Université Paris Dauphine Département MIDO
Master 1 – Méthodes de Monte Carlo
2017–2018
Examen Final – 18/01/2018
DURÉE2H00 – DOCUMENTS ETCALCULATRICENONAUTORISÉS
Important. Suivant les réglements en vigueur :
1. Les enseignants présents lors de l’épreuve ne peuvent communiquer que sur les fautes d’énoncé potentielles. Toute autre question durant la composition ne sera pas acceptée.
2. Les étudiants sont tenus de se lever au moment de l’annonce de fin de la composition. En cas de refus, le responsable de l’UE sera fondé à ne pas prendre en compte la copie incriminée.
3. L’identification des copies et intercalaires doit avoir été faite au moment de la remise de chaque copie par les enseignants et surveillants. Il ne sera pas accordé de délai pour cette raison en fin d’épreuve.
Les différents exercices/parties sont indépendants et peuvent être traités dans l’ordre de votre choix. En particulier,ne restez pas bloqué trop longtemps sur une question.
Exercice 1 (4 pts). On souhaite calculer I=
Z
Rdh(x)f(x)dx,
en simulantX1, . . . ,Xndes variables aléatoiresi.i.d.de densité f par la méthode du rejet. Pour ce faire, on a dû simulerY1, . . . ,Yn+T, avecYn+T =Xn, un nombre aléatoire de variables aléatoires de densitég satisfaisant :
(i) pour toutx∈Rd,f(x)≤M g(x), avecM=sup(f/g) ; (ii) {x∈supp(f) : f(x)=M g(x)} est de mesure nulle.
1. Donner, avec démonstration, la loi des variables aléatoiresZ1, . . . ,ZT ayant été rejetées, condition- nellement àT=t.
2. En déduire que la densité marginale deYiconditionnellement àT=t,i∈{1, . . . ,n+t−1}, est donnée par
ψ(y)= n−1
n+t−1f(y)+ t n+t−1
M g(y)−f(y) M−1 . 3. Montrer que
1 n
"
h(Yn+t)+
n+t−1
X
k=1
µ 1+t©
M g(Yk)−f(Yk)ª (n−1)(M−1)f(Yk)
¶−1
h(Yk)
#
est un estimateur sans biais deI.
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Examen Méthodes de Monte Carlo
Exercice 2 (3 pts). SoitI =E[h(U)] oùU est une variable aléatoire de loi uniforme sur [0 , 1] ethune fonction de carré intégrable. On considèreU1, . . . ,UN des variables aléatoires i.i.d.suivant la loi uni- forme sur [0 , 1].
1. Montrer quek−N1+U,k=1, . . . ,N, est distribuée suivant la loi conditionnelle deUsachantU∈ hk−1
N ,Nki . 2. Justifier que l’estimateur suivant est un estimateur stratifié :
1 N
N
X
k=1
h
µk−1+Uk
N
¶
3. Cet estimateur est-il plus efficace en terme de variance que l’estimateur de Monte Carlo classique ?
Exercice 3 (17 pts). SoientX etY des variables aléatoires réelles. L’objectif est de calculer à l’aide de méthodes de Monte Carlo :
p=P[X+Y ≥t], t∈R.
On noteranle nombre de réalisations de variables aléatoires utilisées pour calculer l’estimateur.
Partie 1 – 10 pts
Dans cette partie, les variables aléatoiresXetY sont indépendantes et ont pour fonction de répartition respectiveFetG. On suppose que les inverses généralisés deFetG, notés respectivementF−1etG−1, sont numériquement facilement calculables et que l’on dispose d’un générateur aléatoire suivant la loi uniforme sur [0 , 1].
1. Donner le pseudo-code (i.e., l’algorithme sans utiliser un langage de programmation particulier) qui permet d’obtenirnréalisationsi.i.d.du couple (X,Y) à partir du générateur uniforme sur [0 , 1].
2. En utilisant la méthode de Monte Carlo classique, donner un estimateurpbndepen fonction deF−1 etG−1. Préciser notamment la variance de la méthode et comment l’estimer.
Réduction de la variance et invariance.
3. En utilisant la méthode des variables antithétiques, donner un estimateurpb(1)n deppermettant de réduire la variance.
Indication. On pourra utiliser, sans justification, le résultat suivant : soientZ1,Z2des variables aléa- toires réelles indépendantes. SiΦetΨsont des fonctions deR2dansRvérifiant : (i) Φ(Z1,Z2) etΨ(Z1,Z2) ont même loi etE£
Φ2(Z1,Z2)¤
< +∞;
(ii) Φ, respectivementΨ, est croissante, respectivement décroissante, en chacune de ses coordonnées,
alors Cov[Φ(Z1,Z2),Ψ(Z1,Z2)]≤0.
Conditionnement.
4. Montrer quep=E[1−G(t−X)].
5. En déduire un nouvel estimateurpbn(2)depet montrer queVarh pb(2)n i
≤Var£ pbn¤
.
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Examen Méthodes de Monte Carlo
6. Commenter le coût de calcul depb(2)n , notamment en comparaison des estimateurs précédents. Quelle limite voyez-vous à cet estimateur ?
Partie 2 : variable de contrôle – 4 pts
Dans cette partie, on considère X =eV1 et Y =eV2 avec (V1,V2) un vecteur gaussien centré tel que Var[V1]=Var[V2]=1 et Cov[V1,V2]=ρ, avec|ρ| ≤1.
7. On suppose que l’on dispose d’un générateur aléatoire de la loi normale centrée réduite. Expliquer comment obtenirnréalisationsi.i.d.du couple (V1,V2) à partir de ce générateur.
8. Exprimer les probabilités suivantes en fonction de la fonction de répartition Φde la loi normale centrée réduite :
a. P£p
exp(V1+V2)≥t¤
b. P£
exp(V2)≥t¤
9. En utilisant la méthode de la variable de contrôle avec8.a., respectivement8.b., déduire un nouvel estimateurpbn(3), respectivementpbn(4), dep.
10. Quel argument formel permet de justifier l’efficacité relative de ces estimateurs en terme de va- riance et de choisir l’estimateur le plus efficace ? (Aucun calcul explicite du critère n’est attendu)
Partie 3 : estimateur auto-normalisé – 3 pts
Dans cette partie, on suppose que le couple (X,Y) admet une densitéf proportionnelle à f˜(x,y)=©
cos2(x)+2 sin2(y) cos4(x)ª exp
µ
−x2+y2 2
¶ .
11. Soient (Sk,Tk)k=1,...,n des variables aléatoiresi.i.d. de densité g suivant laquelle on sait simuler.
Montrer que Pn
k=1h(Sk,Tk)w(Sk,Tk) Pn
k=1w(Sk,Tk) , avec w(Sk,Tk)= f(Sk,Tk) g(Sk,Tk), converge versE[h(X,Y)].
12. En déduire une méthode d’estimation depne nécessitant pas de connaître la constante de norma- lisation def.
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