Chapitre 5 : Fonctions de référence

Chapitre 5 : Fonctions de référence

I. Fonction affine

1. Définition

Définition : Une fonction affine

f

est définie sur

ℝ

par

f : x → m x + p

avec

m et p

réels.

Vocabulaire :

•

m

est appelé coefficient directeur de

f

•

p

est appelé ordonnée à l’origine de

f

Exemple : la fonction

f

définie sur

ℝ

par

f : x → 2 x − 3

est une fonction affine de coefficient directeur

m=2

et d’ordonnée à l’origine

p=−3

.

Cas particuliers de fonctions affines :

Soit

f

une fonction affine définie sur

ℝ

par

f ( x )= mx + p

• Si

m=0

alors

f ( x)= p

est dite constante égale à

p

• Si

p=0

alors

f

est dite linéaire.

Remarque : Une fonction linéaire est représentative d’une situation de proportionnalité.

2. Caractérisation d’une fonction affine

Propriété : Une fonction affine

f

définie sur

ℝ

par

f ( x)=m x+ p

est une fonction dont les accroissements des images

f ( x )

sont proportionnelles aux accroissements des

x

égaux à

m

, autrement dit, si

b et a

sont deux réels distincts

b ≠ a

, on a :

m= Δ y

Δ x = f (b)−f (a) b − a

Démonstration :

Soit

f

une fonction affine définie sur

ℝ

par

f ( x )= m x + p

. Soit

a et b

deux réels tels que

a ≠ b

. On a :

f (b)−f (a) mb+ p)−(ma + p) mb−ma m( b− a)

3. Image et antécédent

Pour calculer l’image d’un nombre

x

₀ par une fonction

f

, il suffit de remplacer

x par x

_{0 dans} l’expression de

f ( x )

et d’effectuer le calcul.

L’image de

x

₀ par une fonction

f

se note

f ( x

₀

)

. L’image d’un nombre

x

₀ par une fonction

f

est unique.

Pour déterminer le ou les antécédents éventuels d’un nombre

y

_o par une fonction

f

, il suffit de résoudre l’équation

f ( x)= y

₀ .

Un nombre

y

₀ peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents.

Exercice 2 : On considère la fonction affine définie sur

ℝ

par

f : x → 2 x−3

1. Calculer les images de 0, de 1 et de -3 et de

− 7

2

par la fonction

f

2. Déterminer le ou les antécédents de 0, de -3, de 11 et de

−5

3

par la fonction

f

4. Signes de f

(

x

)=

m x

+

p

Propriété : Soit

f

une fonction affine définie sur

ℝ

par

f ( x)=m x+ p

avec

m ≠ 0

Cas où

m>0

Cas où

m <0

x – ∞ ^{– p}

m + ∞

f (x) – 0 +

x – ∞ ^{– p}

m + ∞

f ( x) + 0 -

Exercice 3 : Dresser le tableau de signes des fonctions suivantes

f ( x)=5 x−7 g( x)=−2 x +3 h( x )= 2 x+ 7 i( x)=− 2 x + 4

5. Variations

Propriété : Une fonction affine est :

• strictement croissante sur

ℝ

lorsque

m>0

• strictement décroissante sur

ℝ

lorsque

m<0

• constante lorsque

m=0

Cas où

m>0

Cas où

m <0

x

– ∞ + ∞

f

x

– ∞ + ∞

f

Démonstration : 1^er cas :

m>0

Soit a < b alors f(b) - f(a) = (m b + p) – (m a + p) = m b + p – m a – p = m b – m a = m (b-a) Or, puisque m > 0 et b > a, b - a > 0 donc m (b-a) > 0

Conclusion : f est croissante sur

ℝ

lorsque

m >0

2^ème cas :

m < 0

Soit a < b alors f(b) - f(a) = (m b + p) – (m a + p) = m b + p – m a – p = m b – m a = m (b-a) Or, puisque m < 0 et b > a, b - a > 0 donc m (b-a) < 0

Conclusion : f est décroissante sur

ℝ

lorsque

m < 0

3^ème cas :

m=0

alors f(x) = p donc f est constante sur #

Exercice 5 : Parmi les fonctions suivantes, préciser celles qui sont croissantes, décroissantes, constantes en justifiant votre réponse.

f ( x)=5 f (x)=3 x +1 h(x )=− x+ 2 i ( x)=− 5 6 j (x )=− 1

4 x+ 5

4 k ( x )= 7

3 x + 1 7

l ( x)=2( 3− x) m( x)=−( 1 3 x− 4

3 )

6. Représentation graphique

Définition : Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d’une fonction affine définie sur

ℝ

par

f ( x)=mx + p

est l’ensemble des points M du plan de coordonnées

( x ;mx + p)

quand

x

décrit

ℝ

.

La courbe est une droite qui coupe l’axe des abscisse au point

A (− p

m ; 0)

lorsque

m ≠ 0

et l’axe des ordonnée au point

B (0 ; p)

.

Cas où

m > 0

Cas où

m < 0

Exercice 6 : On considère les fonctions

f (x)=3 x−1 g( x)=−x+3 h( x )=−2 i (x )=− 1 2 x

1. Dans un repère du plan, construire leur représentation graphique

2. En justifiant et sans aucun calcul, dresser leur tableau de signe 3. En justifiant et sans aucun calcul,dresser leur tableau de variation

II. Fonction carré

1. Définition

Définition : La fonction carré est la fonction f définie sur

ℝ

par f : x x²→ 2. Variations

Propriété : La fonction carrée est :

• décroissante sur

]−∞ ;0 ]

et croissante sur

[0 ;+∞ [

• f admet donc un minimum égal à 0 en O

Démonstration :

Soit a < b alors f(b) - f(a) = b² – a² = (b - a)(b + a) Or, puisque b > a, b - a > 0 donc :

• si a et b sont tous les deux positifs, alors

b + a ⩾ 0

donc

(b−a)(b+a)⩾0⇔f(b)−f(a)⩾0⇔f(b)⩾f(a) donc f est croissante sur

[0 ;+∞ [

• si a et b sont tous les deux négatifs, alors b+a⩽0 donc

(b−a)(b+a)⩽0⇔f(b)−f(a)⩽0⇔f(b)⩽f(a) donc f est décroissante sur

]−∞ ; 0 ]

Conclusion : f est décroissante sur

]−∞ ; 0 ]

et croissante sur

[0 ;+∞ [

donc f admet un minimum

en 0 qui vaut f(0) = 0² = 0 #

Exercice 7 : Dans chaque cas, comparer les nombres sans les calculer :

(a) 2,3² et 2,15² (b) (-11,002)² et (-0,999)²

3. Représentation graphique

Définition : Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction carré est l’ensemble des points M du plan de coordonnées (x;x²) quand x décrit

ℝ

.

La courbe est une parabole de sommet O, origine du repère.

Propriété : Dans un repère orthogonal, la parabole

( P )

représentant la fonction carrée est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Démonstration

Soit

x

un réel. Le point

M ( x ; x

²

)

appartient à

( P )

.

Son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées est le point

M ' (−x ; x

²

)

Or

(−x )

²

= x

² donc

M ' (−x ;(− x)

²

)

^donc

^{M '}

appartient aussi à la parabole

( P )

. #

4. Équation x²

=

k et inéquation x²

<

k

Propriété : Soit k > 0 un réel.

• L’équation x²

=

k admet deux solutions

√

^ket

⁻ √

^k

• L’inéquation x²

<

k admet pour ensemble de solution l’intervalle ]

√

^{k ;}

⁻ √

^k[

Remarque : l’équation

x

²

= 0

admet une seule solution : 0

Exercice 8 : Résoudre dans

ℝ

,

x

²

= 7 et x

²

< 7

Exercice 9 : A l’aide de la courbe de la fonction carré, compléter :

•

si 1⩽x ⩽3 alors ...⩽ x ² ⩽...

•

si x⩽−5 alors x ² ...

•

si x ∈[− 3; − 1 ] alors x ² ∈ ...

•

si x∈[−2; 3] alors x ² ∈...

•

x ² ⩽ 1 quand x ...

•

x ² ⩾ 4 quand x ...

Exercice 10 :

Répondre par "Vrai" ou "Faux", et dans ce dernier cas, donner un contre-exemple :

pour x < 0, on a x² < 0 pour x > 1, on a x² > 1 pour x < 1, on a x²< 1 pour a > b, on a a²>b²

Exercice 11 :

Associer à chaque affirmation sa justification :

• un carré est toujours positif * f : x x² est définie sur →

]−∞ ;+∞ [

• (-5,12)² > (-5,11)² * f : x x² est décroissante sur →

]−∞ ; 0 ]

• (-9,54)² = 9,54² * f : x x² admet un minimum en 0 qui vaut 0→

• Tout nombre réel admet un carré * f : x x² est croissante sur →

[0 ; +∞ [

• 801² < 802² * la représentation graphique de f : x x² est→ symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

III. Fonction cube

1. Ensemble de définition

Définition : La fonction définie sur

ℝ

, qui, à tout nombre x positif ou nul associe son cube est appelée fonction cube ou cubique. On la note f :

ℝ

→

ℝ

x → x³ Remarques :

• son ensemble de définition est par conséquent

ℝ

• 0³ = 0 et 1³ = 1

2. Sens de variation de la fonction cube.

Propriété : La fonction cube est croissante sur

ℝ

Tableau de variation

x – ∞ + ∞

f ( x) – ∞

+ ∞

3. Représentation graphique

Définition : Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction cube est l’ensemble des points M du plan de coordonnées (x;x³) quand x décrit

ℝ

.

Propriété : Dans un repère orthogonal, la courbe représentant la fonction cube est symétrique par rapport à l'origine O du repère.

Démonstration

On note

C

la représentation graphique de la fonction cube.

Soit

x

un réel. Le point

M ( x ; x

³

)

appartient à la courbe

(C)

.

Son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées est le point

M ' (− x ;− x

³

)

Or

(− x)

³

=−x

^{3 donc}

M ' (−x ; (− x)

³

)

^donc

M '

appartient aussi à la courbe

( C )

^{. #}

Remarque : la fonction cube n’admet ni maximum ni minimum sur

ℝ

4. Équation x³

=k

et inéquation x³

<

k

Propriété : Soit k > 0 un réel.

• L’équation x³

=

k admet une seule solution, la racine cubique de k notée

√

^3k

• L’inéquation x³

<

k admet pour ensemble de solution l’intervalle

]−∞ ; √

³

√ ^{k [}

Exercice 12 : Résoudre dans

ℝ

,

x

³

=13 et x

³

<13

Remarque : à connaître

x

^{0 1 2 3 4 5}

x

^{3 0 1 8 27 64 125}

5. Comparaison des fonctions x

→

x³; x

→

x² et x

→

x sur [0;

+∞

[

Propriété :

•

∀ 0 ⩽ x ⩽ 1

on a

0⩽ x

³

⩽ x

²

⩽ x

•

∀ x⩾1

on a

x

³

⩾ x

²

⩾x ⩾x

Démonstration à connaître :

• 1^er cas : si

x=0

alors

0

³

⩽0

²

⩽0

donc la propriété est vraie pour

x =0

• 2^ème cas : si

0 < x ⩽ 1

alors on peut donc multiplier l’inégalité par

x

sans changer le sens.

On obtient donc

0⩽ x

²

⩽x

On multiple à nouveau cette inégalité par

x

On obtient donc

0 ⩽ x

³

⩽ x

²

IV. Fonction inverse

1. Étude de la fonction inverse

Définition : La fonction inverse est la fonction définie sur ]−∞;0 [∪] 0;+∞[ par

f : x → 1 x

Remarque :

]−∞ ; 0[∪]0 ;+∞ [

est aussi noté

ℝ ∖ {0}

ou encore

ℝ

^*

2. Variations de la fonction inverse Propriété : La fonction inverse est :

• décroissante sur

] −∞ ; 0[

et décroissante sur

]0 ; +∞ [

• elle n'admet ni minimum ni maximum

Démonstration :

Soit a < b non nuls alors f(b) – f(a) = 1 b - 1

a =

a−b ab

1^er cas : soit a et b deux réels appartenant à l'intervalle

]0 ;+∞ [

Puisque a<b alors a-b<0

De plus, si a et b sont tous les deux strictement positifs alors le produit ab sera aussi strictement positif.

Donc, f(b) – f(a) < 0 pour a et b appartenant à

]0 ; +∞ [

donc f est décroissante sur

]0 ; +∞ [

2^ème cas : soit a et b deux réels appartenant à l'intervalle

] −∞ ; 0[

Puisque a<b alors a-b<0

De plus, si a et b sont tous les deux strictement négatifs alors le produit ab sera aussi strictement

3. Représentation graphique

Définition : Dans un repère, la courbe représentative de la fonction inverse est appelée une hyperbole.

Propriété : Dans un repère d'origine O, l'hyperbole

( H )

représentant la fonction inverse est symétrique par rapport à O.

Démonstration :

Pour tout réel

x≠0

, le point

M ( x ; 1

x )

appartient à

( H )

. Son symétrique par rapport à O est le point

M ' (−x ;− 1

x )

 ; Or

− 1

x = 1

−x

^donc

M ' (−x ; 1

−x )

donc

M '

appartient aussi à l'hyperbole

( H )

# Exercice 13 :

A l'aide de la courbe représentative de la fonction inverse, résoudre l'inéquation

1

x ⩽2

En vous aidant de la courbe représentative de la fonction inverse, compléter :

• Si

1 ⩽ x ⩽ 3

alors

....⩽ 1 ⩽... .

V. Fonction racine carrée

1. Définition

Définition : La racine carrée d'un nombre positif

x

est le réel positif noté

√

^{x tel que} (

√

^x)2=x

Définition : La fonction racine carrée est une fonction définie sur

ℝ

⁺ par f(x) =

√

^x

2. Propriétés

Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0;+∞[ Démonstration :

Soit a et b deux réels tels que

0⩽a< b

. On a donc

b−a>0

et

√ ^{b +} √ ^{a > 0}

donc

f (b)−f (a)= √ ^b− √ ^a=( √ ^b− √ ^a)×( √ ^{b +} √ ^a)

( √ ^{b +} √ ^{a ) = (} √ ^{b−a b +} √ ^{a ) >0}

donc la fonction f est bien strictement croissante sur .

[0 ; +∞ [

# On déduit le tableau de variation de la fonction « racine carrée » sur

[0 ;+∞ [

Ci-dessous, sa représentation graphique sur

[0 ; +∞ [

Exercice 14 :

Soit

g

la fonction définie par l'expression

g( x)=2 √ ^x−1

1. Déterminer l'ensemble de définition de

g

2. Montrer que g est strictement croissante sur

[0 ; +∞ [

3. Représenter la fonction g dans un repère.

Propriété : Étant donné un réel

k

,

• si

k < 0

alors l’équation

√ ^{x =k}

n’a pas de solution

• si

k ⩾ 0

alors l’équation

√ ^{x =k}

admet une seule solution 

k

² Démonstration :

Soit

k

un réel.

• 1^er cas :

k <0

√ ^x

étant un réel toujours positif ou nul par définition, l’équation

√ ^{x =k}

n’a pas de solution.

• 2^ème cas :

k ⩾0

√ ^{x =k ⇔(} √ ^x)

²

^=k

²

^{⇔ x= k}

^{2 #}

Exercice 15 : A l’aide de la représentation graphique de la fonction racine carrée, résoudre : 1. L’équation

√ ^{x = 2}

et l’inéquation

√ ^{x < 2}

2. L’équation

√ ^{x =−1}

et l’inéquation

√ ^{x >−1}

3. Positions relatives des courbes y=x²; y

=x

et y=

√

^{x sur [0;+∞[}

Propriété : Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives C et C’ des fonctions carré et racine carrée sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x sur

[0 ; +∞ [

Démonstration :

4. Comparaison de

√

^x , x et x² sur [0;+∞[

Propriété :

• si

0⩽x ⩽1

alors

x

²

< x < √ ^x

• si

x ⩾ 1

alors

√

^x

^{<x <}

^x2

Démonstration :

1^er cas : Comparaison de x et x² sur

[0 ; +∞ [

x²– x=x(x−1). Or

x⩾0

donc

x

²

− x

est du signe de

x−1

. Or :

◦ si

0 ⩽ x ⩽ 1

alors

x − 1 ⩽ 0

alors

x

²

⩽ x

◦ si

x⩾1

alors

x−1⩾0 x

²

⩾ x

2ème cas : Comparaison de x et

√

^{x sur}

^{[0 ;+∞ [}

1^er cas : si x=0 alors

√ ^x=x=0

2^ème cas : si

x > 0

alors

x − √ ^{x = ( x−} √ ^{x)×( x +} √ ^x)

x + √ ^{x =}

x

²

− x x + √ ^{x =}

x ( x−1) x + √ ^x

Or

x > 0

donc

x+ √ ^{x >0}

^donc

^x− √ ^x

est du signe de

x − 1

donc

si 0⩽ x⩽1 alors x⩽ √ ^x

^et

^{si x⩾1 alors x⩾} √ ^x

^#

Remarque : Sur [0 ; 1], la courbe représentative de la fonction carré est située en-dessous de la droite d’équation y = x, elle-même située en -dessous de la courbe représentative de la fonction racine carrée.