G1916. Entrainement au basket ***
Zig pratique le basket depuis de longues années. Pour s’entrainer il effectue des lancers libres avec un panier de basket sur pied (voir photo ci-contre).
Au cours de ses quatre premiers essais, il réussit trois d’entre eux.
Par la suite sa probabilité de réussir le kième lancer (k > 4) est égale au pourcentage de réussite des (k – 1) lancers précédents. Ainsi la probabilité de réussir le 5ème lancer est égale à 3/4 et s’il le réussit, la probabilité de réussir le 6ème lancer est égale à 4/5 et celle d’échouer à 1/5.
Q1 Déterminer la probabilité que Zig réussisse au moins huit lancers à l’issue de dix lancers (incluant les quatre premiers).
Q2 Déterminer la probabilité que Zig réussisse exactement k (entier ≥ 3) lancers à l’issue de n (entier > 4) lancers (incluant les quatre premiers).
Q3 Déterminer l’espérance mathématique du nombre de lancers réussis à l’issue de cent essais.
Q4 Pour les plus courageux : Zig réussit p lancers sur les q premiers lancers et par la suite sa probabilité de réussir le kième lancer (k > q) est égale au pourcentage de réussite des (k – 1) lancers précédents. Déterminer l’espérance mathématique du nombre de lancers réussis à l’issue de n essais (n > q).
PROPOSITION Th Eveilleau Q1
Il ne doit y avoir qu’un échec au maximum sur les parties 5, 6, 7, 8, 9 et 10 OU bien
pas d’échec du tout.
UN échec
Je donne les nombres de réussites à partir de la partie 5
échec en partie 5 3,4, 5, 6, 7, 8 probabilité : 1/4 * 3/5 * 4/6 * 5/7 * 6/8 * 7/9
échec en partie 6 4,4, 5, 6, 7, 8 probabilité : 3/4*(1-4/5)* 4/6*5/7*6/8*7/9 = ¾ * 1/5 * 4/6 * 5/7 * 6/8 * 7/9 ; échec en partie 10 4, 5, 6, 7, 8, 8 probabilité : ¾*4/5* 5/6*6/7*7/8*(1-8/9) = ¾ * 4/5 * 5/6 * 6/7 * 7/8 * 1/9 ;
Toutes ces probabilités sont identiques à
=
=
ZÉRO échec ¾ * 4/5 * 5/6 * 6/7*7/8*8/9 =
=
La probabilité cherchée est donc de 6 *
+ =
~ 0.5833 Q2
Si k>n-1, la probabilité est nulle.
Sinon,
Nous avons n-4parties qui doivent donner lieu à (k-3) succès ET
(n - 4 ) - (k-3) = n – k - 1 échecs.
La probabilité est notée P(k,n)
P(k,n) =
*
P(k,n) =
*
=
*
P(k,n) = 3 *
* = 3 *
*
P(k,n) =
Q3
Espérance mathématique à l’issue de cent essais.
Intuitivement, la probabilité moyenne est de 75% = 3/4 L’espérance sur 100 jeux est de 75.
Démonstration
E(100) =
E(100) =
=
E(100) =
( =
(
E(100) =
(
-
+
)
E(100) =
(
-
+ )
E(100) =
E(100) = 75 Q4
Espérance : n * p/q.
Au qième jeu, le nombre de réussites espéré est de p
Au q+1ième jeu, le nombre de réussites espéré est de p + p/q
Au q+2ième jeu, le nombre de réussites espéré est de p + p/q +(p+p/q)/(q+1)= p + 2*p/q Au q+3ième jeu, le nombre de réussites espéré est de p + 2p/q +(p+2/q)/(q+2) = p + 3*p/q .
Au q+(n-q) = nième jeu, le nombre de réussites espéré est de p + (n-q)*p/q = n*p/q
