Espaces de Sobolev

EDP et Analyse numérique

M1-UE5 2007-2008 1.

Solutions classiques

Exercice 1.1. Résolution des problèmes de Dirichlet et Neumann en dimension 1

Soient trois réelsa,betγet une fonction continuef appartenant àC([0, 1]). On veut déterminer pour quelles valeurs deγle problème de Dirichlet

−u⁰⁰+γu=f sur ]0, 1[, u(0)=a, u(1)=b;

et le problème de Neumann

−u⁰⁰+γu=f sur ]0, 1[, u⁰(0)= −a, u⁰(1)=b admettent une unique solutionu dansC²([0, 1]).

a) Rappeler, en fonction des valeurs deγ, les solutions de l’équation différentielle

−u⁰⁰+γu=0 sur ]0, 1[.

On poseδ=p

|γ|.

b) En déduire une condition nécessaire et suffisante surγpour avoir unicité pour le problème de Dirichlet. [on pourra commencer par traiter le problème homogène correspondant àa=b=0 et f ≡0]

c) Même question pour le problème de Neumann.

d) En utilisant les résultats classiques sur la résolution des équations différentielles linéaires à coefficients constants, déterminer la solution de l’équation différentielle

−u⁰⁰+γu=f sur ]0, 1[

en fonction deu(0) etu⁰(0).

e) En déduire une condition nécessaire et suffisante surγet f pour que le problème de Dirichlet admette une solution.

f ) Même question pour le problème de Neumann.

Exercice 1.2. Fonction de Green en dimension 1 Soit le problème aux limites

(1) −u⁰⁰=f dans ]0, 1[, u(0)=0, u(1)=0,

oùf est une fonction continue sur [0, 1].

a) Montrer que ce problème admet une unique solution que l’on peut exprimer sous la forme u(x)=

Z 1 0

G(x,ξ)f(ξ)dξ, oùGest la fonction de Green

G(x,ξ)=

½x(1−ξ) si 0≤x≤ξ≤1, ξ(1−x) si 0≤ξ≤x≤1.

b) Montrer que l’application qui à tout élémentf ∈C⁰([0, 1]) associe la solution du problème aux limites (1) est linéaire et continue deC⁰([0, 1]) (muni de la norme de la convergence uniforme) dansC²([0, 1]) (muni de la normekvk∞+ kv⁰k∞+ kv⁰⁰k∞).

Exercice 1.3. Rappels de calcul différentiel

On fixe un ouvert Ω de Rⁿ. On rappelle qu’étant donné un champ de vecteurs Φ∈C¹(Ω;Rⁿ), on définit la divergence comme la fonction div(Φ)(x)=P

i∂xiΦi(x). On rappelle également que le laplacien d’une fonctionudansC²(Ω) est la fonction∆u=div(∇u)=P

i∂²xixiu.

a) Soientu∈C¹(Ω) etΦ∈C¹(Ω;Rⁿ). Calculer div(uΦ).

1

b) Soituetv deux fonctions réelles deux fois dérivables. Calculer∆(uv).

c) Soientu∈C²(Ω) etΦ∈C¹(R^m;Ω). Montrer que

∆(u◦Φ)= Xn i,j=1

∂²u(Φ)

∂xi∂xj(∇Φi,∇Φj)+ Xn i=1

∂u(Φ)

∂xi ∆Φi

d) Soientu∈C²(Ω) eth∈C²(R). Montrer que

∆(h◦u)=h⁰⁰(u)| ∇u|²+h⁰(u)∆u.

e) SoitT une isométrie affine euclidienne deRⁿ (c’est-à-dire la composée d’une translation et d’une transformation orthogonale,T x=Ox+aavecOtransformation linéaire orthogonale et aun vecteur). Pour une fonctionu:Rⁿ→R, on noteTu=u◦T⁻¹.

i) Montrer que le laplacien est invariant parT, c’est-à-dire que∆(Tu)=T(∆u).

ii) En déduire que∆u=f surΩsi et seulement si∆(Tu)=T f surTΩ. Exercice 1.4. Fonctions radiales

On supposen≥2. Une fonctionu:Rⁿ→Rest dite radiale si il existe v:R+→Rtelle queu(x)= v(|x|)∀x∈Rⁿ (|x|désigne la norme euclidienne du vecteurx).

a) Montrer que siuest une fonction radiale deux fois dérivable alors, pour toutx6=0, on a

∆u(x)=r¹⁻ⁿ(rⁿ⁻¹v⁰)⁰(r), r= |x|.

b) Deux réels 0<a<b étant fixés, on considère la couronneΩ={x∈Rⁿ|a< |x| <b}. On rappelle que la normale extérieure νen un pointx∈∂Ωest −x/|x|si|x| =a etx/|x|si|x| =b. Fixons une fonction radiale f ∈C(Ω).

i) Déterminer toutes les fonctions radiales solutions de∆u=0 dansΩ.

ii) Trouver toutes les solutions radialesu∈C²(Ω)∩C(Ω) du problème de Dirichlet

∆u=f dansΩ et u=αsi|x| =a, u=βsi|x| =b.

iii) Même question pour le problème de Neumann

∆u=f dansΩ et ∂u

∂ν=αsi|x| =a, ∂u

∂ν =βsi|x| =b.

Exercice 1.5. Principe du maximum faible et unicité pour le problème de Dirichlet

SoitΩun ouvert borné deRⁿet soient trois fonctions bornéesa :Ω7→Sⁿ(Sⁿdésigne l’ensemble des matrices réelles symétriques de taillen),b :Ω7→Rⁿetc:Ω7→R+. On considère alors l’opérateur différentiel linéaire du second ordre

Lu=tr(aD²u)+b· ∇u=

n

X

i,j=1

a_{i j}(x) ∂²u

∂xixj

(x)+

n

X

i=1

b_i(x)∂u

∂xi

(x)

défini pour les fonctionsu∈C²(Ω). On suppose que l’opérateurLest uniformément elliptique sur Ω, au sens où il existe une constanteα>0 telle que la matricea−αI soit symétrique positive dans Ω. On a donc (a(x)h)·h≥α|h|²pour touthdansRⁿ et toutxdansΩ.

a) Montrer que le laplacien est un opérateur uniformément elliptique surΩ.

b) Montrer que sia et a⁰ sont deux matrices symétriques positives on a tr(aa⁰)≥0. [on pourra commencer par le cas où la matriceaest diagonale]

c) Soitu un élément deC²(Ω). Montrer qu’en un pointxde maximum local deu on a∇u(x)= 0 et la matrice hessienne D²u(x) est négative. [considérer pour touth6=0 la fonction de la variable réelleϕ(t)=u(x+t h/|h|)]

d) Soitu∈C²(Ω)∩C(Ω) vérifiantLu−cu>0 dansΩ. Montrer queune peut atteindre un maxi- mum positif surΩqu’en un point de∂Ω.

3

e) Trouverk>0 tel que la fonctionw(x)=exp(kx1) vérifieLw−c w>0 surΩ.

f ) Établir le principe du maximum suivant. Siu∈C²(Ω)∩C(Ω) vérifieLu−cu≥0 dansΩ, alors max_Ωu≤max_∂Ωu⁺. [considérer pourε>0 la fonctionu+εwet faire tendreεvers 0]

g) Établir le principe de comparaison suivant. Siu,v∈C²(Ω)∩C(Ω) vérifientLu−cu≥Lv−c v dansΩetu≤v sur∂Ωalorsu≤vdansΩ.

h) Soit f :Ω7→Retg :Ω7→R. On considère le problème de Dirichlet (solution classique) : trou- veru∈C²(Ω)∩C(Ω) vérifiant

Lu−cu=f dansΩ, u=g sur∂Ω.

Montrer que le problème de Dirichlet admet au plus une solution (la question de l’existence n’est pas du tout abordée ici).

Exercice 1.6. Formules de Green

SoitΩun ouvert borné régulier (de classeC¹) de vecteur normal unitaire extérieurν. On rappelle le théorème de la divergence dansRⁿ : siU=(U₁, . . . ,Un) est un champ de vecteur défini surΩde classeC¹(Ω) on a

Z

Ωdiv(U)(x)d x= Z

∂ΩU·νdσ(x),

oùσest la mesure superficielle portée par∂Ω. En dimension 1, siΩ=]a,b[ c’est la fameuse formule d’intégration par partie

Z

]a,b[ϕ⁰(x)d x=ϕ(b)−ϕ(a)= Z

∂Ωϕ·n dσ, σ=δa+δb.

Montrer les identités suivantes pour des fonctions régulièresu,w:Rⁿ→Rappartenant àC²(Ω) et Φ:Rⁿ→Rⁿappartenant àC¹(Ω;Rⁿ).

Z

Ω

∂u

∂xi

d x= Z

∂Ωuνidσ, Z

Ω∆u d x= Z

∂Ω

∂u

∂νdσ, Z

Ωu∂v

∂xi

d x= Z

∂Ωuvνidσ− Z

Ωv∂u

∂xi

d x,

Z

Ωu∆w d x= Z

∂Ωu∂w

∂ν dσ− Z

Ω(∇u,∇w)d x (première identité de Green), Z

Ωudiv(Φ)= Z

∂Ωu(Φ,ν)dσ− Z

Ω(Φ,∇u)d x, Z

Ωu∆w d x− Z

Ωw∆u d x= Z

∂Ωu∂w

∂ν dσ− Z

∂Ωw∂u

∂νdσ (deuxième identité de Green).

Exercice 1.7. Intégration de fonctions radiales DansRⁿ, on notesn=σ(B1)=R

∂B₁dσla surface de la sphère unité∂B1. On notem la mesure de Lebesgue. On appelle solution fondamentale du laplacien la fonction radiale

E1(x)=|x|

2 , E2(x)=log|x|

2π et En(x)= −1

(n−2)sn|x|ⁿ⁻² sin≥3.

a) Montrer que∆En=0 dansRⁿ\{0}.

b) Montrer, en utilisant la formule de Green, que la mesure la surface de la sphère de rayonr est R

∂Brdσ=snrⁿ⁻¹. [on se placera dans la couronneΩ={x∈Rⁿ;r< |x| <1} pour 0<r<1]

c) Montrer quem(B_r)=rⁿm(B₁). [On écrira la formule de Green pouru(x)=^|x|₂² dans la boule B(0,r).]

d) Montrer que pour toute fonction borélienne f :R+→R+on aR

Rⁿ f(|x|)d x=snR_∞

0 rⁿ⁻¹f(r)d r. [méthode classique : indicatrice d’un intervalle ]a,b[, indicatrice d’un borélien, fonction simple et enfin fonction positive]

e) Déterminer pour quelles valeurs deα∈Retp∈[1,+∞] les fonctions|x|^α sont dansL^p(B1) ? dansL^p(Rⁿ\B₁) ?

Exercice 1.8. Formule de représentation de Green

On utilisera la solution fondamentale du laplacienEn, qui a été définie dans l’exercice précédent.

a) Vérifier queEnet∇Ensont localement intégrables.

b) Montrer que pour toute fonction continueuet toutx₀fixé on a limε→0

Z

∂B_ε(x₀)

u(x)E_n(x−x₀)dσ=0 et lim

ε→0

Z

∂B_ε(x₀)

u(x)∂E_n

∂ν (x−x₀)dσ=u(x₀).

c) Soit Ωun ouvert borné de classeC¹ etu∈C²(Ω). Soitx0∈Ωfixé. En écrivant la deuxième identité de Green surΩ\B(x0,ε) (avecε>0 suffisamment petit) pouruetEn, établir la formule de représentation de Green

u(x₀)= Z

Ω∆u(x)E_n(x−x₀)d x+ Z

∂Ωu(x)∂En

∂ν (x−x₀)dσ− Z

∂Ω

∂u

∂ν(x)E_n(x−x₀)dσ.

Exercice 1.9.

SoitΩun ouvert borné deRⁿ suffisamment régulier etu∈C²(Ω)∩C(Ω) une solution (classique) du problème∆u=u³−u dansΩetu=0 sur∂Ω.

a) Montrer que nécessairement−1≤u(x)≤1 pour toutx∈Ω. [indication : chercher à appliquer un principe de comparaison entreuet une fonction bien choisie sur un ouvert bien choisi !]

b) La fonctionu peut-elle atteindre la valeur 1 ou−1 ? [indication : on pourra admettre le prin- cipe du maximum fort. Avec les mêmes notations que l’exercice 1.5 si Lu−cu ≥0 dans Ω –ouvert régulier– avecu non constante. Sic=0 alorsu n’atteint pas son maximum dans l’in- térieur deΩ. Si c≤0,u ne peut atteindre un maximum positif ou nul dans l’intérieur deΩ.

Enfin, sans condition surc,une peut être égale zéro en un maximum intérieur deΩ.]

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2.

Espaces L

( R

) , convolution et régularisation

Dans cette fiche, on notera, pourp∈[1,+∞],L^p(Rⁿ) l’espaceL^p(Rⁿ) et k · kp la norme associée.

Sauf mention contraire, tous les exposantsp,q etr seront dans [1,+∞].

On rappelle que la convolée de deux fonctions f etg définies surRⁿ est la fonction notée f∗g donnée par la formule

f∗g(x)= Z

f(x−y)g(y)d y= Z

f(y)g(x−y)d y.

L’ensemble des fonctions de classeC^∞à support compact dansΩsera aussi notéD(Ω).

Exercice 2.1. Applications de l’inégalité de Hölder

On rappelle que si on a deux exposantsp etq conjugués (i.e. tels que _p¹+_q¹ =1) et si on a deux fonctions f ∈L^p(Ω) etg∈L^q(Ω), alorsf g∈L¹(Ω) et

kf gk1≤ kfkpkgkq.

a) Soit f ∈L^p(Ω) et g∈L^q(Ω). Soitr tel que ¹_r = ¹_p+_q¹. On suppose quer ∈[1,∞[, montrer que f g∈L^r(Ω) aveckf gkr≤ kfkpkgkq.

b) Montrer que si f ∈L^p(Ω)∩L^q(Ω), alors, pour toutr∈[p,q], on af ∈L^r(Ω) etkfkr≤ kfk^θ_pkfk^1−θ_q , pourθ∈[0, 1] que l’on déterminera.

c) Établir l’inégalité de Hölder généralisée suivante. Si f₁∈L^p1(Ω), . . ., f_k∈L^pk(Ω) avec _p¹

1+ · · · +

1

pk =1, alors f₁. . .f_k∈L¹(Ω) etkf₁. . .f_kk1≤ kf₁kp1. . .kf_kkpk.

Exercice 2.2. Support d’une fonction. Dans tout l’exercice, f etg désignent des fonctions conti- nues et définies surRⁿ. On rappelle que le support d’une fonction continue est l’ensemble

Supp(f)={f 6=0}.

a) Montrer que Supp(f) est le plus petit fermé en dehors duquel la fonction f est nulle.

b) Montrer que Supp(f+g)⊂Supp(f)∪Supp(g).

c) Montrer que Supp(f g)⊂Supp(f)∩Supp(g).

d) On suppose en outre que f et g sont des éléments de L¹(Rⁿ). On rappelle que, pour deux ensemblesA etBdeRⁿon définit A+B={a+b;a∈,b∈B}.

i) Montrer que Supp(f∗g)⊂Supp(f)+Supp(g).

ii) Montrer que l’ensembleA+Best fermé siAest fermé etBest compact. [utiliser la carac- térisation séquentielle de l’adhérence et de la compacité] [voir enfin ce qui se passe dans R²avecA={(x, 1/x) ;x∈R^∗} etB={(x, 0) ;x∈R}]

iii) Conclure que lorsquegest à support compact alors on a Supp(f∗g)⊂Supp(f)+Supp(g).

Exercice 2.3. Inégalité de convolution. Soitpetq deux exposants vérifiant_p¹+¹_q ≥1. On peut alors définirr∈[1,+∞] par la formule ¹_r=_p¹+_q¹−1. On notep⁰,q⁰etr⁰les exposants conjugués dep,qet r resp.. On veut montrer que, si f ∈L^p(Rⁿ) etg∈L^q(Rⁿ), on a f∗g∈L^r(Rⁿ) et

kf ∗gkr≤ kfkpkgkq.

a) Mesurabilité.Soit f etg deux fonctions boréliennes. On rappelle les notations f⁺=max(f, 0) et f⁻=max(−f, 0), de sorte quef =f⁺−f⁻et|f| =f⁺+f⁻.

i) Montrer que l’application (x,y)7→f(x−y)g(y) est borélienne.

ii) Si f etg sont positives, montrer, en utilisant le théorème de Fubini, que la fonctionx7→

f ∗g(x)=R

f(x−y)g(y)d y(à valeurs dans [0,+∞]) est borélienne.

iii) Sif etgsont quelconques et si les fonctions positives f⁺∗g⁺, f⁺∗g⁻, f⁻∗g⁺et f⁻∗g⁻ sont p.p. finies, conclure quef∗gest p.p. finie et est égale à une fonction borélienne p.p.

(elle est donc mesurable au sens de Lebesgue).

b) Le cas r= +∞.Cette condition est bien sûr équivalente àq=p⁰.

i) Si f etgsont positives, montrer que f ∗g∈L^∞(Rⁿ) et quekf ∗gk∞≤ kfkpkgkp⁰.

ii) En utilisant la question(a–iii), montrer que, pour f ∈L^p(Rⁿ) etg∈L^p0(Rⁿ) quelconques, f ∗g est p.p. définie, qu’elle est dansL^∞(Rⁿ) et qu’elle vérifiekf ∗gk∞≤ kfkpkgkp⁰. iii) Par un argument de densité, montrer qu’en fait f ∗g est continue et que, sip∈]1,+∞[,

on a lim_|x|→+∞f∗g(x)=0.

c) Le cas r< +∞.Notons que cela implique quep< +∞etq< +∞. Jusqu’à la question(c–v), les fonctions f,g etϕconsidérées seront positives.

i) Montrer que Z

f∗g(x)ϕ(x)d x= Z

f(x)g(y)ϕ(x+y)d x d y.

ii) Vérifier les identités 1=^p_r +_q^p0 =^q_r +_p^q0=_p^r00+_q^r00. iii) En utilisant la décomposition

f(x)g(y)ϕ(x+y)=[(f(x))^pr(g(y))^qr][(f(x))

p

q0(ϕ(x+y))^r

0

q0][(g(y))

q

p0(ϕ(x+y))^r

0 p0], montrer queR

f ∗gϕ≤ kfkpkgkqkϕkr⁰.

iv) En déduire quekf∗gkr≤ kfkpkgkq. [On prendraϕ=(f ∗g)^r−1.]

v) En utilisant la question(a–iii), montrer que, pour f ∈L^p(Rⁿ) etg∈L^q(Rⁿ) quelconques, on af ∗g∈L^r(Rⁿ) etkf ∗gkr≤ kfkpkgkq.

d) Soitt>0 etf ∈L^p(Rⁿ). On pose ft=f(·/t). Calculerkftkp en fonction dekfkp et (f ∗g)t en fonction de ft∗gt. En déduire que, pour avoir une inégalité du type kf ∗gks ≤Ckfkpkgkq

∀f ∈L^p(Rⁿ)∀g∈L^q(Rⁿ), il faut que ¹_s =_p¹+_q¹−1.

Exercice 2.4. Régularité et convolution

a) Soit f ∈C(Rⁿ) une fonction bornée etg ∈L¹(Rⁿ). En utilisant le théorème de convergence dominée, montrer que f∗g est continue.

b) On suppose que f ∈C¹(Rⁿ) est bornée ainsi que ses dérivées. En utilisant à nouveau le théo- rème de convergence dominée, montrer que f∗g est de classeC¹et que ^∂(f_∂x^∗g)

i =_∂^∂_x^f_i∗g. c) Conclure que si f ∈C^∞(Rⁿ), on a f∗g∈C^∞(Rⁿ) et∂^α(f∗g)=(∂^αf)∗g ∀α∈Nⁿ. Exercice 2.5. Fonction plateau, suite régularisante

SoitΩ un ouvert deRⁿ etK un compact inclus dansΩ. Le but de l’exercice est de construire une fonctionζ∈C₀^∞(Ω) à valeurs dans [0, 1] et valant 1 surK. Une telle fonction est appelée fonction plateau.

a) Montrer qu’il existeε>0 tel qued(K,Ω^c)≥4ε. [on rappelle que la fonctionx∈Ω7→d(x,Ω^c) est continue.]

b) i) Montrer que la fonction f :R7→Rdéfinie par f(t)=

(0 si t≤0,

f(t)=exp(−1/t) sit>0

est de classeC^∞ surR. [montrer par récurrence que, pour tout n∈N, il existe un poly- nômep_n tel que f⁽ⁿ⁾(t)=p_n(1/t) exp(−1/t) sit>0]

7

ii) On définitρ(x)=c f(1−|x|²) pourx∈R^N avecctel queR

Rⁿρ(x)d x=1. Préciser le support deρet montrer queρ∈C₀^∞(Rⁿ).

iii) En déduire que la fonctionρε(x)=ε⁻ⁿρ(x/ε) est de la classeC^∞, à valeurs≥0, à support dans la boule B_ε et telle que R

Rⁿρεd x =1. Quel est le comportement de ρε(x) quand ε→ ∞? Une telle suite de fonctions est appelée suite régularisante.

c) On noteK_ε={x∈Ω|d(x,K)≤ε}.

i) Montrer queK2ε+B_ε⊂K3εet queK₂^c_ε+B_ε⊂K_ε^c.

ii) Montrer que la fonctionζ=1K2ε∗ρε est dansC₀^∞(Ω), à valeurs dans [0, 1], et telle que ζ≡1 dans un voisinage deK.

Exercice 2.6. Montrer qu’une suite régularisante ne peut pas converger dansL¹(Rⁿ).

Exercice 2.7. Un peu de densité. SoientΩun ouvert deRⁿ etptel que 1≤p< +∞. Nous suppose- rons que l’espace des fonctions continues à support compact dansΩest dense dansL^p(Ω). Soitρk

une suite régularisante (ε=1/k par rapport à l’exercice 2.5).

a) Soit f une fonction continue à valeurs dans Rⁿ. Montrer queρk∗f → f uniformément sur tout compact deRⁿ.

b) Soit f ∈L^p(Rⁿ). Montrer queρk∗f →f dansL^p(Rⁿ).

c) Montrer queD(Ω) est dense dansL^p(Ω)

d) Refaire l’exercice en utilisant juste le fait que l’ensemble des fonctions continues à support compact dansRⁿ est dense dansL^p(Rⁿ). On pourra utiliser

i) Suite exhaustive de compacts.Construire une suite croissante (Km) de compacts deΩtelle que∪mKm=Ω.

[On pourra prendre, pourm≥1,Km={x∈Ω|d(x,Ω^c)≥_m¹ et|x| ≤m}.]

ii) Soit (χm) une suite de fonctions deD(Ω) à valeurs dans [0, 1] telle que∀mχm vaut 1 sur Km. Montrer que fχm→f dansL^p(Ω).

Exercice 2.8. Exercice 1.9bis repetita

SoitΩun ouvert borné deRⁿsuffisamment régulier etu∈C²(Ω)∩C(Ω) une solution (classique) du problème∆u=u³−u dansΩetu=0 sur∂Ω. Montrer que nécessairement−1≤u(x)≤1 pour tout x∈Ω. Posons (u−1)⁺=max(u−1, 0) et supposons que la première identité Green suivante soit licite

Z

Ω(u−1)⁺∆u d x= Z

∂Ω(u−1)⁺∂u

∂νdσ− Z

Ω(∇(u−1)⁺,∇u)d x. Commeuvérifie∆u=u³−u et comme (u−1)⁺=0 sur∂Ω(u=0 surΩ) on obtiendrait

0≤ Z

Ω(u³−u)(u−1)⁺d x= − Z

Ω(∇(u−1)⁺,∇u)d x= − Z

{x∈Ω:u(x)>1}

(∇u,∇u)d x, ce qui donneR

x∈Ω:u(x)>1(∇u,∇u)d x=0 d’oùu≤1. Maisa priorinous ne pouvons pas écrire la pre- mière identité de Green, car nous ne savons pas siu est C²(Ω) et il est clair que (u−1)⁺ n’est pas C¹(Ω).

L’idée est d’une part d’utiliser une fonction (régulière) plateau,ϕ, valant 1 sur le compact {x∈Ω: u(x)≥1} et à support compact dansΩ. Ainsi uϕsera bienC²(Ω). D’autre part pour approcher de façon régulière (u−1)⁺ on utilise la suite de fonctionψε(x)=(p

|u(x)−1|²+ε+(u(x)−1))/2 avec ε→0.

a) Montrer queψε→(u−1)⁺uniformément surΩquandεtend vers 0. En déduire que

ε→lim0

Z

Ω∆uϕϕψεd x= Z

Ω∆u(u−1)⁺d x= Z

Ω(u³−u)(u−1)⁺d x≥0.

b) A l’aide des formules de calcul différentiel et du fait que∇ϕ≡0 sur {x∈Ω:u(x)≥1} montrer que

ε→lim0

Z

Ω∆(uϕ)ϕψεd x= Z

Ω∆u(u−1)⁺d x≥0.

c) Montrer que la première identité de Green s’applique pour Z

Ω(ψεϕ)∆(uϕ)d x.

d) En passant à la limite (ε→0) dans la première identité de Green et à l’aide de la question b) montrer que

− Z

{x∈Ω;u(x)≥1}(∇u,∇u)d x≥0.

e) En déduire que∇u≡0 sur {x∈Ω;u(x)≥1} puis queu(x)≤1 surΩ.

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Espaces de Sobolev

Exercice 3.1. SoitΩetΩ⁰ deux ouverts deRⁿ tels queΩ⁰⊂Ω. a) Montrer queH¹(Ω)⊂H¹(Ω⁰).

b) L’inclusionH₀¹(Ω)⊂H₀¹(Ω⁰) ? est-elle vraie ? Exercice 3.2. Déterminer si les fonctions

max(|x| −1, 0) dansR, sin|x| dansR, p

|x| dans ]−1, 1[, 1

x dans ]0, 1[, ln|x| dans ]0, 1[, |x|^1/3 dans ]0, 1[, |x|^2/3 dans ]−1, 1[,

sont dans un espace de typeH¹,H₀¹?

Exercice 3.3. SoitΩ=]0, 1[×]0, 1[⊂R²etu_ε(x,y)=(1−y)^εsin(εx)/p

ε. Montrer queu_ε→0 dans L^∞ quandε→ +∞,k∇u_εkL²≤δ(avecδ>0). En déduire qu’il existe une sous-suite qui converge faible- ment vers 0 dansH¹(Ω).

Exercice 3.4. Fonctions régulières par morceaux

SoitI =]α,β[ un intervalle ouvert de R(avec−∞ ≤α<β≤ +∞). On considère une fonction f : I7→Rde classeC¹par morceaux (non continuea priori). Il existe donc des pointsx₀<x₁< · · · <x_k pour lesquels f ∈C¹(]xi−1,xi[) pour 1≤i≤k, et en lesquels f et f⁰ admettent des limites à droite et à gauche (que l’on note f(x_i+), f(x_i−), . . .). La fonction f⁰ désigne ici la dérivée usuelle de f en dehors des pointsxi (elle est étendue, arbitrairement, par 0 enxi).

a) Soitϕ∈C₀^∞(I).

i) Montrer que, pour tout 1≤i≤k, on a Z xi

xi−1

fϕ⁰d t=[f(x_i−)ϕ(xi)−f(x_i−1+)ϕ(xi−1)]− Z xi

xi−1

f⁰ϕd t.

ii) En déduire que Z

I

fϕ⁰d t= − Z

I

f⁰ϕd t−

k

X

i=0

¡f(xi+)−f(xi−)¢ ϕ(xi).

b) Montrer que la fonction f est dans H¹(I) si et seulement si f est continue, f ∈L²(I) et f⁰∈ L²(I).[pour l’implication, on fixera un indicei et on construira une suite de fonctionsϕm∈C₀^∞(I) à valeurs dans [0, 1] telles queϕm(x_i)=1 etϕm≡0 en dehors de [x_i−_m+1¹ ,x_i+_m+1¹ ].]

Exercice 3.5. Espaces de Sobolev en dimension 1

SoitI=]α,β[ un intervalle ouvert deR(avec−∞ ≤α<β≤ +∞).

a) Soitf ∈H¹(I). On note f⁰dérivée faible de f.

i) Montrer que, pour presque toutx, y, on a f(y)=f(x)+ Z y

x

f⁰(t)d t. [On commencera par supposer que f ∈C₀^∞( ¯I). Ensuite on raisonnera par densité. Étant donnée f ∈H¹(I), il existe une suite (f_n) de fonctions dansC₀^∞( ¯I) telles que f_n→f dansH¹. Par la réciproque du théorème de convergence dominée, on notera que l’on peut extraire une sous-suite (f_nk) convergeant p.p. vers

f]

ii) En déduire qu’il existe une fonctiong continue telle que f =g p.p. dansI. En d’autres termes, la fonction f ∈L²(I) admet un représentant continu. Dans la suite du problème, on notera f ce représentant, de sorte que f sera supposée continue.

b) Montrer que f est höldérienne d’exposant 1/2, i.e. pour toutx,y dansI on a

|f(x)−f(y| ≤ kf⁰k2|x−y|^1/2.

c) On veut démontrer que f ∈L^∞(I) et estimerkfk∞en fonction de kfkH¹(I). Pour cela on fixe un intervalle borné [a,b]⊂I, d’intérieur non vide. On procède par densité.

i) On suppose d’abord que f ∈C₀^∞( ¯I).

(1) Rappeler pourquoi il existec∈[a,b] tel quef(c)=(b−a)⁻¹Rb

a f d t(première formule de la moyenne).

(2) Montrer quef²(x)=f²(c)+2Rx

c f f⁰d t pour toutx.

(3) En déduire l’inégalitékfk∞≤ |f(c)| +2^1/2kfk^1/2₂ kf⁰k^1/2₂ . (4) Conclure quekfk∞≤(1+(b−a)^−1/2)kfkH¹(I).

ii) En raisonnant par densité, montrer que l’inégalité ci-dessus reste valide si f ∈H¹(I).

d) SiI est non borné, montrer que limx∈I,|x|→∞f(x)=0.

Exercice 3.6. Pourα∈]1−n, 1[, on considère la fonction définie surRⁿ\{0} par f(x)= |x|^α.

a) Montrer que les fonctions f etg_i(x)=αx_i|x|^α−2, 1≤i ≤n, sont localement intégrables dans Rⁿ, c’est-à-dire que, pour toutR>0, les fonctions sont dansL¹(BR).

b) Montrer que, pour toute fonctionϕ∈C₀^∞(Rⁿ), on a Z

f ∂ϕ

∂xi

d x = − Z

giϕd x. La dérivée par- tielle faible de la fonction f par rapport à la variablex_i est doncg_i. [On écrira la formule de Green surB(0,ε)^c et on fera tendreε→0.]

c) Montrer que f ∈H¹(B1) si et seulement sin>2(1−α).

d) En déduire que, pour tout ouvert non videΩ deRⁿ avecn≥3, il existe une fonction H¹(Ω) non bornée.

Exercice 3.7. On suppose 2<netΩborné (pour simplifier).

Construire une fonctionu∈H¹(Ω) qui soit non bornée sur tout ouvert deΩ.

[Déduire, de l’exercice précédent, que,∀x∈Ω,∀ε>0, il existe une fonction positiveu∈H¹(Ω) telle queusoit non bornée sur tout voisinage dexetkukH¹(Ω)≤ε. Considérer alors un sous-ensemble {x_k|k∈N} de points deΩ, dense dansΩ.]

Exercice 3.8. Convolution

Soit f ∈L¹(Rⁿ) etg∈H¹(Rⁿ). Montrer que f∗g∈H¹(Rⁿ) avec∇(f∗g)=f∗ ∇g.

Exercice 3.9. Produit Soit f,g ∈H¹(Ω)∩L^∞(Ω). On veut montrer que f,g ∈H¹(Ω)∩L^∞(Ω) avec

∇(f g)=(∇f)g+f(∇g). La difficulté consiste à montrer cette dernière identité, qui s’écrit

(∗) −

Z

Ωf g(∇ϕ)= Z

Ω(∇f)gϕ+f(∇g)ϕ, ∀ϕ∈D(Ω).

a) Établir (∗) si f ∈C^∞(Ω).

b) On suppose que f est à support compact dansΩ. On considère une suite régularisante (ρk) et on pose fk =f ∗ρk. [On peut donc prolonger f par 0 à Rⁿ et on obtient une fonction de H¹(Rⁿ).]

i) Rappeler pourquoi on a kf_kk∞≤ kfk∞ et pourquoi f_k → f dans H¹(Ω). Montrer qu’il existe une sous-suite (fkm) telle que fkm→f et∇fkm→ ∇f p.p. dansΩ.

ii) Établir alors (∗).

c) On montre maintenant (∗) dans le cas général. On fixeϕ∈D(Ω) et on considèreχ∈D(Ω) telle queχ=1 au voisinage de Suppϕ.

i) Montrer que fχ∈H¹(Ω)∩L^∞(Ω).

ii) Déduire de(b)que (∗) est vraie pour fχ, puis pour f. d) Conclure quef g∈H¹(Ω)∩L^∞(Ω).

11

Exercice 3.10. Soit Ω un ouvert connexe. On veut montrer que toute fonction u∈H¹(Ω) vérifiant

∇u=0 p.p dansΩest constante.

a) SoitBune boule fermée non vide deΩ.

i) Soituune fonction de classeC¹. Montrer que∀x,y∈Bon a u(x)−u(y)=

Z 1 0

(∇u(t x+(1−t)y),x−y)d t.

ii) Montrer qu’il existe une constanteC >0 indépendante deu telle que, pour tout x∈B (resp. pour touty∈B), on a

Z 1/2 0

Z

B| ∇u(t x+(1−t)y)|d y d t≤C Z

B| ∇u(z)|d z, et, resp.

Z 1 1/2

Z

B| ∇u(t x+(1−t)y)|d x d t≤C Z

B| ∇u(z)|d z.

iii) En déduire que Z

B

Z

B|u(x)−u(y)|d x d y≤C⁰ Z

B| ∇u(z)|d z.

iv) Montrer que l’inégalité précédente reste vraie siu∈H¹(B).

b) Déduire le résultat souhaité.

Exercice 3.11. Le dualH⁻¹(Ω)deH₀¹(Ω)

Étant donné un ouvertΩ, on note H⁻¹(Ω) l’espace vectoriel des formes linéaires continues sur H₀¹(Ω). On veut montrer que les éléments deH⁻¹sont exactement de la forme

T(f)= Z

Ωg0f d x+

n

X

i=1

Z

Ωgi∂f

∂xi

d x pour une fonctiong=(g₀, . . . ,g_n)∈L²(Ω;Rⁿ⁺¹) arbitraire.

a) Montrer que toute forme linéaire donnée par la formule précédente est un élément deH⁻¹(Ω).

b) Montrer que l’application Φ : H₀¹(Ω)7→L²(Ω;Rⁿ⁺¹) définie par Φ(u)=(u,_∂^∂_x^u

1, . . . ,_∂^∂_x^u

n) est un isomorphisme deH₀¹(Ω) dansE={(u,_∂^∂_x^u

1, . . . ,_∂^∂_x^u

n) ;u∈H₀¹(Ω)} qui est un sous espace fermé de l’espace de HilbertL²(Ω;Rⁿ⁺¹) muni du produit scalaireu·v=Pn

i=0

R

Ωu_iv_id x.

c) On fixe désormais un élémentT deH⁻¹(Ω). On notePla projection orthogonale deL²(Ω;Rⁿ⁺¹) surE. On rappelle que c’est un endomorphisme de norme≤1. Montrer queT◦Φ⁻¹◦P est une forme linéaire continue surL²(Ω;Rⁿ⁺¹).

d) En appliquant le théorème de Riesz, en déduire qu’il existeg∈L²(Ω;Rⁿ⁺¹) tels queT◦Φ⁻¹◦ P(f)=f·gpour tout f ∈L²(Ω;Rⁿ⁺¹).

e) Conclure que, pour toutf ∈H₀¹(Ω), on aT(f)=R

Ωg0f d x+P

i

R

Ωgi∂f

∂xid x.

f ) LorsqueΩest borné dans une direction, montrer que l’on peut supposerg0=0 [Utiliser l’in- égalité de Poincaré.]

Exercice 3.12. Inégalité de Poincaré-WirtingerSoitΩun ouvert connexe borné de classeC¹. On veut montrer qu’il existe une constanteC>0 telle que

ku− 1 m(Ω)

Z

Ωuk2≤Ck ∇uk2, ∀u∈H¹(Ω).

a) Supposer que l’inégalité est fausse et montrer qu’il existe une suite de fonctionsvk ∈H¹(Ω) telle que

kv_kk2=1, Z

Ωv_k=0 et lim

k→∞k ∇v_kk2=0.

b) En utilisant le théorème de Rellich-Kondrachov montrer que l’on peut extraire une sous-suite convergeant fortement dansL²et aboutir à une contradiction.

HILBERT ETLAX-MILGRAM

Exercice 4.1.

a) Montrer qu’en dimension finie une forme bilinéaire symétrique est coercive si et seulement si elle est définie positive (i.e.a(u,u)>0 pour toutu6=0)

b) Que peut-on dire en dimension infinie ?

c) On se place dans l’espace `² des suites (ui)_i∈N vérifiant P

iu_i²< ∞ muni de la norme |u| = (P

iu_i²)^1/2.

i) Vérifier que`²est un espace de Hilbert.

ii) Construire une forme bilinéaire continue symétrique positivea définie sur`<sup>2</sup> et un élé- ment f ∈`² pour lesquels le problème a(u,v)=(f,v) pour tout v∈`² n’admet pas de solution.

Exercice 4.2. SoitΩun ouvert deRⁿ eta0une fonction mesurable dansL^∞(Ω). On considère l’ap- plication bilinéaire définie pouru,v∈L²(Ω) para(u,v)=R

Ωa0uv d x.

a) Montrer queaest bien définie et est continue surL²(Ω).

b) Soitg∈L^∞(Ω). Montrer queg≥0 p.p. si et seulement siR

g h≥0 pour touth∈L¹(Ω), h≥0.

[Pour la réciproque, on pourra considérer la suite de fonctionshk=1_Ω∩Bk∩{g<0}]

c) Montrer queaest coercive si et seulement si il existe une constanteα>0 telle quea0≥αp.p.

d) On fixe f ∈ L²(Ω). Comment s’écrit alors le théorème de Lax-Milgram appliqué à la forme bilinéairea et à la forme linéairel(v)=R

f v d x?

e) La solution du problème variationnel de la question précédente minimise-t-elle une fonction- nelle ?

Exercice 4.3. Soita une forme bilinéaire continue coercive sur un espace de HilbertHetl∈H⁰. Montrer que la fonctionnelle J définie sur H par J(v)=¹₂a(v,v)− 〈f,v〉admet un unique mini- mum. De quel problème variationnel est-il solution ? [on considérera la forme bilinéaire symétrique a⁰(u,v)=¹₂¡

a(u,v)+a(v,u)¢ ]

Exercice 4.4. Soit Hun espace de Hilbert etM un sous-espace affine fermé de directionL. On rap- pelle que cela signifie queL est un sous-espace vectoriel fermé de H et qu’il existeu₀∈H tel que M=u0+L. Soita une forme bilinéaire continue coercive surHetl∈H⁰

a) On supposeasymétrique. Montrer que la fonctionnelleJ(v)=¹₂a(v,v)−l(v) admet un unique minimumu surM et qu’il est caractérisé paru∈M eta(u,v)=l(v) pour toutv∈L. [On se ramènera à la minimisation d’une fonctionelle analogue surL.]

b) Dans le cas général où a n’est plus symétrique, montrer, en utilisant le théorème de Lax- Milgram, qu’il existe un uniqueu∈M tel quea(u,v)=l(v) pour toutv∈L.

PROBLÈMES VARIATIONNELS EN DIMENSION1 Exercice 4.5. Problèmes variationnels en dimension 1.

On cherche à résoudre l’équation différentielle

−u⁰⁰+cu=f p.p. dans ]0, 1[

13

avec diverses conditions au bord. On supposera quec∈L^∞(]0, 1[) et quec≥c0 p.p. pour une constante c₀≥0. Sauf mention contraire, on supposera quec₀>0 et que f ∈L²(]0, 1[). On considère alors la fonctionnelle

J(v)=1 2

Z 1 0

¡(v⁰)²+c v²¢

− Z 1

0

f v

définie sur H¹(]0, 1[). Rappelant que les fonctions de H¹(]0, 1[) sont continues (à un représentant près), on définira sans ambiguïté leurs valeurs en tout point de [0, 1].

a) Condition de Dirichlet homogène (avec c0=0).

i) Montrer que le problème min{J(v)|v∈H₀¹(]0, 1[)} admet une unique solutionu et qu’elle est l’unique solution du problème variationnel

Z 1 0

u⁰v⁰d x+ Z 1

0

cuv = Z 1

0

f v d x; pour toutv∈H₀¹(Ω).

ii) Soitu∈C²([0, 1]). Montrer queuest solution du problème précédent si et seulement siu est solution de l’équation différentielle

−u⁰⁰+cu=f p.p. dans ]0, 1[ avecu(0)=u(1)=0.

iii) Montrer que toute solution du problème variationnel est dansH²(]0, 1[), i.e.u∈H¹(]0, 1[) etu⁰∈H¹(]0, 1[).

iv) Fixonsu∈H¹(]0, 1[). Déduire de la question précédente queu∈H₀¹(]0, 1[) est solution du problème variationnel si et seulement siu∈H²(]0, 1[) et vérifie

−u⁰⁰+cu=f p.p. dans ]0, 1[ avecu(0)=u(1)=0.

v) (1) Montrer que tout fonction v∈H¹(]0, 1[) dont la dérivée faible v⁰ est une fonction continue est de classe C¹. [on rappelle que v vérifiev(y)=v(x)+Ry

x v⁰(t)d t pour toutx,ydans ]0, 1[.]

(2) En déduire que sic,f sont dansC¹([0, 1]) alorsu∈C²(]0, 1[).

(3) Montrer que sic,f sont dansC^∞([0, 1]) alorsu∈C^∞(]0, 1[).

b) Condition de Dirichlet non homogène (avec c0=0). Soit a etb deux réels fixés. On veut ré- soudre

(∗) −u⁰⁰+cu=f p.p. dans (]0, 1[) avecu(0)=a,u(1)=b.

i) On poseE={v∈H¹(]0, 1[)|v(0)=a,v(1)=b}. Montrer queE est un sous-espace affine fermé deH¹(]0, 1[) de directionH₀¹(]0, 1[).

ii) Montrer que le problème min{J(v)|v∈E} admet une unique solutionu et écrire le pro- blème variationnel associé.

iii) Soitu∈C²([0, 1]). Montrer queuest solution du problème précédent si et seulement siu est solution de l’équation différentielle (∗).

c) Condition de Neumann homogène (avec c₀>0).

i) Montrer que le problème min{J(v)|v∈H¹(]0, 1[)} admet une unique solutionu et écrire le problème variationnel associé.

ii) Soitu∈C²([0, 1]). Montrer queuest solution du problème précédent si et seulement siu est solution de l’équation différentielle

−v⁰⁰+c v=f p.p. dans ]0, 1[ avecv⁰(0)=v⁰(1)=0.

d) Condition de Neumann non homogène (avec c0>0).Soitaetb deux réels fixés.

i) Montrer que le problème min{J(v)−av(0)−bv(1)|v∈H¹(]0, 1[)} admet une unique solu- tionuet écrire le problème variationnel associé.

ii) Soitu∈C²([0, 1]). Montrer queuest solution du problème précédent si et seulement siu est solution de l’équation différentielle

−u⁰⁰+cu=f p.p. dans ]0, 1[ avecu⁰(0)= −a,u⁰(1)=b.

e) Condition de Robin homogène (avec c0>0).Soitα≥0 etβ≥0 fixés.

i) Montrer que le problème min{J(v)+^α₂v²(0)+^β₂v²(1)|v∈H¹(]0, 1[)} admet une unique solutionuet écrire le problème variationnel associé.

ii) Soitu∈C²([0, 1]). Montrer queuest solution du problème précédent si et seulement siu est solution de l’équation différentielle

−u⁰⁰+cu=f p.p. dans ]0, 1[ avec −u⁰(0)+αu(0)=0,u⁰(1)+βu(1)=0.

iii) On suppose queα>0 (ou queβ>0) mais on autorisec₀=0.

(1) Montrer que pour toutu∈H¹(]0, 1[) on a l’inégalitéu²(x)≤2u²(0)+x²Rx

0(u⁰)²pour x∈[0, 1]. [utiliser l’identité (a+b)²≤2(a²+b²),a≥0,b≥0.]

(2) En déduire quekukH¹(]0,1[)≤2(|u(0)| + ku⁰k2) pour toutu dansH¹(]0, 1[).

(3) En déduire que la forme bilinéaireR

u⁰v⁰+cuv+αu(0)v(0)+βu(1)v(1) est coercive dansH¹(]0, 1[).

(4) Conclure que le problème variationnel précédent associé aux conditions au bord Ro- bin homogène admet encore une unique solution.

f ) Conditions périodiques (avec c₀>0).On poseF={u∈H¹(]0, 1[)|u(0)=u(1)}.

i) Montrer queF est un sous-espace vectoriel fermé deH¹(]0, 1[) et queC^∞([0, 1])∩F est dense dansF. [On remarquera que siu∈Fon au−u(0)∈H₀¹(]0, 1[).]

ii) En déduire que le problème min{J(v)|v∈F} admet une unique solutionu et écrire le problème variationnel associé.

iii) Soitu∈C²([0, 1]). Montrer queuest solution du problème précédent si et seulement siu est solution de l’équation différentielle

−u⁰⁰+cu=f p.p. dans ]0, 1[ avecu(0)=u(1),u⁰(0)=u⁰(1).

PROBLÈMES VARIATIONNELS EN DIMENSION SUPÉRIEURE

Exercice 4.6. SoitΩun ouvert borné deRⁿ. On considère des fonctionsa∈L^∞(Ω;Mn),b,c∈L^∞(Ω;Rⁿ) etd∈L^∞(Ω) avecM_n, l’ensemble des matrices carrées de taillen,kak∞=maxi,jka_i,jkL^∞(Ω)etkbk∞= maxikbikL^∞(Ω). On suppose qu’il existeα>0 etδ≥0 tel que, pour presque toutx,on a

(a(x)ξ,ξ)≥α|ξ|² ∀ξ∈Rⁿ etd(x)≥δ. On poseM=p

nmax(kbk∞,kck∞). On définit surH¹(Ω)×H¹(Ω) la forme bilinéaire A(u,v)=

Z

Ω(a∇u,∇v)+(b,∇u)v+u(c,∇v)+d uv d x.

Enfin, on fixe f ∈L²(Ω).

a) Montrer que pour tousu,v∈H¹(Ω) on a les inégalités Z

|(b,∇u)v| ≤M Z

| ∇u| |v| et Z

|u(c,∇v)| ≤M Z

|u| | ∇v|.

b) En déduire queAest continu surH¹(Ω)×H¹(Ω).

c) En utilisant l’inégalitést≤^{r s}₂²+_2r^t2 surRavecr>0, montrer que pour toutu∈H¹(Ω) on a A(u,u)≥α

2 Z

| ∇u|²+(δ−2M² α )

Z u².