STRUCTURES ALGEBRIQUES

(1)

Chapitre 1

STRUCTURES ALGEBRIQUES

1.1 Groupes et morphismes de groupes

A. Lois de composition internes

Definition 1.1. Soit E un ensemble no.n vide. On appelle loi de composition in- terne {LCI} sur

E

toute application. de

E

x

E

dans

E.

Notation 1.1.

Si

* :

Ex E

---+

E

est une LCI, ['image

de (x, y)

est *(x,

y)

et sera notee x

*

y. En general on utilise les symboles

+

ou . pour une LCI.

Exemples 1. -

E = { "'

◊}

....

L 'application (x, y) ---+ x²

IYI

est une LCI sur 71,. Par contre (x, y) ---+

_ Jx +

^yne l'est pas

4

La composition des applications est une LC! sur A(X, X) l'ensemble des ap- plications de X dans X.

B. Groupes

Definition

vi:

^Soit^Gun ensemble non vide muni d 'une loi de composition in- terne no tee *.

On dit que ( G,

*)

est un groupe lorsque l'operation

*

verifie

- a) 'tx, y, z E G c'est l'associativite.

b} E G : \;/x E G x * e e * x

=

x. e est dit un element neutre de *·

- c) \;/x E G E G x

*

x'

=

x'

*

x

=

e tout element admet un symetrique note

x' = x-

¹(on verra qu 'il est unique).

Si de plus la Loi * verifie

- d} 'tx, y E G x

*

y y

*

x,

elle est dite commutative et l'on dit que (G,

*)

est un groupe abelien (ou commutatif).

Notations 1.1. Dans un groupe commutatif la loi est souvent notee

+,

le syme-, trique x' note x'

=

-x.

Sans information sur la commutativite elle est notee . et x' x-¹^.

1

(2)

Exemples 2. 1. L 'ensemble des permutations de trois personnes de leurs places muni de la composition est un groupe.

2.

(JN, + ),

((Q, x) ne sont pas des groupes.

3. V l'ensemble des vecteurs du plan muni de ['addition des vecteurs est un groupe commutatif.

4.

P ['ensemble des paniers (achetes ou retournes) dans un supermarche muni de ¹¹^['addition ^IIdes paniers est un groupe.

Proposition 1.1. Dans un groupe (G, .) on a:

- Le symetrique x¹ de x element de G est unique.

- Vx,y,z E G (xy

=

xz

==>

y

=

z) et (yx

=

zx

==>

y

=

z) (tout element est simplifiable a gauche, comme a droite).

- Vx, y E G (x.y)-¹

=

y-¹.x-¹

- Vx E G (x-¹)-¹

=

x (le symetrique du symetrique de x est x lui meme).

C. Sous-groupes

Definition 1.3. Une partie H de G, est dite un sous-groupe de (G, .) si:

a) H

=I 0

H est non vide

b} Vx,y EH x.y EH H est stable pour le produit (cad H.H c H)v

c) Vx EH x-¹E H H est stable pour le passage au symetrique (cad H-¹c HJ.

On note alors : H ~ G.

Exemples 3. - {

e}

et G sont des sous-groupes de G.

- 2'/l

= { · · · ,

-4, -2, 0, 2, 4, · · · } est un sous-groupe de ('fl,+),

par contre { · · · , -5, -3, -1, 1, 3, 5, · · ·} {2k

+

1 / k E 'fl} ne l'est pas.

Proposition 1.2. Les trois conditions precedentes sont equivalentes

a : i)

^H

=I 0

ii) Vx, y E H x.y-¹E H.

Proprietes 1.

eH ea.

D 'apres ce qui precede ea E H pour tout sous-groupe de G et

f:.J2

Si H et K sont des sous-groupes de G alors H

n

^Gest un sous-groupe de

V G. Et en general si ( Hi).EI sont des sous-groupes de G alors

n

^Hi ^{est un}

iEI

sous-groupe de G.

Si A est une partie quelconque de G, On note par gr(A) ['intersection de tousles sous-groupes de G qui contiennent A. gr(A) est le sous-groupe de G engendre par A.

Par exemple gr(0)

• = {e}

et gr({e})

{e}.

Dans ((I;",.) on a gr({2})

= {· .. , ½, ¼, ½,

1,2,4,8,· .. }.

(3)

Notations 1.2. et proposition :

Pour

(G, .)

un groupe et x E G, on definit:

Vn E 71., xn

=

^{n- fois}

{

~ sin> 0

' x⁰

=

e sin 0

(x-l )-n

=

(x-1 )lnl sin < 0 Et l 'on demontre que :

Remarques 1.1.

gr(A).

• A est un sous-groupe de (G, .) si et seulement si A -

• On dit que B est une partie generatrice de

(G, .)

si G

=

gr(B).

• On dit que (G, .) est un groupe monogene quand il existe a E G tel que G

=

gr( {a}).

• Un groupe

(G, .)

est dit cyclique s'il est fini et monogene.

D. Morphismes de groupes

Definition 1.4. Soient (Gi, .) et (G2 ,

*)

des groupes et

f

une application de G1

dans G2 . C'est un morphisme (ou homomorphisme) de (G1 , .) dans (G2 ,

*)

si:

V(x, y) E

Gi ,

^f(x.y) ^f(x)

^*

^f(y)

({_, Un isomorphisme est un morphisme bijectif.

(t

Un endomorphisme est un morphisme d 'un groupe dans lui meme.

~/ Un automorphisme est un endomorphisme bijectij.

Exemples 4. - Si (G, .) est un groupe et a E G, alors L 'application ha : (tZ,

+)

-t

(G, .)

avec Vn E 71., : ha(n)

=

an est un morphisme de groupes;

- Si

(G, .)

est un groupe commutatif, g: G -t G avec Vx E G : g(x)

=

x-¹ est un automorphisme.

Notations 1.3. Hom( G1 , G2 ) est [ 'ensemble de tous les morphismes du groupe (G1 , .) dans le groupe (G2 ,

*).

En particulier End(G)

=

Hom(G, G).

- S'il existe un isomorphisme entre ( G1 , . ) et (

G

2 ,

*)

on ecrit

G

1

~ ^G

2

- Aut(G)= est ['ensemble des automorphismes de

(G, .).

Proprietes 2. Si f est un morphisme du groupe ( G1 , . ) dans le groupe ( G2 ,

*)

alors : 1. Soit e₁(resp. e2 ) l'element neutre de G₁ {resp. G_{2 )} alors:

2.

Vx E G1 : f(x-¹)

= (f(x))-

¹

3. Si H₁est un sous-groupe de (G1 , .) alors f(H_{1 )}

{f

(x) / x E H1 } est un sous-groupe de

(G2, *).

3

•

(4)

4.

Si

H2

est un sous-groupe de

(G

2 ,

*)

alors

1-

¹

(H2) = {x / l(x) E H2}

est un sous-groupe de (G1, .).

5 En particulier

1 (

G i) est un sous-groupe de G2 , appele l 'image de

1

et note l(G1) Im(f).

Et

1-

¹( { e_2})est un sous-groupe de G1 appele le noyau de

1

et note

K

er(f)

= 1-

¹^{( {}

e2})

6. Soient (G1,.), (G²,*) et (G3,•) trois groupes et G1

-4

G2

~

G3 deux morphismes de groupes. La composee g o

1 :

G1 --t G3 est aussi un mor- phisme de groupe.

E. Produit de groupes Definition 1.5. et propsition

Etant donnes deux groupes (G1 , .) et (G2 , *), on definit sur G

=

G1 x G2 la loi 6.

definie par :

VX (a,b) E Get W

=

(c, d) E G, X6.Y

=

Z avec Z

=

(a.c,b

*

d).

(G, 6.) est un groupe, nomme le groupe produit de G1 et G2 •

Exemples 5. ^'ll},^'ll,³^,

IR? ...

1.2 Groupes symetriques Sn

A. Permutations d'un ensemble :fini Dans ce paragraph E designe un ensemble firti de cardinal n E IN'*.

Definition 1.6. On appelle permutation de toute bi'iection de dans E.

On note S(E) ['ensemble des permutations de E.

Exemples 6. Pour E

= {a}

il n'y a qu'une seule bijection c'est Id(a)

=

a et done S(

{a})=

{Id}.

Pour

E =

{o.

b}

on a deux bijections :

IdE : E --t E

1 :

E --t E

a

-+

a

et a -+ b

b - t b b - t a

Proposition 1.3. (S(E), o) est un groupe d'ordre n! {l'ordre d'un groupe est le nombre de ses elements).

B. Le groupe symetrique Sn

Definition 1.7. Pour E {l, 2, 3, · · · , (n - 1, n)}, le groupe (S(E),

o)

est appele le groupe symetrique d'ordre n. On le note Sn.

Un element a E Sn est note er= (

cr[l) al

^{2) : : :}

a-(n) ) .

(5)

La composition de deux permutations 0-1 o 0-2 sera notee CT10"2.

Le support de CT E Sn note supp(a) est l'ensemble des elements qui ne sont pas invariants.

Exemples 7. S1

=

{Id} est d'ordre l

=

l!.

, (12) (12)

- S2 est

f

orme de : Id

=

1 2 et a

=

_{2 1}

done d'ordre 2 2!.

Et l'on a supp(Id)

= 0

et supp(a)

= {l, 2}.

C. Les cycles et les transpositions

Definition 1.8. On appelle cycle toute permutation a E Sn telle que : supp(a-)

=

{i1,i2,· ··

,im}

(m

>

1),

- a(i1) i2 , CT(i2) i3 , · · · , a{im-1)

=

im et a(im)

=

^i1.

m est appele la longueur du cycle a. On convient que Id est un cycle de longueur O.

Exemples 8. Dans S5 on a :

c1

=

(2, 3, 4) est un cycle d'ordre 3 et c2

=

(2, 1, 5, 4) est un cycle d'ordre 4.

Definition 1.9. On appelle transposition, toute permutation er qui echange deux elements de { 1, 2, • • • , n} en laissant les autres elements invariants ( c.

a.

d. supp(

a-) =

{ . .}) 0 l t ( . .) ( 1 . . . i j n )

i, J . n a no e Tij ou i, J

=

1 . . . j i . . . n ·

Theoreme 1.1. 1. Tout cycle de Sn est produit de transpositions.

2. Toute permutation est produit de cycles

a

supports disjoints deux

a

^deux.

3. Toute permutation de Sn est produit de transpositions. Cette decomposition n'est pas unique.

4-

Le nombre des transpositions figurant dans la decomposition d'une permuta- tion a toujours la meme parite.

S . l'

1. . c : Sn --t { -1, 1}

01t

app 1cation CT -t (-lt(,,-)

ou v(CT) est le nombre de transpositions intervenant dans une decomposition de a en transp9sitions.

Proposition 1.4. Et definition :

L'application c: est un morphisme du groupe (Sn,

o)

dans le groupe (

{-1, l}, .).

€(CT) s 'appelle la signature de a.

5

(6)

1.3 Anneaux et morphismes d'anneaux

A. Anneaux

Definition 1.10. Soit A un ensemble non vide muni de deux lois de composition intemes

(+)

et(.). Le triplet (A,+,.) est un anneau si:

1) (A,+) est un groupe commutatif

2) a- Vx, y, z EA : x.(y.z)

=

^(x.y).z la loi (.) est associative

b- :HAE A : Vx EA x.lA

=

lA.x x IA est un element neut"'e de la loi (.) c- Vx, y, z E A : et la distributivite de (.) par rapport

a ( +)

{

x.(y

+

^z)

=

^(x.y)

+

^(x.z)

(y

+

z).x (y.x)

+

(z.x)

Si de plus la loi (.) est commutative (vx, y E G x.y y.x) on dit que (A,+,.) est un anneau commutatif.

Exemples 9. - (7l,

+, .),

(JR,+,.) et

(<C,

+, .) sont des anneaux commutatifs.

- (P(E), 6, n) est un anneau commutatif (E etant un ensemble).

Notations 1.4. L 'element neutre de la loi (

+)

est note O A et celui de la loi {.) lA,

Le symetrique (dit oppose) de x E A est note -x. Le symetrique de x E A pour la loi (.)s'il existe est note x-¹(dit inverse).

L 'ensemble des elements de A qui admettent un inverse est note : U (A)

= {

^{a E A /}:3b E A : ab

=

ba 1 A}.

- Etant donne a E A et n E 7l, on definit (ou on note) na par :

{

a

+ · · · +

^{a si n}

>

0 na

=

^n-fois

Ox OA sin= 0 (-n)(-a) sin< 0

- Etant donne a EA et n E lN', on definit an par:

a⁰

=

^IA ^pcrurn 0

a¹

=

^a ^{pour n} 1

an

=

^a.an-I

=

an-I .a pour n ~ 2 Proprietes 3. Pour a, b, c EA .

- On a a.O A

=

0 A ·a

=

0 A

- On a a.(-b)

=

(·-a).b -(a.b) Par suite lA).a

=

lA.(-a)

=

-a et

a.(b

c) =

a.b a.c et (b - c).a

=

b.a c.a et Vn E 7l (na).b a.(nb)

=

n(a.b)

Si ·a.b b.a (a et b commutent), on a la formule du binome

n

(a+ bf=

L

C~ak.bn-k_

J,,;c,cQ

- U(A) est stable pour la multiplication et (U(A), .) est un groupe.

(7)

B. Sous-anneaux et anneau produit

Definition 1.11. Une partie B de A est un sous-anneau de l'anneau (A,+,.) si : 1. IA EB,

2.

Vx, y E

B ,

x y E

B,

3. Vx, y EB, xy EB.

Exemples 10. • (?l,+, .) n'a qu'un seul sous-anneau qui est ?l lui meme.

• (IN,+,.) n'est pas un sous-anneau de (?l, +, .).

Definition 1.12. et proposition

Soit (A,+,.) et (B, *, •) des anneaux. On munit l'ensemble Ax B des lois de com- position intemes :

pour taus X (a, b), X¹

=

(a', b') dans Ax B, X EBY= (a+ a', b

*

b¹⁾ et X 0 Y

=

(a.at, b • b')

alors (Ax B, EB, 0) est un anneau, appele l'anneau produit de (A, .) et (B, *, •).

Et l'on a OAxB

=

^{(OA, OB)} et IAxB (IA, IB) C. Morphismes d 'anneaux

Definition 1.13. Soient (A,+,.) et (B, EB, 0) deux anneaux et <p : A --t B une application. On dit que <p est un morphisme d'anneaux si pour tous x, y EA : a) <p(x

+

y)

=

<p(x) $ <p(y)

b) <p(x.y)

=

<p(x) 0 <p(y)

c)

<p(IA) ls.

Exemples 11. L'application f: 7l --t

<C

avec f(n)

=

n est un morphisme d'an- neaux de (?l,

+, .)

dans

(<C, +, .)

Par contre g(n)

= ¾

ne l'est pas.

Proprietes 4. Soit <p un morphisme d'anneau. Alors : 1.

2.

<p(-a)

=

-<p(a) Va EA.

3. On en deduit par recurrence

<p(na) n<p(a) Va E A et Vn E ?l.

4-

Si.a est inversible on a

5. Par recurrence on a :

7

,

_,^.,

_.

'_:'!

(8)

... .

D. Ideal d'un anneau commutatif

Definition 1.14. Une partie I d'un anneau commutatif (A,+,.) est un ideal si

c 'est un sous-groupe du groupe additif (A,+), et, si pour tout a E J et tout

>.

E A :

>.a E J.

Exemples 12. 1-

{O}

et A sont des ideaux de A.

2- Pour n E IN, n'll, est un ideal de l'amieau ('ll,,

+, .).

Remarques 1.2. 1. I est un ideal de A si et seulement si il verifie les deux conditions

{1} [(a

E

J)

et (b E J)]

==> [a+

b E J]

{2} [(a ^E

J)

et(>. ^EA)]

==>

[>.a ^E

J]

2. L'intersection d'une famille d'ideaux de A est unideal de A.

3. Le noyau cp-¹({0B}) d'un morphisme d'anneaux cp : A -t Best unideal de A.

1.4 Corps et morphismes de corps

A. Corps

Definition 1.15. Un corps est un triplet (K,

+, .)

^{tel que}

a)

(K,

+, .)

est un anneau commutatif;

b) tout element de K*

=

K \ {OK} est inversible.

Un morphisme du corps (K,+,.) dans le corps (K',..l,o) est tout morphisme de l'anneau (K, .) dans l'anneau (K', ..l, o ).

Exemples 13. ('ll,, .) est un anneau mais pas un corps.

((Q,

+, .), (IR,+,.)

et

(<C, +, .)

sont des corps.

Definition 1.16. Une partie H c K est un sous-corps du corps (K,

+, .)

si:

1} IKE H,

2) 'vx,y EH : (x y) EH, 3} 'vx,y

EH\

{OK} : xy-¹

EH.

Exemples 14. (Q est un sous-corps de

IR .

(9)

.~·· -

,.

Chapitre 2 Polync)mes

Dans toute la suite

on

considere le corps (lK, +,.)OU lK

=

R OU 1K =<C.

2.1 A. L'anneau {lK[X], +, .)

2.Ll Definitions

Definition 2.1. On appelle polyname

a coe.fficients

dans K toute suite (a0 , a1 , - · - , CLn, - • ·)

=

(ap)pEN

d'element.s de 1K n'ayant qu.'un nombre fini de term.es non nuls.

Ce po_lynome est dit 1WJ'T1Uliise ( ou unitaire) si son dernier coefficient non nul1 ap- pele coefficient dominant est

egal a

1.

Le polynome O

= (0,

0, • • - ) est appele le polynome nul.

Le polynome

(I, 0, -· · )

est appele le polynome unit€..

Exemples 15. En pren.ard I( =(Q La suite u

= (a.p)pe.N

avec

.ap =

(-1)¹¹ n'est pas un poiynome

a

coefJicient.s dans

JR.

En prenant IK

=

^(Cl,a suite u

= (i,

0,

,/2,

ln5, ^1r,0, -· · , G.n, • • ·) avec ^CLn 0 pour n

>

5

ei;t

un polyn{Jme ~ coeffide:n.t.s dans <C.

2.1.2 Operations entre les 1 olynLmes

Soit

P = (a.,,),,eN

et

Q = ^(bq)qEN

deux polynomes et a E JK On definit:

L'addition.

p

+ Q

=

^(ao^+bo,al+bi. ... ) G.n + bn, ..• )

=

((l + bp)peN La. multip.Iication entre deux polynomes.

P.Q

= (

a⁰bo, aob1 a1bo,- • • • , Cn, · • ·)

= (

^Cn)nEN

oil Cn

= L

^apbq

=

0-o~

+

^Ct1bn-l + · · · + lln-1 b1 + llnbo,

;,+q=n

Cn est bien nul pour

n

2m0 lorsque Op= 0 et b₉

=

0 Vp

>

mo et Vq mo.

La. multiplication externe..

oP = (a:a

0 , aa1, aa2, · · · ).

Notations 2-.1. Posons X

=

(ai).i.

=

(0, ~, 0, · · · ), tel qu.e a1

=

^{l et}^ak

=

^{0 \/k}

=f

I.

Ge polynome est appeli l'indeterminee.

Par convention on pose X⁰

=

(1, 0, • • •)

=

e0 (le polyniime unite).

Et l'on definif X¹

=

X ei. X²

=

X.X

=

(0, 0, 1, 0, · · ·} e2 • • • Xn e,,.

Ainsi tout polynome P

=

(ak)k s¹ecrit de fafon unique {puisque les ak s'ar.nulent

a

partir d'un certain rong) :

/ ,

,.

(10)

P = ^aoX

⁰

+

^a1X¹

+

^42,X2

+ · · · = L a,.x1..

A:Efl

Throreme 2.1.

En notant

IC{X]

l'ensemble de tousles polyn.6melJ

a

coefficienb.

dans I<, on a :

(JK[X},+, .,·en

un armeau commuta.tif.

On l'appelle Vimneau des polyn6mes

a

une

indeterminee, a coefficients

dans

JK.

2.1.3 Degre et valuation d'un p(?lyn6me

D~flnition 2.2. 1. Le degrt d'un polynt;me P

=

(a1:)1:, non· md, est

n

le plus gruncl

des entiers

k tel que a1: ,/; 0. On

note

deg(P)

= ^n.

En

Jait

deg(

P) est

le plus grand exposant k

a

coefficient non nul dans l 1 icriture

p = E «.:X".

l:Efi

2. La valuation d'un polyn6me P

= (at)A:,

non nul, est r le plus

petit

des en.tiers k tel que

at=/.

0. On note val(P)

=

^r.

En Jail val(P)

est

le plus

petit

exposant k

a

coefficient non nul dans l'ecritu:re

p = E «.:X"'.

kefi

3. Par convention on pose :

deg(O)

= -oo

et val(O)

= +oo.

Exemples 16.

Pour P .

(O,O,~l,5,0,i,O,· · ·)

= -X2

+ 5x3 +iX⁵, deg(P)

=

5

et

val(P)

=

2.

Remar'}Ue 2.1.

L

~,q,plicatio,,. j :

K

i-+ ]({( [X]O )

a

➔

a,,···

est

un

fumwmor.~

d'annea:u, iniedit Ce qui

nDU5 permet

d'identifier les constantes

a E I{

et

les pofgnJmu:s

di.ts

const.ants de

la

fonne ( a, 0, · · · ) .

Proprietes 5. Soil. P

et Q

deu% polynlJmes de

K[X].

AlorB . (!)deg(P

+Q) < max(dcg(P),

deg(

Q))

et l'on a igaliU si deg{P) =/; deg(

Q).

f. deg(P.Q}

= deg(P) +

^deg(Q).

~ val(P+Q} >min{val(P),val(Q))

L/ ^{et l'on}

^a^igaliU^.sival(P).=/.

val(Q).

,I. val(P.Q)

= val(P) + val(Q).

2.2 B. La division euclidienne dans (l<[X], +,.)

Throreme 2.2.

et.

difiniti.o,i:

Soit A

et

B deus

^~~

B

1Wft nul.

H aiste un cm,ple

1UDfll£

de polrn,,mu (

Q,

R) tel que :

A= BQ + R

et.

deg{R) < deg(B).

Q

est appelL le q,u,tient

et

^R^est

appele le reste

de

la

divmon eucli.dienne de A par

B.

Exemples

17. 1) Fai:re

la

D.E

de

A

1 =·

X

⁵

+X

⁴

-X3+X-1

par

B

₁

= X3+X2+2.

2} Faire

la

D.E

de

A2 =X2+X -11,ar

~

=X

³

+X2+2.

' ,· 1~

(11)

A

=

BQ

+

^Xk+IR

avec

d⁰

Q

~ k.

Q et x1.+1 R sont respectivement appeles quotient et reste de la division suivant les puissances croissantes

de

A par B d l'ordre k.

{faire la DSPC de A par B c'est trouver Q et R).

Exemples 21. l/ faire la DS;. "U de A

=

X⁵^- 3X⁴^- 2X³

+

X²

+

3X

+

2 par B

= ² +

3X

+ ^X

²

a

l 'ordre k

= ^5.

2) Faire la DSPC de A= X³-2X⁵ par B

=

^{3- 5X}³

a

l'ordre k

=

2.

Preuve 1. 1) Verifier d 'abord l 'unicite.

2} Demontrer: l'existence en roisonnant sur val(A} suivant que A= 0, val(A}

<

k+ l ou val(A)

>

k

+

^1.

2.4 D. Racines d 'un polynome et ore lre de multiplicite

Definition 2.5. A chaque polynome P _

(t1o,

a1 , • • ·}

= ao.X'"· +a

1X

+· ·

·+t1nXn de d _egre'

n

on associe app z.ca wn notee . l'

z· t· '

P:

JK

t-t

JK

P-( )

x ➔ X

= aa +

^a1x

+ · · · +

0-nxn

".!n

polyname O on associe l'application mdle

O(x) =

^{0 Vx}^E^]IC

P

est dite la fonction polynome associee

a P

Remarque 2.3. 1}Par cette association on a une correspondance bijective entre les polyn6mes

a

coefficients dans

1K

et

le.s

jonctions polynomes de

1K

dans

K.

,,..,.,-..._

- - - -- - -

2} Et

l'on a

P + Q = P + Q, PQ = PQ

et

AP= AP.

3) Faire la difference entre fonction polynome et les f onctions qui ne sont pas des fonctions polynomes.

Theoreme

2.5. et definition

a E

1K

est dit une racine ( ou

zero)

du polynome P s 'il verifie l 'une deux conditions suivantes qui sont equivalentes :

1J

P(a)

= o.

~) le polyn8me X - a divise le polyn"me P.

Exemples 22. A

=

1

+ X2 =

(1, 1, 0, · · •) n'a ^pasde racines dans

R.

Par contre il a. des mcines dans C.

B

=·./2-

X

= (./2,-1,0, · · ·)

a une ^roeine

clans R.

Proposition 2.3.' Fonnule de Taylor.:

Soit Pun polynbme

de degre

net a

E

f·:.

On•-'.

p

= tp(•>ea) ;,ex -a)°= ^p{•l(a) + p{

¹

>ea) :,ex - ^a)+·

Exemples 23.

&Tire

la fonnule de Taylor en a

=

1 puis en b

=

-1 pour le polynlJme P

=

^-1

+

X - X²

+

X⁴

. Thooreme 2.6.

^etdefinition

a E 1K est dit une

mcine

d'ordre -k E JN- (ou de multiplicite k) du. polynome P, lorsp'il

verifa

l'une des conditions suiw~ qui sont equ.ivalentes:

;PJ

P(a)

=

^P(a)

= · · · = pc1:-

¹

)(a) =

0 et

P<~>(n) #

0.

'2} Le polynome

(X -

a)l: di.vise Pet

(X

-a)k+l ne divise pas P.

16

(12)

Definition·2.3. On dit qu.'un polynome B divise un.polynome A, et on note B/A

{ OU que A est divisible pa.r B OU maltiple de B ), si le reste R de la D.E de A par B est · le polynome nul.

Exemples 18.

1) B ...:. X2 -

1 divise

A= X

⁴

+

^X²^- ^2.

2) Un polynome constant non nul P

=

c, divise tout polyn6me A.

DMinition 2.4.

1) Si B

divise

A

₁

et A

_2,

alors ^B

^est,un diviseur commun de A1 et Az.

2) Si A₁ et A₂n'ont pas de diviseur commun de degri superieur ou

egal a

un,

alors

A₁

et

A2

sont

dits premiers

entre

em;.

3) Un

polynome

P

de deg(P) ~

1, est

dit iniductible da:ris

lK(X], si ses seuls

divi.seu:rs sont les polynomes A

=

a ou A

=

a.P

ou

^a^E

^JK.

Exemples 19.

1) B = X +

I

est un diviseur commun de A

1

=

¹

+

2X

+ X2

et A₂

= l-X

²^•

i!} D1

= X

-1 et D2

= X +

1

sont premiers entre eu:r.

3) Tout polynome de degre un P

=

aX +best irreductible dans

JK[X].

Proposition 2.1.

Soie.nt

A1

t::t

A2 dt.ux polynomeE

a

coeffe.ci.ents dans IC R

existe

an polynome unitaire

D

et un seul

tel

que :

1) D est un divi ;eur commun de A₁et A_2,

2}

tr

D est le pl:t.s grand

parm.i

les diviseurs communs de

A

₁ d A2.

D

est

appele

le

plus

grand commun

diviseur {pgcd). On note D =

A1 A

A

2 •

Remarque 2~2- 1} Le pgal. D de

A

1

et A

2 est le dem:ier

rute

non md normalise dans

la

.,uile

des divisions euclidiennes sucressives (connue sous

le

nom

d'algorithme d'Eudide).

2} Par l'algorithme d¹Euclide on a. l'existence. de deux polynomes U

et

V tel qu.e

D =

^U.A1

+

V.A2. . .

Eµ,

partictdier on a le

t:h€mime

Theoreme 2.3. A₁

et

A₂

sont premiers entre eu.x, si

d

seulement si

il

enste deu:r polyatJmes

U1 et

U

₂ tels qt1e

U1.A1 + U2.A2 =

1

(l'identite de

Bezout).

Exemples 20 .. 1} Determiner le pgcd(A,B) avec A

=

^2X⁴^- ^4X²

+

2 et B

=

.k3+2.k1 +x.

2)

Determiner:.kpgcd(A,B)

avec A= X

⁴-X²

et B = X2 +

2.

Theoreme 2.4 .. de. G4'll.SS

Soient A, B, C trois polynomes. On a/,'implication:

si

C

est premier avec

B

et

C divise AP alors C divise A.

2 .3 C. La division suivant les puissances croissantes.

Proposition ·2.2.

Pour

taus polynomes A

et

B

=

^b⁰^X⁰^+b1X

+· · •+apX" (b

0

=I

OJ, et tout en tier k E

1N,

il eriste un couple unique ( Q,

R)

de. polynomes, tels que

(13)

2.5 E. Factorisation dans<C[X] et dans IR[X]

Theoreme 2.7.

de D'Alembert

Tout polynome,

a

coefficients dans

«::,

de degre n, possede exactement n rocines dans

(C ( une rocine d 'ordre k comptant pour k racines).

Remarque ZA. 8i

x,,

x2 , • • • , Xp sont toutes les racines. dew:

a

dew: distinctes

n

d'ord.,-.,..s respectifs a_{1 ,}a2 , • • · ,a,, du polynomeP ·

E ^akX",

d'apres ce qui precede,

.i:=0

(X

x

1}⁰¹/P, ainsi que (X - x2)a,/P,etc · · •.

Et<!,.nt premiers entre eux done :

(X - x1)Q¹

(X -

x2)Ct2 · • • (X -

Xp)

⁰P / P.

Et l'on a a₁

+

a₂

+ · • • +

^ap

=

^n,et le quotie1,t est de degre 0, le tenne de degre rt

devant et.re

a.,.X"',

on a done· •

p = a.,.(X -

X1)°'¹

(X -

x2)a, · · •

(X -

^:l

r"'

Exemples 24. Factoriser P

=

^X ⁴^- ^6X³

+

8X²

+

6X - 9 dans

<C[XJ.

Remarque 2.5. Tov.t polynome

a

coefficients reels, est un cas particulier de po-- lyn()mes

a

coefficients complexes, et done possede autant de racines complexes que son degre.

Ses

rocines sont necessairement conjuguees dew:

a

dew:.

Si z

est mcine d 'ordre

k

de P alors

z

est aussi racine d 'ordre k de P.

Theoreme 2.8.

Tout polynome de degre n

E lN*, a

coefficients

reels,

se decompose en Jacteurs du premier degre

(X

-a) {oil. a est une rocine reelle), et(ou) en facteurs du second degr€

a

discriminant negatif.

Exemples

25.

Factoriser en facteu.rs irreductibles, dans

JR[XJ,

le polynome P

2X

⁴

+2.

Remarque

2.6.

Le:; polynomes irreductibles clans

«::[XJ

sont les polynomes de la farme. aX

+

b avec a, b E

0:::.

Les polynmnes irreductibles dans

JR(X]

sont les polynomes de la

f

onne aX

+

^{b avec}

a..o

^ERou de laforme

aX

²+bX+c

a

discriminant negatif ( c.ad: A= fr-4ac

<

f).

(14)

Chapitre 3

Fractions rationnelles

3.1 A. Le corps (n<(X), +, .)

On pose K,

= JK{X)

x JK[X]* et

on

definit sur

JC

la relation

'R. (

qui est une relation d'equivalence) par:

(A, B)'R.(A',

B') si et seulement si

AB'= A

¹

B. L

'ensemble

JC etant

mnni

des

deux

Jois

de composition

internes {compatibles

avec

'R.)

(A,B)

+ {A',B'} =(AB'+

A'B,BB')

addition

(A, B).(A', B')

= (AA', BB')

. multiplication

L'ensemhle note

K{X) =

/C/n, dont les

elements

sont notes

A/Bou j

est muni des lois

A A' AB'+A'B A A' AA' Ii

+

^B'

=

^BU et Ji· B'

=

^BB'

c'est un corps.

L'application

P

➔ ;_' est un morphisme injectif

d'anneau

de

JK[X)

dans

1K(X), a

l'aide

duquel

on identifie

les elements

de

l{[X] a ceux d'nn sous-an.neau

de

K(X).

L'element nul

est

f (note 0).. ·

L'element

uni~ ~e

K(X)

est

1;

finver:se de :

(A=# 0

et

B f 0)

^est.~-

Proposition 3.1.

1} Pour

ch.aque. fracl.ion nJtionnelle

F E K{X),

il existe

un

representant

5

^de^F.,^td.^que^lespof:g,,om,es P

et Q

soi.ent premien entre ev.z. Ce

representant

est unique au:,; ~ multiplicatives

pres?

et

est

appeli la fonne

irreductible de F.___ , ¹

Si en plus Q

est[normalist}m parle de(w,me iriiductil,~ !ioTffUduee\de

F.

2) F

=

^~^estla ]orme irreductihle

4e F

.(I{

= R ou

C)

si

et seulemtmf si A et. B

n' ont

^pasde

racir..e

001D111.Une

dans

(C_

Definition 3.1. Soit F

= G

une fraction mtionnelle mise .sous fonne irred:uc-

tihle-On dejinit : .

1) Les - ~ e s (cm

les zeros) de

F

sont les

mcino

de

P. i¼:.;<iJ~ ^{4e F}

^~ont

les mcines

de

Q. .

3

g

= ^{deg(P) -}

^deg(Q). ^.

..{.) L'ensemble noti D(F) = ^{x

^E

^{1K /} ^{Q(x) f} ^O}

^est

l'ensemble de definition

de F.

5) L 'application F : D(F) t--t lK

X ➔ .P(.2:}

Q(:z;)

(15)

1/

est appelee la fonction rationnelle

as$ociee

d F.

Exemples

26.

F = x:s.-3:::t;x-

¹ et

G =

^W~+l'

^danner

¹

es ra.;;.i:ies et les poles

de F et G, le:u.rs degres et leurs ensembles de definition et

let

fondions rationnelles a.ssociees.

Proposition

3.2. Pour F

= S

^{et G}

⁼ i

deux fractions mises sows fonne irriduc-

tible, on a : · .

- Vx E D{F) U D(G)

(F+G)(x),

--

F(x)+G(x) -

F(x) • G(x)

- (F·

G)(x}

- F

=

^G{au sens

des

fractions mtionnelles) si et seulement si 'Ix E D(F} U D(G) : F(x)

=

G(x)

"3.2 B.Decomposition d'une fraction rationnelle sur<C(X)

Soit F

= i

^misesous forme irreductible normalisee. Decomposons B en facteurs

irreductibles

dans

«![X] : · ·

r

B

= IT

^{(X -} ^Cli)⁰^"

⁼

^{(X -} ^a1) ~ (X - a:i)a:z • • •

(X -

a,.

)a.-

i=l

ou

les

(Cli:}i,

sont les racines de

B

distir,.ctes deux

a

deux, et cliaque Cli est racin !

d'ordre

Ot de B, de.g(B)

=

^o:1

+ • • • +

o.

En

faisant la

division euclidienne de A par B,

ii existe

dem

polJI~·

::me..

uniques

E

et R tels que :

A= BE+ R et deg{R) < deg(B).

Theoreme 3.1..

et

definition:

Avec

les

notations

ci-tles:ms,

la fruction F s¹lc:rit, d¹une maniere unique

et

d'une seule, sous la forme :

F

=

E

+

~

cx'?...~1J +

^(.X~1r¹

+. •. + cx'!i-:)°'1 l

+ _su_+

_(X-a.:t) _(X-o,)392

+· .. +

(X-«12)""2 ^'!aa

+

+ ( cx':1.,.5 + cx~>

²

+ · · · + ex:::=>-)

Le polyn6me E

est

tlJf)pdi.

la

partie entiere de F.

Les

{<=i;}i.; sont des

amstantes

de«!.

La partie (

(f..!a..\ + ,x:!.>2 + · · · + (x::!)'"')

^est

^a.ppelee

^partieprincipale relative au pljle a;, et les monlhne,s

dont.

ei;e est fon,ik se nomment les

/radi.ons

^depremiere.

espe,ce.

24

(16)

Etapes a suivre pour faire la decomposition en el&nents simples d'une

A . .

fraction

F

=

^R

dans te(X)

.. 1)

Ecrire

F ~~....,fonne irreductible normalisee F

= -~ (

^en

simplifiant

par le pgcd( ..

4.,

B) ).

· R 2) Faire la D.E de P par

Q

pour avoir Ia partie entiere: P

=

^E

+

Q

3)

Decomposer

1.]

en facteurs irreductibles

dans<C(X]:

Q

= ^(X-a1)

⁰¹¹^{• • •}^(X

^-a,:)

⁰^1:.

4) Donner la forme de la DES et calculer les coefficients

(i;;).

Exemples 27.

differentes mtthodes pour faire la decomposition

en elemen'ls

simples dans<C(X) :

Par identification (calcul direct)

· 2X

⁴

+3X

²

Decomposer en elements simples dans

<C(X)

la fraction F

= ^{(X _ l)}

2

(X _ i) • Utilisation de valeurs, passage aux limites

. X

³

-X2+1

Dic.omposer en

elements

simples dans

tU(X)

la fraction F

= (X _ i){X

₂

+ ^{l) •}

Division suivant les puissances

croissantes

D - ^{.t:1 ,} ^• l d

'"{X)

l ~,. . F X2 .,._ iX

+ 1

ecomposer en caements simp es ans"' aJ'..._twn

= {X -i)'(X + l)

2 •

3.3 B.Decomposition d'une fraction rationnelle sur JR(X)

Soit

F

= i

m.ise sous forme irreductible normali$ee.

En faisant la

division euclidienne de A par B, il existe deux polynOmes uniques, E et R tels que:

A=

BE+

R et

deg(R)

<

deg(B).

La

factorisation de

B

·en facteUIS irredt· :tibles

dans R[X)

est de la fori:ne :

8

B = II p;;

^{ou chaque}

^Pa

^estde la forma

P. = (X -

a;) a-,ec

a.

une racine reelle de·

i=l

B

d'ordre Oi ou

P. =

^X2

+ biX +

^Ci^avec^6.,

= ^{lif -} ^4Ci ^<

^0.

Theoreme

3.2.

et de.fini.tion:

Avec les notations ci-dessus, la fraction F

a'ecrit, d'une

manie:re unique et d'une

seule, sous la f orme : ·

F - ^Q + + Qu.+~+-··+~ ~!ff+ !ff+··-+~

_.f\ ₂ _lt

l

+

+ (~+~+···+';¥:)

Les (Cs;)i.; sont des polyniimes de

R[X]

tels que deg(Ci;

<

deg(Pi).

aX+b· .

Si deg(P.)

=

^2, ^p]': ^estdit un e"lement du second espl:ce.

t

Et.apes a suivre :

Ils sont les memes, sauf que la decomposition en facteurs irreductibles du denomi- nateur, doit se faire dans

JR.fX].

" :

...

(17)

...

Exemples 28. dijferentes methodes po_ur faire la decomposition en elements simples dans

R(X) :

En plus

des

techniques

citees

avant, on peut ro.jouler la technique des di.vuions euclidiennes :mccessives, ceci lorsque Q est pu.issance d 'un polynome du

second

degri, d

discriminant

₃

negatiJ

_.

Faire

la

DES

de F=

X +X +I

(X

²

+1)3