A322 - 72, nombre magique
Prenez le nombre 3 399 999 966 qui a dix chiffres dont la somme est égale au nombre magique 72. Multipliez successivement par les entiers naturels 2,3,4, … . et calculez à chaque fois la somme des chiffres du nombre ainsi obtenu. Vous vous arrêtez quand cette somme est différente du nombre magique. Quel est le nombre de
multiplications effectuées ?
Nota : calculette autorisée….mais déconseillée.
Source : d’après Mathematical Gazette 1896
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Posons la somme des chiffres du nombre (en base 10).
On établit les propriétés préliminaires suivantes :
• si x impair, alors sdcx 1 sdcx 1 (1)
• si 0 10, alors 10 1 9 (2)
• si 10 2.10, alors 10 1 (3) Remarquons que 34 10 1, et discutons selon les valeurs de :
• 34 1 10
34 1 10! 10 1 34 1
34 1 ! "10 1 34 1#
34 1 ! 9 8 34 1 d’après (2) 72
• 10 34 1 2.10
34 2 10! 10 1 34 1 10
34 2 ! "10 1 34 1 10#
34 1 1 ! 9 8 34 1 10 d’après (1) et (2) 34 1 1 ! 9 8 34 1 ! 1 d’après (3) 72
• %&.'(+,)*'-, soit la valeur de immédiatement supérieure au cas précédant 10,. 4/170 1 2.10. 2.4&. 32/340 1 2.10! 2
34 34 10 12.10! 2
34 210 110! 1 2. 10'2 2 1 ! 15 9 ! 8 144
Il est donc nécessaire d’effectuer les calculs de 2 à &.'()*&
+, 5882353, soit 5882352 multiplications.
