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G10020. Vague `a lame

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Academic year: 2022

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G10020. Vague ` a lame

J’observe la hauteur des vagues qui d´eferlent les unes apr`es les autres. De temps en temps l’une est plus haute que la pr´ec´edente et que la suivante.

Quelle est la proportion de ces vagues remarquables, en admettant que les hauteurs de vagues successives sont ind´ependantes ?

Solution

De trois vagues cons´ecutives, chacune a une chance sur 3 d’ˆetre la plus haute (j’admets qu’il n’y a jamais deux vagues cons´ecutives exactement de la mˆeme hauteur), donc une vague prise au hasard a une chance sur 3 d’ˆetre plus haute que la pr´ec´edente et la suivante.

Si ce raisonnement paraˆıt simpliste, voici un raffinement : soit F(h) la fonction (continue croissante) repr´esentant la probabilit´e qu’une vague ne d´epasse pas la hauteurh; la probabilit´e qu’une vague ait la hauteur h`a dh pr`es et d´epasse la pr´ec´edente et la suivante estF2(h)F0(h)dh, dont l’int´egrale sur l’intervalle de variation de h vaut 1/3, F(h) croissant de 0 `a 1 sur cet intervalle.

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