Test 05

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Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Test 05 Seconde – Mars 2009

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EXERCICE 1 – 4,5 pts

Répondre aux questions suivantes par oui ou non en justifiant les « non » à l’aide de contre-exemples ou d’une propriété du cours. Les « oui » ne seront pas justifiés.

Chaque réponse fausse vaut -0.75 ; mal, non justifiée ou non répondue 0 ; juste 0,75.

Dans l’espace,

1. Si deux droites sont perpendiculaires à une troisième droite, sont-elles parallèles entre elles ? 2. Deux droites parallèles sont-elles coplanaires ?

3. L’intersection de 2 plans peut-elle être un point ? 4. Deux droites non parallèles se coupent-elles forcément ? 5. Deux plans non parallèles se coupent-ils forcément ?

6. Si deux droites sont parallèles à une troisième droite, sont-elles parallèles entre elles ? EXERCICE 2 – 4 pts

Trois points U, V et W appartiennent aux cotés [AB], [AC] et [AD] d’un tétraèdre ABCD.

1. Tracer les intersections I, J et K des droites (UV), (UW) et (VW) avec le plan (BCD).

On justifiera une des constructions.

2. Ces points sont ils-alignés ? Justifier.

Soit ABCDEF, un prisme droit, I un point de ]DE[, J un point de ]DF[ et K, le centre de la face BCFE du prisme. On suppose que (IJ) et (EF) ne sont pas parallèles.

Dans chacun des cas suivants, dire si l’intersection existe (et la déterminer à l’aide de points de la figure). Justifier votre réponse.

1. (FIJ) et (ABD).

2. (CIJ) et (DEF).

3. (BE) et (DIJ).

4. (BE) et (JK).

5. a. Justifier que les droites (IJ) et (EF) se coupent en un point N.

b. Justifier que les plans (IJK) et (BEF) s’interceptent.

c. Représenter sur la figure l’intersection de ces deux plans. Justifier.

EXERCICE 4 – 5 pts

ABCDEF est un prisme droit dont la base ABC est un triangle.

On appelle P le plan qui contient la face ABC.

Les faces latérales de ce prisme sont des rectangles. M est un point de [AD], N un point de [BE] et R un point de ]EF], de telle sorte que (MN) ne soit pas parallèle à (AB).

1. a. Construire sur cette figure, l’intersection de (MN) avec le plan P, en justifiant votre construction.

b. Construire sur cette figure, l’intersection de (RN) avec le plan P.

2. a. Quelle est la droite d, intersection de (MNR) et de P ? Justifier votre réponse.

b. Démontrer que

( )

^FC ^⊥^d^.

3. a. Justifier, à l’aide d’un théorème du cours, que le plan (MNR) coupe le plan (DEF) selon une droite parallèle à d.

b. Achever alors de construire l’intersection du prisme et du plan (MNR).

D

F

E

A

C

B J

I

K

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2

Durée : 1h Test 06 - CORRIGE Jeudi 09/03/2006 EXERCICE 1 – 4,5 pts

Dans l’espace,

1. Si deux droites sont perpendiculaires à une troisième droite, sont-elles parallèles entre elles ?

NON : il suffit de prendre l’exemple d’un repère orthonormé de l’espace. Les axes sont perpendiculaires deux à deux.

2. Deux droites parallèles sont-elles coplanaires ?

OUI : c’est une propriété du cours : « 2 droites parallèles ou sécantes sont toujours coplanaires ».

3. L’intersection de 2 plans peut-elle être un point ?

NON : l’intersection de 2 plans est vide (n’existe pas), une droite ou un plan.

4. Deux droites non parallèles se coupent-elles forcément ?

NON : dans la figure de l’exercice 2, il suffit de considérer les droites (AC) et (BD).

5. Deux plans non parallèles se coupent-ils forcément ?

OUI : l’espace a trois dimensions, le plan en a 2. Il n’y a donc pas assez de place pour deux plans parallèles non sécants dans l’espace (mais dans un espace à 4 dimensions, oui !).

6. Si deux droites sont parallèles à une troisième droite, sont-elles parallèles entre elles ? OUI.

Trois points U, V et W appartiennent aux cotés [AB], [AC] et [AD] d’un tétraèdre ABCD.

1. → Remarquons que dans la configuration de la figure, l’intersection de la droite et du plan sera un point.

→ Les droites (BC) et (UV) sont sur la face (ABC).

Vues qu’elles sont coplanaires et non parallèles, elles se coupent en un point noté I.

→ Comme la droite (BC) est incluse dans le plan (BCD), le point I de (BC) est dans le plan (BCD).

→ Ainsi, I est sur (UV) et sur (BCD) : c’est donc l’unique point d’intersection du plan et de la droite.

De même, l’intersection J de (UW) et (BCD) est obtenu en traçant l’intersection des droites (UW) et (BD) ; le point K est l’intersection des droites (VW) et (CD).

2. → La droite (UV) est incluse dans le plan (UVW) : donc le point I de la droite (UV) est dans le plan (UVW).

→ En résumé, I est un point des plans (UVW) et (BCD).

De même, J et K sont des points des plans (UVW) et (BCD).

→ Deux plans sécants non confondus s’interceptant suivant une droite D, les trois points I, J et K sont donc sur la droite D donc alignés.

1. (FIJ) et (ABD) : F, I et J ne sont pas alignés et on a (FIJ) = (DEF).

Or (ABD) = (ABDE) : on voit alors clairement que (DEF) et (ABDE) s’interceptent en (DE).

2. (CIJ) et (DEF) : I et J étant sur la face (DEF), la droite (IJ) est incluse dans le plan (DEF). Comme elle est aussi incluse dans (CIJ), (IJ) est la droite d’intersection.

D

F

E

A

C

B J

I

K

(3)

3

3. (BE) et (DIJ) : nous avons (DIJ) = (DEF) : donc déjà, le point E est commun à (BE) et (DIJ).

C’est donc le point d’intersection (la droite n’est pas incluse dans le plan (DIJ)).

4. (BE) et (JK) : ces droites ne s’interceptent pas. Sinon, elles seraient coplanaires et le point J serait sur la face (BCEF) ce qui n’est pas le cas.

5. a. Les droites (IJ) et (EF) sont sur le même plan (DEF) : par hypothèse, elles ne sont pas parallèles. Or dans le plan, deux droites non parallèles s’interceptent.

Donc elles se coupent en un point N.

b. Le point N est sur (IJ) donc dans le plan (IJK) ; il est aussi sur (EF) donc dans le plan (BEF).

Il y a donc déjà un point d’intersection : comme ces plans ne sont pas confondus, ils se coupent suivant une droite.

c. Mais le point K est dans le plan (IJK) ; et comme c’est le centre de la face BEFC, il est aussi dans le plan (BEC).

K et N sont communs aux deux plans donc l’intersection des deux plans est la droite (KN).