1. Transform´ee de Fourier des gaussiennes
Pour a >0, etξ∈R, on d´efinit f(ξ) =
Z +∞
−∞
e−ixξe−ax
2 2 dx.
1. Montrer quef est bien d´efinie surR, et qu’elle est continue.
2. Montrer quef est d´erivable et calculerf0 en fonction def.
3. En d´eduiref(ξ) en fonction de f(0).
4. Calculerf(0) et conclure.
Indication : on pourra poser I=
Z +∞ 0
e−x
2 2 dx,
et calculerI2 `a l’aide d’un changement de variables en coordonn´ees polaires.
2. Calcul de Z ∞
0
sinx x dx
1. Montrer que l’int´egrale Z ∞
0
sinx
x dx est convergente.
2. V´erifier que pourx >0, 1 x=
Z ∞
0
e−txdt.
3. Peut-on en d´eduire Z ∞
0
sinx x dx=
Z ∞
x=0
Z ∞
t=0
e−txsinx dx dt?
4. PourA >0, calculer Z A
0
sinx
x dx`a l’aide du th´eor`eme de Fubini.
5. En d´eduire que
Z ∞
0
sinx x dx= π
2.
1
