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x0 = x y y0 = x+y+z z0 = y+z avecX(0

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

ISSAE

Cnam-Liban UTC 604 TD3 J.Saab

1. Résoudre les systèmes di¤érentiels suivants (La variable indépendante étantt)

(a) 8

<

:

x0 = x y z y0 = x y z0 = x z

(b) 8

<

:

x0 = 3x y+z y0 = 2x+z z0 = x y+ 2z

(c) 8

<

:

x0 = x y y0 = x+y+z z0 = y+z

avecX(0) = 0

@ 1 1 0

1 A

(d) 8

<

:

x0 = 2x+y+ sint y0 = x+z z0 = 2y+ 2z+ cost (e)

x0 = x 2y+et y0 = x+ 4y+e2t

2. On considère la matrice

A= 0

@ 2 1 1

4 2 2

2 1 1

1 A

(a) Exprimer, par récurrence,An; n 1, en fonction deA etn (b) En déduireexp(At)en fonction deAet t:

(c) Déduire la solution du système di¤érentiel linéaireX0(t) =A:X(t)oùX(t) = 0

@ x(t) y(t) z(t)

1 A

3. On considère la matrice

A= 0

@ 1 0 0 1 1 1 2 4 3

1

A etB=A+I

(a) Montrer quee It=Ie t pour toutt2R

(b) Calculer Bn,n2Nen déduire qte B est nilpotente (c) CalculereBt et en déduireeAt

(d) Déduire la solution du système di¤érentiel linéaireX0(t) =A:X(t)oùX(t) = 0

@ x(t) y(t) z(t)

1 A

1

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