D20674. Heptagone et trisection
La trisection de l’angle formait, avec la duplication du cube et la quadrature du cercle, trois problèmes défiant dès l’antiquité les géomètres armés de la règle et du compas. Mais les techniques de pliage (origami) permettent, paraît-il, d’obtenir le tiers d’un angle donné. Quel angle, coupé en 3, permet de construire l’heptagone régulier ?
Solution
A partir d’une base AB = 1, je construis les triangles équilatéraux ABC, BAD,CBE,EBF,EF G,GF H,GHI.
Le cercle de centreB et de rayon BI =√
7 coupe la droiteBH en K et la droiteCD en J.
Sur ce cercle, l’arc KL est le tiers de l’arc KJ. La perpendiculaire en L à CI détermine une cordeM N sur le cercle de centreC et de rayon CI= 3.
L’angle (CI, CN) =π/7.
M N est le côté d’un heptagone régulier de centreC.
Justification On a
(6 cost−1)3−21(6 cost−1) + 7 = 216 cos3t−108 cos2t−108 cost+ 27 = 216 cos4t+ 108 cos3t−216 cos2t−81 cost+ 27
cost+ 1 = 27 cos(4t) + 27 cos(3t)
cost+ 1 =
27 cos(7t/2)
cos(t/2) = 0 quand t=π/7.
Posant 6 cos(π/7)−1 = 2√
7 cosx, on a 2√
7 cos(3x) + 1 = 0.
L’angle (BK, BJ) = 3x, (BK, BL) =x;CN etCLont pour projection sur CI : 1/2 +√
7 cosx= 3 cos(π/7).
