Chapitre 8
Suites : G´ en´ eralit´ es
Sommaire
I. D´efinitions et notations . . . 2
II. Modes de g´en´erations et repr´esentations des suites . . . 3
1. Les suites d´efinies de mani`ere explicite . . . 3
2. Les suites d´efinies par r´ecurrence . . . 4
III. Monotonie des suites . . . 7
IV. Limites des suites et recherches de seuil . . . 10
1. Limite finie . . . 10
2. Limite infinie . . . 12
3. Suites n’ayant pas de limite . . . 14
Capacit´es : Exercices : Bilan :
Calculer les termes d’une suite `a partir de son expression
1, 2, 6, 10, 11 et 53 p.
30/34 Repr´esenter graphiquement les termes d’une suite Fiche d’exercices
D´eterminer le sens de variations d’une suite 39 et 40 p. 33
D´eterminer la convergence d’une suite Fiche d’exercices
Leonardo FIBONACCI (1180 `a 1250) de son vrai nom Leonado DA PISA est un math´ematicien qui a parcouru plusieurs pays m´editerran´eens (Sicile, Gr`ece, Syrie et Egypte). Il apprend les math´ematiques grecques et arabes. Il est notamment convaincu par la sup´eriorit´e du syst`eme d’´ecriture des nombres avec les chiffres arabes. Son oeuvre est fondamentale puisqu’il permit d’´etablir un lien entre les math´ematiques arabes et celles de La Renaissance. Il a notamment permis l’in- troduction des nombres arabes en Occident.
I. D´ efinitions et notations
. . . . . . . . . . . . . . . . D´efinition 8.1 : Suite num´erique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Remarque 8.2 :
On consid`ere une suite (un) d´efinie sur Npar :
un= 3n−10.
• Calculer le terme d’indice 2.
. . . . . . . .
• Calculer u11.
. . . . . . . .
• Exprimer le terme d’indice 2n, en fonction de
n.
. . . . . . . . Exemple 8.3 :
. . . . . . . . . . . . . . . .
Remarque 8.4 :
Par exemple :
• La suite de terme g´en´eral un=√
n−3 . . . . . . . . . . . .
• La suite de terme g´en´eral un= 1
n. . . . . . . . . . . . Remarque 8.4 (suite) :
II. Modes de g´ en´ erations et repr´ esentations des suites
Il existe plusieurs fa¸cons de d´efinir une suite num´erique :
• . . . . . . . . . . . .
• . . . . . . . . . . . .
1. Les suites d´ efinies de mani` ere explicite
On consid`ere la fonction f d´efinie sur R par f(x) = 3x2 + 2x+ 5 et la suite (un) d´efinie pour tout n ∈ N
par un =f(n). Calculer u0,u2 et un+1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple 8.5 :
On d´efinit une suite (un)n∈
N sous une forme expli-
cite, c’est-`a-dire de la forme un =f(n) o`u f est une
fonction d´efinie sur [0; +∞[.
Graphiquement, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On obtient alors le graphique suivant :
1 2 3 4 5 6 7
0
un =f(n)
C
fRemarque 8.6 :
Vid´eo Calculer les premiers termes d’une suite (1) Compl´ement(s) :
Exercices 1 et 2 p. 30 . Exercice(s) :
2. Les suites d´ efinies par r´ ecurrence
On consid`ere une fonction f d´efinie sur un intervalle I, telle que pour tout x ∈ I, on a f(x) ∈ I (on peut aussi noter que f(I) ⊂ I). On peut alors d´efinir une suite (un) par la donn´ee de u0 (avec u0 ∈ I) et par la relation de r´ecurrence un+1 =f(un).
On consid`ere une fonction f d´efinie sur [0; +∞[ par f(x) =√
x et une suite (un) d´efinie pour tout n ∈ N
par un+1 =f(un) telle que u0 = 256.
Calculer u3.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple 8.7 :
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
un un+1
Cf
u0
∆
Remarque 8.8 :
Vid´eo Calculer les premiers termes d’une suite (2) Compl´ement(s) :
La donn´ee de u0 et d’une relation de r´ecurrence un+1 =f(un) ne permet pas toujours de d´efinir une suite.
La condition pour tout x∈I, on a f(x)∈I est importante.
Remarque 8.9 :
On consid`ere une suite (un) d´efinie par r´ecurrence, c’est-`a-dire de la forme un+1 =f(un).
Sur le graphique suivant, on donne la repr´esentation
graphique de la fonction f, la droite ∆ d’´equation
y = x ainsi que la valeur de u0 sur l’axe des abs-
cisses.
Repr´esenter sur l’axe des abscisses les termes u1, u2
etu3.
. . . . . . . . . . . .
∆
C
fu
0Exemple 8.10 :
Exercice R´esolu 1 p. 11 Calculer les termes d’une suite Compl´ement(s) :
Exercices 7 et 12 p. 30 . Exercice(s) :
On ´evitera la confusion entre une suite d´efinie `a l’aide d’une fonction f par r´ecurrence et de mani`ere
explicite.
On consid`ere la fonction f d´efinie sur R par f(x) = 2x+ 1.
• un=f(n) : On a u0 =. . . ., u1 =. . . .,u2 =. . . ., u3 =. . . ., etc . . .
• un+1 =f(un) avec u0 = 1 : On a u0 =. . . ., u1 =. . . .,u2 =. . . ., u3 =. . . ., . . .
Ces deux suites sont d´efinies par une mˆeme fonction pourtant, elles ne d´efinissent pas la mˆeme suite.
Remarque 8.11 :
Vid´eo Repr´esenter graphiquement une suite Compl´ement(s) :
III. Monotonie des suites
On consid`ere I une partie infinie de N. On dit que la suite (un)n∈I est :
• . . . . . . . . . . . . . . . .
• . . . . . . . . . . . . . . . .
• . . . . . . . . . . . . D´efinition 8.12 : Suite croissante, d´ecroissante ou constante
. . . . . . . . . . . . D´efinition 8.13 : Suite monotone
Exercice R´esolu 1 p. 17 Conjecturer le sens de variation `a partir d’une repr´esentation graphique Compl´ement(s) :
Dans la pratique, pour ´etudier la monotonie d’une suite (un)n∈I, on peut :
• . . . . . . . .
• . . . . . . . . . . . . . . . . M´ethode 8.14 : Etudier la monotonie d’une suite
• . . . . . . . . . . . . . . . . M´ethode 8.15 : Etudier la monotonie d’une suite
On consid`ere la fonction f d´efinie surR par f(x) =x2+ 4 et on d´efinit la suite (un) par un =f(n) pour
tout n∈N.
Etudier la monotonie de la suite (un) par l’´etude des variations d’une fonction.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Etudier la monotonie de la suite (un) par l’´etude un+1−un.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple 8.16 :
Vid´eo Etudier les variations d’une suite `a partir de l’´etude d’une fonction Compl´ement(s) :
On consid`ere la suite (un) d´efinie par un=−3n+ 1.
Etudier la monotonie de la suite (un) par l’´etude de un+1−un.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple 8.17 :
On consid`ere la suite (un) d´efinie par un= 2n.
Etudier la monotonie de la suite (un) par l’´etude de un+1−un.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple 8.18 :
Exercice R´esolu 2 p. 17 D´eterminer le sens de variation d’une suite Compl´ement(s) :
Vid´eo Etudier les variations d’une suite (1) Compl´ement(s) :
Vid´eo Etudier les variations d’une suite (2) Compl´ement(s) :
Exercices 39 et 40 p. 33 . Exercice(s) :
IV. Limites des suites et recherches de seuil
1. Limite finie
. . . . . . . . . . . . . . . .
Pour tout h >0 , il existe un rang N tel que pour toutn >N, on a|un−`|< h.
On note alors :
. . . . D´efinition 8.19 : Suite convergente vers `
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 10 15 20 25 30 35 40
0.5 1 1.5 2
0
Remarque 8.20 :
Pour conjecturer la limite d’une suite, on peut utiliser :
• . . . . . . . .
• . . . . . . . .
• . . . . Remarque 8.21 :
On d´efinit la suite (un) pour tout n>3 par :
un= 1− 10 (n+ 1)2.
1. Repr´esenter le nuage de points (n;un) pour
06n 630 `a l’aide de la calculatrice.
2. A l’aide du graphique, conjecturer la limite, not´ee`, de la suite (un).
. . . .
3. Ecrire un algorithme qui donne la valeur den
pour laquelle |un−`|<0,05.
Programmer cet algorithme avec Python et
donner la valeur den affich´ee.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
Exemple 8.22 :
On a repr´esent´e, sur le graphique suivant, la fonction f. On d´efinit (un) par la relation de r´ecurrence
suivanteun+1 =f(un) et u0 = 18. Conjecturer la limite de la suite (un).
2 4 6 8 10 12 14 16 18
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
Exemple 8.23 :
2. Limite infinie
• . . . . . . . . . . . . . . . .
• . . . . . . . . . . . . . . . . On note alors :
. . . . D´efinition 8.24 : Suite divergente vers ±∞
On consid`ere la suite (un) d´efinie pour tout n ∈ N
par un+1 =un−3 et u0 = 1.
1. D´emontrer que cette suite est strictement
d´ecroissante.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. On admet que (un) diverge vers −∞.
On souhaite alors d´eterminer le seuil N `a par-
tir duquel on a pour toutn>N,un < M, o`u M est un r´eel fix´e.
Ecrire un algorithme qui permet de r´epondre
`
a ce probl`eme.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V´erifier en programmant votre algorithme Py-
thon que lorsque M vaut−100, la variablen,
le seuil cherch´e est 34.
Exemple 8.25 :
• lim
n→+∞un = +∞ : graphiquement, cela se traduit par : quelque soit un r´eel M positif, il existe un
rang `a partir duquel tous les points de la suite (un) sont au dessus de la droite d’´equationy =M.
2 4 6 8 10 12 14 16
50 100 150 200 250
0
M
N
• lim
n→+∞un = −∞ : graphiquement, cela se traduit par : quelque soit un r´eel M n´egatif, il existe un
rang `a partir duquel tous les points de la suite (un) sont au dessous de la droite d’´equation y=M.
On obtiendrait un graphique semblable au pr´ec´edent.
Remarque 8.26 :
3. Suites n’ayant pas de limite
Il existe des suites qui n’ont pas de limites. On donnera ici un exemple d’une telle suite.
La suite (un) d´efinie, pour tout n∈N, par :
un = (−1)n.
Cette suite (un) n’admet pas de limite, on dit qu’elle est divergente.
En effet, la suite (un) peut ˆetre d´efinie pour toutn ∈Npar :
un=
. . . si n est pair . . . si n est impair
.
Pour tout n∈N, on a :
−16un61
Ainsi, la limite de la suite (un) ne peut ˆetre +∞ ou−∞.
De plus, si la suite (un) tend vers une limite `, alors l’intervalle [`−0,5;`+ 0,5] ne peut contenir `a la fois
−1 (le termes impairs de (un)) et 1 (le termes pairs de (un)).
On dit alors que la suite est divergente.
Exemple 8.27 :
Exercice R´esolu 1 p. 19 Conjecturer une limite `a partir d’un graphique Compl´ement(s) :
Exercice R´esolu 1 p. 17 Conjecturer une limite avec un tableur ou un algorithme Compl´ement(s) :
Vid´eo D´eterminer la limite d’une suite Compl´ement(s) :
