H10240. La Montagne Magique
Un matin, juste au lever du soleil, un moine bouddhiste commence `a gravir une montagne.
Le sentier, tr`es ´etroit, monte en spirale jusqu’au temple qui brille au sommet.
Le moine grimpe tantˆot vite, tantˆot lentement. Il s’arrˆete parfois pour se reposer et manger des fruits secs qu’il a emport´es dans sa besace. Une fois, il perd sa sandale et doit revenir sur ses pas pour la ramasser. Il arrive quand mˆeme au temple au coucher du soleil.
Apr`es trois jours de jeˆune et de m´editation, il se met en devoir de redes- cendre. Il part au lever du soleil, prend le mˆeme chemin, marche plus ou moins vite, s’arrˆete plusieurs fois, parfois retourne en arri`ere. Il arrive au pied de la montagne au coucher du soleil.
Question : existe-t-il un point du sentier o`u le moine est pass´e, `a l’aller et au retour, exactement `a la mˆeme heure ?
Solution
Supposons au moine un disciple, qui part du pied de la montagne exactement 72 heures apr`es son maˆıtre ; il en reproduit tous les mouvements, les pauses, les retours en arri`ere, avec 72 heures de d´ecalage.
Le point o`u il croisera son maˆıtre en train de redescendre est un point o`u le moine est pass´e `a la mˆeme heure `a l’aller.
Selon les irr´egularit´es des mouvements aller et retour, il peut y avoir plu- sieurs points et moments r´epondant `a l’´enonc´e. Il peut mˆeme y en avoir une infinit´e si le moine et le disciple se rencontrant stationnent au mˆeme point, ou si l’un avance et l’autre recule `a la mˆeme vitesse. Mais si leurs rencontres sont des croisements simples en nombre fini, ce nombre est impair.
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