Sujet 2017.07

ESD2017_07. Géométrie de l’espace

1. Le sujet

A. Exercice

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé

(

^{O;i, j,k}

)

, on considère, pour tout entier naturel n, les points suivants définis par leurs coordonnées : ^A

(

^n;4;0

)

^{, B}

(

^−n;0;0

)

^{, C}

(

^−n;4;3

)

^,D

(

^n;0;−3

)

Démontrer que, quelle que soit la valeur de l’entier naturel n, les droites (AB) et (CD) sont sécantes.

B. Extrait du programme de mathématiques, classe terminale de la série scientifique

Géométrie dans l’espace

Dans cette partie, il s’agit, d’une part de renforcer la vision dans l’espace entretenue en classe de première, d’autre part de faire percevoir toute l’importance de la notion de direction de droite ou de plan.

La décomposition d’un vecteur d’un plan suivant deux vecteurs non colinéaires de ce plan, puis celle d’un vecteur de l’espace suivant trois vecteurs non coplanaires, sensibilisent aux concepts de liberté et de dépendance en algèbre linéaire.

Le repérage permet à la fois de placer des objets dans l’espace et de se donner un moyen de traiter des problèmes d’intersection d’un point de vue algébrique. Le concept d’orthogonalité, une fois exprimé en termes de coordonnées dans un repère orthonormé, fournit un outil pour une caractérisation simple des plans de l’espace.

L’objectif est de rendre les élèves capables d’étudier des problèmes d’intersection de droites et de plans, en choisissant un cadre adapté, vectoriel ou non, repéré ou non.

C. Le travail à exposer devant le jury

1. Indiquez en quoi cet exercice répond aux attentes mentionnées dans l’extrait du programme de terminale scientifique. Mettez en évidence deux compétences particulièrement mobilisées dans cet exercice.

2. Présentez une correction de cet exercice telle que vous l’exposeriez devant une classe de terminale scientifique.

3. Proposez deux exercices sur le thème géométrie de l’espace, l’un au niveau collège, l’autre au niveau lycée. Vous motiverez vos choix en indiquant les compétences que vous cherchez à développer chez les élèves.

2. Eléments de correction

En géométrie repérée de l’espace, le programme officiel indique comme capacités attendues : « Choisir la forme la plus adaptée entre équation cartésienne et représentation paramétrique pour déterminer l’intersection d’une droite et d’un plan, étudier la position relative de deux plans».La position relative de deux droites de l’espace, quant à elle, est aux abonnés absents. Cet exercice se situe par conséquent « aux confins » du programme.

NB. J’intervertis les deux questions du jury. L’adéquation aux programmes est un peu plus visible après une correction …

2. Une correction de l’exercice.

Deux façons de considérer cet exercice :

Démarche 1. En utilisant une (au choix) des méthodes « classiques » d’étude de la position relative de deux droites de l’espace :

1.1. Caractérisation vectorielle des droites (AB) et (CD) et représentations paramétriques de ces droites

gj.

Il s’agit de caractériser les points d’une droite par une propriété de colinéarité et d’interpréter cette colinéarité en géométrie repérée.

Un point ^M

(

^{x; y;z}

)

de l’espace appartient à (AB) si et seulement si il existe un réel λ tel que : BA

BM =λ c'est-à-dire si et seulement si il existe un réel λ tel que :







=

= +

−

= 0

4 2

2018

z y

n n x

ia

gilbertjul λ

λ .

Un point ^M

(

^{x; y;z}

)

de l’espace appartient à (CD) si et seulement si il existe un réel µ tel que : CD

CM =µ c'est-à-dire si et seulement si il existe un réel µ tel que :







−

=

−

= +

−

= µ

µ µ 6 3

4 4

2

z y

n n x

.

Les deux droites (AB) et (CD) passent par un même point si et seulement si il existe deux réels λ et µ tels

que :

( ) ( )







−

=

−

=

+

−

= +

−

) 3 ( 6

3 0

2 4

4 4

1 2 2

2018 µ

µ λ

µ λ ⁿ n n

gjulia . Ces deux nombres, s’ils existent, doivent ainsi être solution d’un

système de trois équations à deux inconnues.

De (3) on déduit que 2

=1

µ , de (2) on déduit

2 1− =1

= µ

λ et l’équation (1) devient une condition de compatibilité.

Si le couple

( )

^



 



= 2 , 1 2 , µ 1

λ ne vérifie pas (1) alors (AB) et (CD) n’ont aucun point commun, elles ne sont

pas sécantes. Si le couple

( )

^



 



= 2 , 1 2 ,µ 1

λ vérifie (1) alors (AB) et (CD) ont un point commun, elles sont sécantes.

En l’occurrence : 0

2 2 1=



 



× +

−n n et 0

2 2 1=



 



× +

−n n aussi, la condition de compatibilité est satisfaite.

Les deux droites passent par le point ^I

(

^0;2;0

)

^.

1.2. En résolvant un système de quatre

gjéquations à trois inconnues.

Chacune des deux droites peut être représentée par un système de deux équations cartésiennes (qu’on peut obtenir en éliminant de deux façons le paramètre dans leur représentation paramétrique). Par exemple : Pour (AB) :





=

= +

− 0

0 2 2

z

n y n

x . Pour (CD) :





= +

=

− +

0 2 3

0 2 2

z n x

n y n x

Du système de trois équations :







=

− +

=

= +

−

0 2 2

0

0 2 2

n y n x z

n y n x

on déduit : x=0; y=2;z=0 et la quatrième équation

restée en réserve devient une condition de compatibilité. En l’occurrence, ce système est compatible puisque

(

^0;2;0

)

est solution de la quatrième l’équation 3x+2nz=0

1.3. En montrant que les quatre points sont coplanaires, c'est-à-dire que l’un des points est dans le plan déterminé par

gjles trois autres.

Il s’agit, en géométrie repérée, de chercher une équation cartésienne d’un plan déterminé par trois des quatre points et de vérifier si, oui ou non, les coordonnées du quatrième point vérifient cette équation. Dans le cas où les quatre points sont coplanaires, les théorèmes d’incidence de la géométrie plane s’appliquent dans ce plan commun.

On considère le vecteur ^BA

(

^{2 n;4;0}

)

et le vecteur ^BC

(

^0;4;3

)

qui sont clairement non colinéaires quelle que soit la valeur de n. Un vecteur non nul ^V

(

^a;b;c

)

est normal au plan (ABC) si et seulement si :

0 3 4 4

2na+ b= b+ c= , où a, b, c sont non tous nuls ce qui conduit aux relations :















=

−

=

=

λ λ λ

3 2

2

2018

c n b n a

gjulia où λ ^est

un réel non nul. Par exemple, ^V

(

^6;−3n;4n

)

est un vecteur normal à (ABC).

Une équation cartésienne de (ABC) est obtenue en disant que : ^M

(

^{x; y;z}

) (

^{∈ ABC}

)

^{⇔BM.V =0, on}

obtient ainsi : ^M

(

^{x; y;z}

) (

^{∈ ABC}

)

^⇔6

(

^x+n

)

^{−3ny+4nz=0.}

Une équation cartésienne de (ABC) est : 6x−3ny+4nz+6n=0

Les coordonnées du point ^D

(

^n;0;−3

)

vérifient cette équation, ce point est dans (ABC). Les droites (AB) et (CD) sont deux droites coplanaires de vecteurs directeurs non colinéaires (on le vérifie facilement), elles sont sécantes dans le plan (ABC) (mais avec cette méthode on ne connaît pas leur point d’intersection).

Quelle que soit la méthode, il semblerait que dans ce type de démarche les compétences principales soient

« reformuler un problème » (l’existence éventuelle d’un point commun à deux droites doit être caractérisée par une propriété d’incidence) et « choisir un cadre adapté pour résoudre un problème » (il s’agit de passer d’un mode de représentation à un autre, du cadre géométrique au cadre algébrique, où l’on est amené dans deux des trois méthodes à résoudre un système comportant une équation de plus que le nombre d’inconnues).

Démarche 2 (circonstancielle). En montrant que DACB est un parallélogramme.

Le tétraèdre DACB est non seulement aplati mais il s’agit d’un parallélogramme, dont les diagonales sont sécantes en leur milieu. Plusieurs façons de s’en apercevoir :

• Ou bien en particularisant la situation : on peut noter An, Bn, Cn, Dn les points de paramètres n. En considérant A0, B0, C0, D0, on vérifie que : D0A0

(

^0;4;3

)

=B0C0

(

^0;4;3

)

. D₀A₀C₀B₀ est un parallélogramme. Mais An et Dn se déduisent de A0 et D0 par une même translation et Bn et Cn de B0

et C0 par une même autre translation. Donc D A =D A =BC =BC .

• Ou plus directement en notant que DnAn

(

^0;4;3

)

et BnCn

(

^0;4;3

)

sont des vecteurs égaux, ayant des coordonnées égales.

• Ou bien en remarquant que

[

AnBn

]

et

[

CnDn

]

ont même milieu ^I

(

^0;2;0

)

. Pif, paf, deux coups de cuillère à pot et le tour est joué.

Dans ce type de démarche, il s’agit plus particulièrement de sélectionner l’information utile, effectuer une inférence (par exemple D0A0 =B0C0D_nA_n =B_nC_n). J’ajouterais « voir dans l’espace », il faut avoir l’intuition que la configuration est très particulière. Disons que les « compétences » sont plus diffuses, une part du « Eurêka » d’Archimède entrant en jeu.

En conclusion, cette méthode circonstancielle montre que, avant de se lancer dans une démarche un peu longuette, cela vaut la peine d’examiner un petit moment la configuration proposée, histoire de voir si on peut découvrir des relations simples entre ses composants. L’inconvénient est que la question implicitement posée par l’exercice (incidence de deux droites de l’espace) n’est pas résolue par cette démarche circonstancielle.

Démarche 3. En tentant de voir s’il existe des relations de dépendance entre divers vecteurs utiles : Respectivement : ^An^Bn

(

^{2 n;0;0}

)

; ^An^Cn

(

^{2 n ;4;3}

)

; AnDn

(

^0;−4;−3

)

ce qui permet de dire sans grand effort que quelle que soit la valeur de n : A_nB_n =A_nC_n +A_nD_n (on pourrait même dire que

n n n

nB C D

A est un parallélogramme, rejoignant la démarche 2). Quoi qu’il en soit, la dépendance de ces trois vecteurs implique que les quatre points A_n, B_n,C_n, D_n sont coplanaires. Les droites

(

AnBn

)

et

(

CnDn

)

sont deux droites de ce plan. Vu que ^Cn^Dn

(

^2n;−4;−6

)

, les vecteurs C_nD_n et A_nB_n ne sont jamais colinéaires, les droites

(

AnBn

)

et

(

CnDn

)

ne sont jamais parallèles : étant non parallèles et situées dans un même plan, elles sont sécantes.

De cette longue litanie de démarches, il s’agit là peut-être de la démarche la plus proche du programme officiel (?).

1. Adéquation au texte officiel

Pour ma part, je ne trouve pas que cet exercice soit, aussi peu que ce soit, en adéquation avec les textes officiels, le choix des valeurs numériques étant discutable

gj pour trois raisons :

1. Dans la méthode 1.1, on trouve λ=µ , ce qui est dommageable, car susceptible de conforter une fausse conception, consistant à choisir le même paramètre lorsqu’on écrit des représentations paramétriques des deuxgj droites.

2. Dans cet exercice les méthodes usuelles de recherche d’intersection éventuelle de deux droites de l’espace sont moins performantes qu’une méthode circonstancielle. Ce qui est regrettable si l’on veut justement promouvoir

gjces méthodes (mais veut-on vraiment les promouvoir ?)

3. Avoir choisi des points mobiles (dépendant, on ne sait pourquoi, d’un entier naturel) n’apporte rien, le point d’intersection étant un point fixe et la configuration toujours du même type.

Il est légitime de douter que « rendre les élèves capables d’étudier des problèmes d’intersection de droites et de plans » soit un objectif atteint par cet exercice.

3. Commentaire

Parfois, quelque chose m’échappe dans le choix de l’exercice-jury. Aujourd’hui, c’est clairement le cas.

• S’il s’agit d’illustrer la question (hors programme au demeurant) de la position relative de deux droites de l’espace par un exemple de diagonales d’un parallélogramme, je ne trouve aucune explication rationnelle à ce choix.

• Si on attend que les élèves se rendent compte eux-mêmes de la particularité de la configuration et en déduisent le résultat, qui n’est qu’une conséquence secondaire de la nature de la configuration, genre question tordue, pour ne pas dire vicelarde, on ne peut guère faire mieux.

Où est ici l’apprentissage ? …

Demander « en quoi cet exercice répond aux attentes » à propos d’un exercice dont le thème est hors programme, c’est un peu fort de café.

Je me demande ce que diraient les membres d’un jury de CAPES si, devant leurs yeux ébahis, un candidat proposait lui-même cet exercice pour illustrer le thème « géométrie dans l’espace » au lycée. Il y a quelques raisons de penser que le candidat risquerait quelques critiques sur son choix.