A447 – Sur l’exoplanète Titus
Problème proposé par Jean-Pierre Lamoitier
Sur l’exoplanète Titus, existe une vie parahumaine où les habitants peuvent atteindre l’âge de 400 ans.
Un général de cette exoplanète dit à son capitaine :« Si on ajoute 29 au carré de mon âge, on obtient un nombre égal au produit de nos âges respectifs augmenté du carré de votre âge. ». Le capitaine d’ajouter :
« N’oubliez pas de préciser que nos âges respectifs sont des nombres premiers ».
Quels sont les âges du général et du capitaine?
Solution proposée par Claudio Baiocchi: si G et P sont les âges respectivement du général et du capitaine, on doit avoir G=241, P=149.
En fait on doit résoudre G2+29=G*P+P2; ce qui, multipliant par 4 et rajoutant G2, peut aussi s’écrire sous la forme 5G2+116=(2P+G)2. Un programme banal dans n’importe quel langage de programmation montre que, parmi les 79 nombres premiers de l’intervalle [1..400], seul G=241 est tel que 5G2+116 est un carré; il s’agit du carré de 539, d’où P=(539-G)/2=149.
