On se donne dans l’espace les droites D et D ' définies par :

PanaMaths

[1 - 3]

Octobre 2012

On se donne dans l’espace les droites D ^et D ^' définies par :

2 1

2 x y

y z

⎧⎪⎨

⎪⎩

− =

D − = ^{et 1}

2 2

' ^{x y z}

x y z a

⎧⎪⎨

⎪⎩

+ + =

− + =

D

où a est un réel.

1. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur le réel a pour que les droites D ^et D ^' soient coplanaires.

2. Donner alors une équation du plan contenant D ^et D ^{' .}

Analyse

A partir des équations cartésiennes fournies, on obtient facilement des représentations

paramétriques des droites

D

^et

D '

. Ainsi, on dispose de deux vecteurs directeurs et on peut conclure eu non parallélisme des deux droites. Dans ces conditions,

D

^et

D '

^sont

coplanaires si, et seulement si, elles sont sécantes …

Résolution

Question 1.

En écrivant :

2 1

2 1

2 2

x z

x z

y z y z

z z

= +

= + ⎧

⎧ ⇔⎪ = +

⎨ = + ⎨

⎩ ⎪ =⎩

D

on obtient une représentation paramétrique de la droite

D

^.

En particulier, le vecteur ^u

(

^{2 ; 1; 1}

)

(ses coordonnées sont les coefficients de « z » dans la représentation paramétrique ci-dessus) est un vecteur directeur de la droite

D

^.

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[2 - 3]

Octobre 2012

De façon similaire, on a :

( )

( )

( ) ( )

1 1 1

2 2 2 2 3 1

4 1

1 3 3 2

1 1

1 1

3 1

1 3 3

3 1

'

^{x y z x y z x y z}

x y z a x y z a y z a

x z a

x z a z

y z a

y z a

z z

+ + = + = − + = − − +

⎧ ⎧ ⎧

⇔ ⇔

⎨ − + = ⎨ − = − + ⎨ = + −

⎩ ⎩ ⎩

⎧ = − + +

⎧ = − + − − + ⎪⎪

⎪⎪ ⎪

⇔⎨ ⇔⎨ = + −

⎪ = + − ⎪

⎪ ⎪ =

⎩ ⎪⎩

D

On obtient ainsi une représentation paramétrique de la droite

D '

^.

En particulier, le vecteur ^v

(

^{4 ; 1; 3− −}

)

(ses coordonnées sont les coefficients de « z » dans la représentation paramétrique ci-dessus multipliés par −3) est un vecteur directeur de la droite

D '

^.

Les vecteurs u et v n’étant pas colinéaires, les droites

D

^et

D '

ne sont pas parallèles.

On en déduit donc qu’elles sont coplanaires si, et seulement si, elles sont sécantes.

Un point ^M

(

^{x y z; ;}

)

de l’espace appartient à

D D

^∩

'

si, et seulement si, ses coordonnées vérifient le système :

2 1

2 1

2 2

x z

y z x y z

x y z a

− =

⎧⎪ − =

⎪⎨ + + =

⎪⎪ − + =

⎩ Dans un premier temps, nous résolvons :

2 1

2 1 x z

y z x y z

− =

⎧⎪ − =

⎨⎪ + + =

⎩ On a facilement :

2 1 2 1 2 1

2 2 2

1 1 2 1 2 1

2 1 2 1 0

2 2 3

4 3 1 1 2

2 1

2

x z x z x z

y z y z y z

x y z x y z z z z

x z x z x

y z y z y

z z

z

− = = + = +

⎧ ⎧ ⎧

⎪ − = ⇔⎪ = + ⇔⎪ = +

⎨ ⎨ ⎨

⎪ + + = ⎪ + + = ⎪ + + + + =

⎩ ⎩ ⎩

⎧ ⎧⎪ =

= + ⎪ = +

⎧ ⎪ ⎪

⎪ ⎪

⇔⎨ = + ⇔⎨ = + ⇔⎨ =

⎪ + = ⎪ ⎪

⎩ ⎪⎩ = − ⎪⎪⎩ = −

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[3 - 3]

Octobre 2012

On cherche alors a de telle sorte que l’équation x−2y+2z =a soit vérifiée.

Il vient donc : 3 1

0 2 2 3 1 4

2 ⎛ 2⎞ a a a

− × + × −⎜⎝ ⎟⎠= ⇔ − − = ⇔ = − .

Les droites

D

^et

D '

sont coplanaires si, et seulement si, on a : a= −4. Dans ce cas, elles sont sécantes et se coupent au point 3 1

A 0 ; ;

2 2

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Question 2.

Notons

P

le plan contenant les droites

D

^et

D '

^.

Les vecteurs u et v étant non colinéaires, on a immédiatement, pour tout point M de l’espace :

( )

M∈

P

⇔det AM, ,u v =0

Avec ^M

(

^{x y z; ;}

)

^{, A 0 ;3; 1}

2 2

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠, ^u

(

^{2 ; 1; 1}

)

^{et v}

(

^{4 ; 1; 3− −}

)

, il vient :

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 4

det AM, , 0 3 1 1 0

2

1 1 3

2

3 1 1 3

1 3 1 4 2 1 1 4 1 1 2 3 0

2 2 2 2

3 4 6 2 1 4 2 6 9 0

2 10 6 18 0

5 3 9 0

x

u v y

z

x y z z x y

x y z z x y

x y z

x y z

= ⇔ − − =

+ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇔ × × − +⎜⎝ − ⎟⎠× × +⎜⎝ + ⎟⎠× × − −⎜⎝ + ⎟⎠× × − × × − −⎜⎝ − ⎟⎠× × − =

⇔ − + − − − − − + + − =

⇔ − + − − =

⇔ − + + =

Pour a= −4, une équation cartésienne du plan contenant les droites

D

^et

D '

^{est :}

5 3 9 0

x− y+ z+ =