d’Euler du premier ordre ;
– α = 3
2, β = −2, γ =
1
2 pour la différence rétrograde du second ordre.
Nous procédons ensuite comme précédemment en décomposant les équations (1.1.54)-(1.1.56) en deux sous-problèmes. Dans un premier temps, le terme visqueux est explicité et nous calculons un champ de vitesse solénoïdal et une pression sans tenir compte de toute la physique de l’écoulement :
chercher u∗,n+1et pn+1tels que :
ραu ∗,n+1+ βun+ γun−1 ∆t − µ∆u n+ ∇pn+1 = fn+1 dans Ω (1.1.57) ∇.u∗,n+1 = 0 dans Ω, (1.1.58) u∗,n+1· n = 0 sur Γ (1.1.59)
La deuxième étape est une étape de correction de la vitesse prédite u∗,n+1 contenant toute la
physique n’ayant pas été prise en compte lors de l’étape précédente, ici les contraintes visqueuses :
chercher un+1tel que :
ρα
∆t
un+1− u∗,n+1− µ∆un+1− un= 0 dans Ω, (1.1.60)
1.1. LES SCHÉMAS DE RÉSOLUTION DU PROBLÈME DENAVIER-STOKES 35
Comme pour le schéma de correction de pression, il existe une version rotationnelle qui part du
principe que ∆¯un+1 = −∇ × ∇ × ¯un+1, ce terme n’a donc de sens que si ρ et µ sont constants et
ce schéma n’est donc pas toujours utilisable, en particulier pour les écoulements multiphasiques. En utilisant le même principe de construction, ce schéma s’écrit :
Prédiction : chercher u∗,n+1et pn+1tels que :
ραu ∗,n+1+ βun+ γun−1 ∆t + µ∇ × ∇ × u n+ ∇pn+1 = fn+1 dans Ω (1.1.62) ∇.u∗,n+1 = 0 dans Ω, (1.1.63) u∗,n+1· n = 0 sur Γ (1.1.64)
Correction : chercher un+1tel que :
ρα
∆t
un+1− u∗,n+1− µ∆un+1− µ∇ × ∇ × un = 0 dans Ω, (1.1.65)
un+1 = 0 sur Γ (1.1.66)
Dans les deux cas (standard et rotationnel), les étapes de prédiction et de correction peuvent être réécrites sous une forme plus simple. Pour obtenir une forme simplifiée de l’étape de correction, il suf-fit de sommer les deux étapes de prédiction et de correction (1.1.57 )+(1.1.60) ou (1.1.62 )+(1.1.65),
ce qui donne dans le cas standard et dans le cas rotationnel le système suivant : chercher un+1 tel
que : ραu n+1+ βun+ γun−1 ∆t − µ∆u n+1+ ∇pn+1 = fn+1 dans Ω (1.1.67) un+1 = 0 sur Γ (1.1.68)
Pour l’étape de prédiction, il est possible de la réécrire sous la forme d’une équation de Poisson. Pour la version standard (resp. rotationnelle), il faut dans un premier temps soustraire l’étape (1.1.57)
(resp. (1.1.62)) prise au pas de temps tk à l’étape (1.1.57) (resp. (1.1.62)) prise au pas de temps tk+1
et simplifier l’expression obtenue avec l’étape (1.1.60) (resp. (1.1.65)). Ce qui donne dans le cas
standard et dans le cas rotationnel le système équivalent suivant : chercher u∗,n+1et ϕn+1tels que :
ραu
∗,n+1+ (β − α)un+ (γ − β)un−1− γun−2
∆t + ∇ϕ
n+1 = fn+1
− fn dans Ω, (1.1.69)
∇.u∗,n+1 = 0 dans Ω, (1.1.70)
u∗,n+1· n = 0 sur Γ (1.1.71)
ϕ étant défini par la relation suivante, où le paramètre χ est utilisé pour choisir entre le schéma
incrémental standard (χ = 0) et celui rotationnel (χ = 1) :
ϕn+1 = pn+1− pn+ χµ∇.un (1.1.72)
En appliquant l’opérateur divergence sur l’équation (1.1.69), nous obtenons finalement le
pro-blème de Poisson suivant : chercher ϕn+1tel que :
∆ϕn+1 = ∇ ·
− ρ
∆t
(β − α)un+ (γ − β)un−1− γun−2+ fn+1− fn
dans Ω, (1.1.73)
C.L.(ϕn+1) sur Γ (1.1.74)
Enfin, la vitesse et la pression sont mises à jour avec les relations (1.1.69) et (1.1.72), c’est à dire :
αu∗,n+1= −(β − α)un− (γ − β)un−1+ γun−2+ ∆t
ρ
fn+1− fn− ∇ϕn+1 (1.1.75)
pn+1= pn+ ϕn+1− χµ∇.un (1.1.76)
Comme dans le cadre de la correction de pression, cette nouvelle forme de l’étape de prédiction
met en évidence la nécessité de définir une condition limite C.L.(ϕn+1) sur la pression qui n’est
a priori pas donnée par la physique. L’approche classique consiste à utiliser les conditions limites issues de la décomposition de Hodge-Helmholtz (1.1.50), ce qui amène à utiliser des conditions de type Neumann sur l’incrément de pression là où une condition de type Dirichlet est imposée sur la vitesse. Cette condition limite n’est évidement pas physique. En particulier, si l’on considère le
schéma incrémental standard, (1.1.60) implique ∆un+1
1.1. LES SCHÉMAS DE RÉSOLUTION DU PROBLÈME DENAVIER-STOKES 37
(1.1.57), donne pour la pression
∂npn+1|Γ =
fk+1+ µ∆u0 · n|Γ (1.1.77)
Elle provoque donc une couche limite artificielle sur la pression qui est une source des erreurs de splitting. Le schéma incrémental rotationnel améliore la situation puisque cette fois-ci, la condition limite amène à (1.1.78) qui est une condition limite consistante sur la pression. L’erreur de splitting
se manifeste donc maintenant uniquement sur la composante tangentielle de la vitesse un+1.
∂npn+1|Γ =
fn+1+ µ∆un+1 · n|Γ (1.1.78)
En conclusion, la résolution se fera en trois étapes :
– Prédiction : chercher ϕn+1tel que :
∆t
ρ ∆ϕ
n+1
= ∇ ·h−(β − α)un− (γ − β)un−1+ γun−2
+ ∆t ρ fn+1− fn # dans Ω, (1.1.79) ∂nϕn+1 = fn+1− fn · n sur Γ (1.1.80) – C alculer u∗,n+1et pn+1: pn+1= pn+ ϕn+1− χµ∇.un (1.1.81)
αu∗,n+1= −(β − α)un− (γ − β)un−1+ γun−2
+ ∆t
ρ
fn+1− fn− ∇ϕn+1 (1.1.82)
– Correction-diffusion : chercher un+1tel que :
ραu
n+1+ βun+ γun−1
∆t − µ∆u
n+1+ ∇pn+1= fn+1 dans Ω (1.1.83)
Ce schéma a fait l’objet de moins d’études mathématiques que la correction de pression. Toute-fois la majorité des résultats sont toujours valables. Spatialement, la seule source d’erreur se trouve toujours dans la condition limite sur l’incrément de pression. Dans le cas de Dirichlet sur la vitesse, la condition de Neumann sur la pression ou son incrément est imposé de manière "faible" (voir sec-tion 1.3.1). On observe que la couche limite artificielle en pression ne pollue pas la précision spatiale
(voir [30]) de la discrétisation qui, dans notre cas, est d’ordre deux en vitesse et en pression. Il est
inconditionnellement stable et assure une divergence nulle à la précision machine. De plus, les ordres
de convergence temporels notés dans le tableau 1.2 ont été démontrés (voir [30]).
Schéma Vitesse Pression
Non-incrémental standard 1 1/2
Incrémental standard 2 1
Incrémental rotationnel 2 3/2
Tableau 1.2 – Ordres de convergence temporelle démontrés pour le schéma de correction de vitesse.
Comme en correction de pression, les auteurs de [44] proposent aussi une version de la correction
de vitesse qui permettrais d’obtenir des ordres de convergence plus élevés, de l’ordre de 3 pour la vitesse et la pression, tout en restant inconditionnellement stable. Pour cela, ils proposent là aussi de modifier la condition limite lors de la prédiction afin de réduire l’erreur sur la composante tangen-tielle. Toutefois, utilisant une discrétisation spatiale d’ordre 2, nous ne nous sommes pas intéressé plus en détails à cette proposition, nous limitant donc à l’ordre 2 en temps.
1.1. LES SCHÉMAS DE RÉSOLUTION DU PROBLÈME DENAVIER-STOKES 39
Lien avec la décomposition de Hodge-Helmholtz
On rappelle la décomposition de Hodge-Helmholtz (1.1.50) définie dans la section précédente :
L2(Ω) = H ⊕ H⊥ (1.1.85)
où les espaces fonctionnels sont définis par :
H = {u ∈ H(div, Ω) : ∇ · u = 0, u · n = 0} H⊥=n
∇ϕ : ϕ ∈ H1(Ω)o
En termes de fonctions, si u ∈ L2(Ω), cette décomposition nous permet d’affirmer qu’il existe,
v ∈ H et ϕ ∈ H1(Ω)/IR tel que :
u= v + ∇ϕ dans Ω (1.1.86)
De plus, nous avons un système permettant d’obtenir ϕ, et donc v par soustraction (dans le cas où
u · n =0) :
∆ϕ = ∇ · u dans Ω (1.1.87)
∂nϕ = 0 sur Γ (1.1.88)
On peut faire un parallèle avec la correction de vitesse en remarquant que l’étape de prédiction
(1.1.61) est une décomposition de Hodge-Helmholtz en αun+1 ∈ H et ∇∆t
ρ ϕ
n+1 ∈ H⊥de la quantité
suivante :
−(β − α)un− (γ − β)un−1+ γun−2+ ∆t
ρ
fn+1− fn
1.2 Extensions
En partant de ces schémas, il peut-être nécessaire de prendre en compte d’autres termes que ceux de Stokes qui peuvent être explicites ou implicites, linéaires ou non-linéaires. Les termes explicites
ne posent évidement pas de problèmes puisqu’ils sont contenus dans le second membre fn+1.
Terme inertiel
La manière la plus simple de prendre en compte le terme d’inertie consiste à le linéariser et à le
ra-jouter uniquement dans l’étape de diffusion. Ainsi, le terme (u· ∇)u devient ((2un− un−1) · ∇) u∗,n+1
en correction de pression et ((2un− un−1) · ∇) un+1en correction de vitesse. Cependant, de récents
travaux en correction de vitesse (voir [18]) tendent à montrer qu’il serait préférable d’expliciter ce
terme lors de l’étape de prédiction sur la pression et de corriger l’erreur commise lors de l’étape de diffusion grâce à la vitesse intermédiaire. C’est à dire :
– Prédiction : chercher ϕn+1tel que :
∆t
ρ ∆ϕ
n+1
= ∇ ·h−(β − α)un− (γ − β)un−1+ γun−2
+ ∆t f n+1− fn ρ − (u n · ∇)un !# dans Ω, (1.2.89) ∂nϕn+1 = fn+1− fn− ρ(un· ∇)un · n sur Γ (1.2.90) – C alculer un+1et pn+1: pn+1= pn+ ϕn+1− χµ∇.un (1.2.91)
αu∗,n+1= −(β − α)un− (γ − β)un−1+ γun−2
+ ∆t f n+1− fn− ∇ϕn+1 ρ − (u n · ∇)un ! (1.2.92)
– Correction-diffusion : chercher un+1tel que :
ρ αu n+1+ βun+ γun−1 ∆t + (u ∗,n+1 · ∇)un+1− (un· ∇)un ! −µ∆un+1+ ∇pn+1= fn+1 dans Ω (1.2.93) un+1= 0 sur Γ (1.2.94)
1.2. EXTENSIONS 41
Cette implémentation n’a pas été testée. Il semblerait que cela n’améliore pas particulièrement la précision du schéma, mais celui-ci serait (beaucoup) plus stable. Cependant, cette idée n’est pas transposable directement en correction de pression.
Écoulements multi-phasiques
Le modèle 1-fluide [39] permet l’étude d’écoulements multiphasiques, en considérant un fluide
équivalent dont les caractéristiques physiques sont amenées à varier dans l’espace. Cela ne change en rien la méthode de construction des schémas telle que décrite précédemment. Il y a, cepen-dant, deux différences. La première, concerne le terme de viscosité qui ne s’écrira plus µ∆u mais
∇ · µ∇u + ∇uT
. La seconde concerne l’étape de Poisson puisque l’on devra résoudre ∇∆t
ρ ∇ en
lieu et place de l’opérateur ∆t
ρ ∆. Cet opérateur peut devenir très coûteux à résoudre en cas de fort
gra-dient de masse volumique. À noter que les solveurs/préconditionneurs multigrille sont très adaptés à la résolution de cette équation. Attention, la forme rotationnelle des schémas de correction de vitesse et de correction de pression n’est pas valable dans ce cadre.
Termes linéaires : αu
Ces termes peuvent apparaître lorsque l’on considère des écoulements en milieu poreux ou lorsque
l’on utilise la pénalisation. Cette dernière, introduite dans [40,3, 4,12], est utilisée pour prendre en
compte des obstacles grâce à l’ajout d’un terme µ
KV dans Navier-Stokes où la perméabilité K tend
vers +∞ dans le fluide et vers 0 dans le solide. En pratique K sera égale à 1020 dans le fluide et
à 10−20 dans un solide. Ces termes linéaires ne posent pas de problèmes particuliers quant à leur
implémentation puisqu’il suffit de rajouter lors de l’étape de prédiction, un terme en µ
Ku
∗,n+1 et
dans la correction µ
K(un+1−u∗,n+1). Lors du passage à l’équation de Poisson (en appliquant l’opé-rateur divergence), cela conduira comme ci-dessus à considérer un Laplacien à coefficient variable
∇. ρ 1
∆t +
µ K
1.3 Implémentation et résolution
1.3.1 Discrétisation spatiale
La discrétisation spatiale est basée sur une méthode volumes finis selon un schéma centré d’ordre deux. Pour éviter les modes parasites, la pression est discrétisée sur une grille décalée de type Marker
and Cells [34] illustrée sur la figure 1.1. Un choix un peu particulier a été fait ici puisque les inconnues
scalaires sont situées aux coins des cellules du maillage.
FIGURE1.1 – Grille de type MAC telle qu’on l’utilise.
Les triangles bleus représentent les points de discrétisation de la vitesse horizontale, en rouge la vitesse verticale et les ronds noirs la pression et la température. Cette grille décalée nécessite quelques remarques quant à la discrétisation des conditions limites et de certains termes aux bords du domaine :
Dirichlet : nous avons la pression et la composante tangentielle de la vitesse discrétisées sur la limite, donc nous n’avons pas de difficultés pour imposer cette condition limite pour ces variables. En revanche, nous n’avons pas de point de vitesse normale sur la condition limite. Nous avons choisi d’imposer cette condition limite de Dirichlet avec un schéma centré, ou basculement, en
imposant uext+uint
2 = ulim. Pour cela, nous utiliserons la pénalisation introduite dans le
para-graphe précédent. Cela consiste à modifier l’équation volumique en rajoutant pour l’inconnue
uext un terme Bio
u
ext+ uint
2 − ulim
dans l’équation volumique qui est (mal) discrétisée.
Le paramètre Bio vaut en pratique 1040 sur les points de vitesses où une condition limite de
Dirichlet est imposée, et vaut 0 partout ailleurs. Ainsi, après un préconditionnement de Jacobi, les lignes de la matrice concernant ces points représentent exactement la condition limite.
