Diffusion de particules

(1)

Diffusion de particules

L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le Mans

(2)

Plan du cours

I. Les phénomènes de diffusion

II. Bilans de particules et loi de Fick

1. Définitions

2. Le bilan de particules

3. Loi de Fick

4. Coefficient de diffusion

III. Les équations de la diffusion

1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D)

2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D)

IV. Quelques pistes de résolution...

(3)

Les phénomènes de diffusion

Définition

Le phénomène de diffusion est un transport de matière (donc de

particules) qui tend à uniformiser la distribution, donc s’effectuant

dans le sens des concentrations décroissantes.

Conséquences

La diffusion est un phénomène irréversible

! Les phénomènes de transport sont multiples !

(4)

Les phénomènes de diffusion

Définition

Le phénomène de diffusion est un transport de matière (donc de

particules) qui tend à uniformiser la distribution, donc s’effectuant

dans le sens des concentrations décroissantes.

Conséquences

La diffusion est un phénomène irréversible

! Les phénomènes de transport sont multiples !

(5)

Les phénomènes de diffusion

Définition

Le phénomène de diffusion est un transport de matière (donc de

particules) qui tend à uniformiser la distribution, donc s’effectuant

dans le sens des concentrations décroissantes.

Conséquences

La diffusion est un phénomène irréversible

! Les phénomènes de transport sont multiples !

(6)

Les phénomènes de diffusion

Définition

Le phénomène de diffusion est un transport de matière (donc de

particules) qui tend à uniformiser la distribution, donc s’effectuant

dans le sens des concentrations décroissantes.

Conséquences

La diffusion est un phénomène irréversible

! Les phénomènes de transport sont multiples !

(7)

Plan du cours

I. Les phénomènes de diffusion

II. Bilans de particules et loi de Fick

1. Définitions

2. Le bilan de particules

3. Loi de Fick

4. Coefficient de diffusion

III. Les équations de la diffusion

1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D)

2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D)

IV. Quelques pistes de résolution...

(8)

Plan du cours

I. Les phénomènes de diffusion

II. Bilans de particules et loi de Fick

1. Définitions

2. Le bilan de particules

3. Loi de Fick

4. Coefficient de diffusion

III. Les équations de la diffusion

1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D)

2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D)

IV. Quelques pistes de résolution...

(9)

Quelques définitions

Définitions

La concentration particulaire n(x, y , z, t)

La densité de courant de particules

−

→

j

(x, y , z, t)

Le flux de particules Φ à travers S

(10)

Quelques définitions

Définitions

La concentration particulaire n(x, y , z, t)

La densité de courant de particules

−

→

j

(x, y , z, t)

Le flux de particules Φ à travers S

(11)

Quelques définitions

Définitions

La concentration particulaire n(x, y , z, t)

La densité de courant de particules

−

→

j

(x, y , z, t)

Le flux de particules Φ à travers S

(12)

Plan du cours

I. Les phénomènes de diffusion

II. Bilans de particules et loi de Fick

1. Définitions

2. Le bilan de particules

3. Loi de Fick

4. Coefficient de diffusion

III. Les équations de la diffusion

1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D)

2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D)

IV. Quelques pistes de résolution...

(13)

Bilan de particules unidimensionnel

Variation du nombre

de particules dans dV

=

Nb

de

parti-cules entrantes

−

Nb

de

parti-cules sortantes

∂n(x, t)

∂t

dV

=

j

(x, t) S

−

j

(x + dx, t) S

Equation de conservation locale de particules (1D)

∂n

∂t

= −

∂j

∂x

(14)

Bilan de particules unidimensionnel

Variation du nombre

de particules dans dV

=

Nb

de

parti-cules entrantes

−

Nb

de

parti-cules sortantes

∂n(x, t)

∂t

dV

=

j

(x, t) S

−

j

(x + dx, t) S

Equation de conservation locale de particules (1D)

∂n

∂t

= −

∂j

∂x

(15)

Bilan de particules unidimensionnel

Variation du nombre

de particules dans dV

=

Nb

de

parti-cules entrantes

−

Nb

de

parti-cules sortantes

∂n(x, t)

∂t

dV

=

j

(x, t) S

−

j

(x + dx, t) S

Equation de conservation locale de particules (1D)

∂n

∂t

= −

∂j

∂x

(16)

Bilan de particules tridimensionnel

On applique le principe de conservation du nombre de

particules sur un volume V entouré d’une surface fermée S

On applique le théorème de Green-Ostrogradski

Equation de conservation locale de particules (3D)

div

−

→

j

+

∂n

∂t

= 0

Sans perte ni création de matière

(17)

Bilan de particules tridimensionnel

On applique le principe de conservation du nombre de

particules sur un volume V entouré d’une surface fermée S

On applique le théorème de Green-Ostrogradski

Equation de conservation locale de particules (3D)

div

−

→

j

+

∂n

∂t

= 0

Sans perte ni création de matière

(18)

Bilan de particules tridimensionnel

On applique le principe de conservation du nombre de

particules sur un volume V entouré d’une surface fermée S

On applique le théorème de Green-Ostrogradski

Equation de conservation locale de particules (3D)

div

−

→

j

+

∂n

∂t

= 0

Sans perte ni création de matière

(19)

Plan du cours

I. Les phénomènes de diffusion

II. Bilans de particules et loi de Fick

1. Définitions

2. Le bilan de particules

3. Loi de Fick

4. Coefficient de diffusion

III. Les équations de la diffusion

1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D)

2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D)

IV. Quelques pistes de résolution...

(20)

Loi de Fick

A une dimension : j = −D

_∂x

∂n

A trois dimensions :

−

→

j

_{= −D}

−−→

grad(n)

D est le coefficient de diffusion (en m

2

(21)

Loi de Fick

A une dimension : j = −D

_∂x

∂n

A trois dimensions :

−

→

j

_{= −D}

−−→

grad(n)

D est le coefficient de diffusion (en m

2

(22)

Loi de Fick

A une dimension : j = −D

_∂x

∂n

A trois dimensions :

−

→

j

_{= −D}

−−→

grad(n)

D est le coefficient de diffusion (en m

2

(23)

Plan du cours

I. Les phénomènes de diffusion

II. Bilans de particules et loi de Fick

1. Définitions

2. Le bilan de particules

3. Loi de Fick

4. Coefficient de diffusion

III. Les équations de la diffusion

1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D)

2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D)

IV. Quelques pistes de résolution...

(24)

Exemples de coefficients de diffusion

Coefficients de diffusion (ou autodiffusion) de gaz sous une

atmosphère :

T

(K)

D

(m

2 .s

−

1 )

H2

dans H2

273 12, 85.10

−

5 H2

dans l’air

273 6, 11.10

−

5 H2O dans l’air

273 2, 19.10

−

5 O2

dans l’air

273 1, 78.10

−

5

(25)

Exemples de coefficients de diffusion

Coefficients de diffusion dans les liquides :

T

(K)

D

(m

2 .s

−

1 )

NaCl dans l’eau

298 1, 9.10

−

9 le sucre dans l’eau

298 0, 52.10

−

9 Coefficients de diffusion solide-solide :

Al dans Cu (à 298 K) : 1, 30.10

−

30 _m

2 _.s

−

1

(26)

Exemples de coefficients de diffusion

Coefficients de diffusion dans les liquides :

T

(K)

D

(m

2 .s

−

1 )

NaCl dans l’eau

298 1, 9.10

−

9 le sucre dans l’eau

298 0, 52.10

−

9 Coefficients de diffusion solide-solide :

Al dans Cu (à 298 K) : 1, 30.10

−

30 _m

2 _.s

−

1

(27)

Plan du cours

I. Les phénomènes de diffusion

II. Bilans de particules et loi de Fick

1. Définitions

2. Le bilan de particules

3. Loi de Fick

4. Coefficient de diffusion

III. Les équations de la diffusion

1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D)

2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D)

IV. Quelques pistes de résolution...

(28)

Plan du cours

I. Les phénomènes de diffusion

II. Bilans de particules et loi de Fick

1. Définitions

2. Le bilan de particules

3. Loi de Fick

4. Coefficient de diffusion

III. Les équations de la diffusion

1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D)

2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D)

IV. Quelques pistes de résolution...

(29)

L’équation de diffusion unidimensionnelle

En combinant :

La conservation de particules :

∂n

∂t

= −

∂j

∂x

La loi de Fick :

j

_{= −D}

∂n

∂x

On aboutit à :

Equation de diffusion 1D

∂n

∂t

= D

∂

2 n

∂x

2 Commentaires

(30)

L’équation de diffusion unidimensionnelle

En combinant :

La conservation de particules :

∂n

∂t

= −

∂j

∂x

La loi de Fick :

j

_{= −D}

∂n

∂x

On aboutit à :

Equation de diffusion 1D

∂n

∂t

= D

∂

2 n

∂x

2 Commentaires

(31)

L’équation de diffusion unidimensionnelle

En combinant :

La conservation de particules :

∂n

∂t

= −

∂j

∂x

La loi de Fick :

j

_{= −D}

∂n

∂x

On aboutit à :

Equation de diffusion 1D

∂n

∂t

= D

∂

2 n

∂x

2 Commentaires

(32)

Plan du cours

I. Les phénomènes de diffusion

II. Bilans de particules et loi de Fick

1. Définitions

2. Le bilan de particules

3. Loi de Fick

4. Coefficient de diffusion

III. Les équations de la diffusion

1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D)

2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D)

IV. Quelques pistes de résolution...

(33)

L’équation de diffusion tridimensionnelle

En combinant :

La conservation de particules : div

−

→

j

+

∂n

∂t

= 0

La loi de Fick :

−

→

j

= −D

−−→

grad(n)

On aboutit à :

Equation de diffusion 3D

∂n

∂t

= D∆n

Commentaires

(34)

L’équation de diffusion tridimensionnelle

En combinant :

La conservation de particules : div

−

→

j

+

∂n

∂t

= 0

La loi de Fick :

−

→

j

= −D

−−→

grad(n)

On aboutit à :

Equation de diffusion 3D

∂n

∂t

= D∆n

Commentaires

(35)

L’équation de diffusion tridimensionnelle

En combinant :

La conservation de particules : div

−

→

j

+

∂n

∂t

= 0

La loi de Fick :

−

→

j

= −D

−−→

grad(n)

On aboutit à :

Equation de diffusion 3D

∂n

∂t

= D∆n

Commentaires

(36)

Plan du cours

I. Les phénomènes de diffusion

II. Bilans de particules et loi de Fick

1. Définitions

2. Le bilan de particules

3. Loi de Fick

4. Coefficient de diffusion

III. Les équations de la diffusion

1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D)

2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D)

IV. Quelques pistes de résolution...

(37)

Plan du cours

I. Les phénomènes de diffusion

II. Bilans de particules et loi de Fick

1. Définitions

2. Le bilan de particules

3. Loi de Fick

4. Coefficient de diffusion

III. Les équations de la diffusion

1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D)

2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D)

IV. Quelques pistes de résolution...

(38)

Ordres de grandeurs

Basé sur une analyse dimensionnelle

Aboutit à :

τ ≈

l

2 D

Exemple : grenadine dans l’eau sur l ≈ 10 cm

τ ≈

0, 1

2

10 −

9 ≈ 10

7

(39)

Ordres de grandeurs

Basé sur une analyse dimensionnelle

Aboutit à :

τ ≈

l

2 D

Exemple : grenadine dans l’eau sur l ≈ 10 cm

τ ≈

0, 1

2

10 −

9 ≈ 10

7

(40)

Ordres de grandeurs

Basé sur une analyse dimensionnelle

Aboutit à :

τ ≈

l

2 D

Exemple : grenadine dans l’eau sur l ≈ 10 cm

τ ≈

0, 1

2

10 −

9 ≈ 10

7

(41)

Plan du cours

I. Les phénomènes de diffusion

II. Bilans de particules et loi de Fick

1. Définitions

2. Le bilan de particules

3. Loi de Fick

4. Coefficient de diffusion

III. Les équations de la diffusion

1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D)

2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D)

IV. Quelques pistes de résolution...

(42)

Le régime stationnaire

Régime stationnaire = pas d’évolution temporelle :

∂n

∂t

= 0

A une dimension, la concentration varie linéairement

Exemples

(43)

Le régime stationnaire

Régime stationnaire = pas d’évolution temporelle :

∂n

∂t

= 0

A une dimension, la concentration varie linéairement

Exemples

(44)

Le régime stationnaire

Régime stationnaire = pas d’évolution temporelle :

∂n

∂t

= 0

A une dimension, la concentration varie linéairement

Exemples

(45)

Plan du cours

I. Les phénomènes de diffusion

II. Bilans de particules et loi de Fick

1. Définitions

2. Le bilan de particules

3. Loi de Fick

4. Coefficient de diffusion

III. Les équations de la diffusion

1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D)

2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D)

IV. Quelques pistes de résolution...

(46)

Exemple : le tube de section S (unidimensionnel)

A t = 0, on place N0

particules en x = 0 (problème 1D)

Solution : n(x, t) =

N

0 S

(4πDt)

1 _/2

exp

_−x

2 4Dt

La solution doit vérifier :

L’équation de diffusion

Les conditions aux limites

Les conditions initiales

La conservation totale des particules (condition redondante) :

N

0 = N

totale

=

R

+∞

(47)

Exemple : le tube de section S (unidimensionnel)

A t = 0, on place N0

particules en x = 0 (problème 1D)

Solution : n(x, t) =

N0

S

(4πDt)

1 _/2

exp

_−x

2 4Dt

La solution doit vérifier :

L’équation de diffusion

Les conditions aux limites

Les conditions initiales

La conservation totale des particules (condition redondante) :

N

0 = N

totale

=

R

+∞

(48)

Exemple : le tube de section S (unidimensionnel)

A t = 0, on place N0

particules en x = 0 (problème 1D)

Solution : n(x, t) =

N0

S

(4πDt)

1 _/2

exp

_−x

2 4Dt

La solution doit vérifier :

L’équation de diffusion

Les conditions aux limites

Les conditions initiales

La conservation totale des particules (condition redondante) :

N

0 = N

totale

=

R

+∞

(49)

Tracé de la solution

0.5

1.0

1.5

0

1

2

3

4

5 −1

−2

−3

−4

−5

Y

(X , τ ) =

√

1 τ

exp

−

X

2 τ

X

Y

τ

= 0, 5

(50)

Tracé de la solution

0.5

1.0

1.5

0

1

2

3

4

5 −1

−2

−3

−4

−5

Y

(X , τ ) =

√

1 τ

exp

−

X

2 τ

X

Y

τ

= 0, 5

τ

= 1

(51)

Tracé de la solution

0.5

1.0

1.5

0

1

2

3

4

5 −1

−2

−3

−4

−5

Y

(X , τ ) =

√

1 τ

exp

−

X

2 τ

X

Y

τ

= 0, 5

τ

= 1

τ

= 2

(52)

Tracé de la solution

0.5

1.0

1.5

0

1

2

3

4

5 −1

−2

−3

−4

−5

Y

(X , τ ) =

√

1 τ

exp

−

X

2 τ

X

Y

τ

= 0, 5

τ

= 1

τ

= 2

τ

= 4

(53)

Tracé de la solution

0.5

1.0

1.5

0

1

2

3

4

5 −1

−2

−3

−4

−5

Y

(X , τ ) =

√

1 τ

exp

−

X

2 τ

X

Y

τ

= 0, 5

τ

= 1

τ

= 2

τ

= 4

τ

= 8