Parmi les nombreuses difficultés que peut poser la simulation d’écoulements incompressibles, nous nous sommes intéressés à la façon de découpler la vitesse et la pression afin d’obtenir, à moindre coût, une solution précise et satisfaisant la contrainte d’incompressibilité grâce à deux méthodes de time-splitting : la correction de pression et la correction de vitesse. Dans le premier chapitre de cette thèse, nous avons décris ces méthodes dans le cadre de conditions limites de Dirichlet et les difficultés pouvant apparaître lors de leurs implémentations, en particulier lors de l’étape sur la pression. Nous avons pu montrer que nous obtenions bien les ordres formels de ces méthodes, à savoir : deux en espace pour la vitesse et la pression, deux en temps pour la vitesse et entre 3/2 et deux en temps pour la pression.
Nous nous sommes ensuite intéressés aux conditions limites de sortie, et en particulier à deux d’entre elles : la condition limite de traction et la condition limite d’Orlanski ou condition limite non-réflective. Dans le second chapitre, consacré à la condition limite de traction, nous avons dans un premier temps montré que l’implémentation classique (qui consiste à fixer l’incrément de pression à la limite) ne permettait pas d’obtenir les ordres de convergences formels des méthodes utilisées. En effet, nous étions limités à une convergence d’ordre 1 en temps et en espace pour la vitesse et 1/2 en temps et en espace pour la pression. La version rotationnelle des schémas de correction de pression et de correction de vitesse permet d’éviter ce blocage numérique et d’obtenir un ordre deux en espace en vitesse et en pression, mais reste limité à un ordre 3/2 en temps en vitesse et un en temps en pression. De plus cette version n’est pas toujours utilisable, en particulier pour les écoulements multiphasiques avec la méthode à un fluide. Nous avons alors proposé une nouvelle implémentation de cette condi-tion limite. Nous avons montré qu’elle permet d’obtenir, pour la vitesse et la pression, les ordres de convergences formels des méthodes utilisées (deux en espace pour la vitesse et la pression, et deux en temps pour la vitesse et entre 3/2 et deux en temps pour la pression). Nous avons remarqué que la méthode utilisée pour trouver cette nouvelle implémentation de la condition limite est utilisable avec toutes les conditions limites linéaires. Celle-ci est résumée en annexe A.
Nous avons validé ces résultats analytiques par l’étude de trois cas physiques mettant en œuvre cette condition limite. Les deux premiers sont des écoulements 2D laminaires stationnaires dans des canaux. Le premier se situe en aval d’une marche descendante, le second se situe au niveau d’une bi-furcation. Dans le premier, nous avons pu montrer que nous obtenions bien une convergence du second ordre en espace. Dans le second, en raison de la géométrie, nous sommes limités à une convergence du premier ordre. Ce second cas test étant peu étudié dans la littérature, nous avons entrepris d’établir une solution de référence en détaillant les tourbillons qui apparaissent en fonction du nombre de Rey-nolds. Le dernier cas est un écoulement 2D instationnaire autour d’un obstacle dans un environnement ouvert dans lequel nous avons pu valider la convergence temporelle d’ordre deux. Nous avons aussi pu vérifier que la condition limite avais une faible influence sur l’écoulement.
Dans le troisième et dernier chapitre, nous nous sommes intéressés à la condition limite d’Orlanski qui nécessite la définition d’une certaine vitesse d’advection C dans la direction normale à la limite. Nous en avons proposé une nouvelle définition et nous l’avons comparé à d’autres formulations is-sues de la littérature dans le cadre de différentes implémentations de cette condition limite. Nous avons effectué cette comparaison sur trois écoulements de Poiseuille- Rayleigh-Bénard : le premier en 2D à Reynolds modéré (Re=10), puis à bas Reynolds (Re=0,1) en 2D et en 3D. Nous avons pu constater que la condition limite d’Orlanski se comporte plutôt bien sur ce cas en permettant de faire sortir les tourbillons sans trop les perturber (particulièrement en 2D pour Re=0,1 avec le lagrangien augmenté). Nous avons pu aussi observer que les méthodes de splitting nécessitaient des petits pas de temps pour donner de bons résultats, mais ce point n’a pas pu être expliqué dans le cadre de ce travail. Notre proposition de vitesse d’advection donne de bons résultats sur le premier cas, mais ne permet pas de supprimer totalement les perturbations liées à cette condition limite sur le second cas. Malheureusement, nous avons pu observer sur le cas bas Reynolds 3D que la condition limite génère d’importantes perturbations en correction de pression. Cela a aussi pu être confirmé avec le Lagran-gien augmenté, ce qui exclue l’explication des erreurs de splitting. L’origine de ces pertubations reste inconnue, mais est peut-être liée au fait que les Reynolds considérés soient faibles. Un certain nombre de points restent donc à éclaircir dans de prochains travaux.
En ce qui concerne les perspectives plus lointaines, nous pourrons nous attarder à poursuivre le travail entrepris autour des conditions limites impliquant des dérivées normales de la contrainte à la limite.
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