B133 - Durer a de la classe

Problème proposé par Pierre Renfer

Le carré magique du tableau « La Mélancholie » de Dürer est : 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 En plus d’être magique de somme 34, il possède la propriété suivante :

La somme de deux nombres symétriques par rapport au centre du carré est toujours 17.

Appelons carrés magiques de Dürer ceux qui possèdent cette propriété.

Cette propriété est conservée par les huit isométries du carré et par les six transformations involutives R, S, T, R’, S’, T’ définies ainsi :

S échange les lignes 1 et 4 en conservant globalement les colonnes.

T échange les lignes 2 et 3 en conservant globalement les colonnes.

R échange les lignes 1 et 2 ainsi que les lignes 3 et 4 en conservant globalement les colonnes.

S’ échange les colonnes 1 et 4 en conservant globalement les lignes.

T’ échange les colonnes 2 et 3 en conservant globalement les lignes.

R’ échange les colonnes 1 et 2 ainsi que les colonnes 3 et 4 en conservant globalement les lignes.

Question 1

Montrer que le groupe de transformations G engendré par les huit isométries du carré et les six transformations R, S, T, R’, S’, T’ est d’ordre 128.

Question 2

On fait opérer le groupe G sur l’ensemble E des carrés magiques de Dürer qui contiennent tous les entiers de 1 à 16.

Combien existe-t-il de classes d’équivalence (ou d’orbites) ? Donner un carré représentant pour chaque classe.

Un tel carré magique est dit associatif. Les transformations de lignes R, S, T engendrent un sous-groupe à 8 éléments dont l’identité I, la symétrie horizontale J=ST=TS, RS=TR, RT=SR et RST=RTS=STR=TSR. Il en est de même pour R’, S’, T’ sur les colonnes.

Si X est la symétrie par rapport à la première diagonale, Y celle par rapport à la seconde diagonale et Z la rotation dans le sens trigonométrique, les isométries du carré sont I, X, Y, J, J’, Z, Z

, Z

. Or Y=JXJ, et Z=JX, Z

=XY=YX, Z

=XJ ; enfin, J’=XJX, R’=XRX, S’=XSX, T’=XTX.

Tout enchainement de transformations du groupe G peut donc se décomposer en une succession de symétries X et de transformations de lignes R, S, T (ou de colonnes R’, S’, T’). Comme de plus, les transformations de lignes et de colonnes commutent, tout enchainement de transformations peut se décomposer en produit (commutatif) d’une transformation de lignes par une transformation de colonnes et, éventuellement, une symétrie X. Le groupe engendré a donc 2*8

=128 élément, ou encore 16 éléments non isométriques.

Il y a 48 carrés magiques associatifs d’ordre 4 non isométriques (OEIS A081262) donc 3 classes d’équivalence pour le groupe G, par exemple représentés par : 16 3 2 13 16 5 2 11 16 5 3 10

5 10 11 8 9 4 7 14 9 4 6 15 9 6 7 12 3 10 13 8 2 11 13 8 4 15 14 1 6 15 12 1 7 14 12 1

B133 - Durer a de la classe